ファブリ・ペロー干渉計

波長分割多重方式を採用する通信ネットワークでは、小型の同調型溶融石英またはダイヤモンドのエタロンをバンク状に配置したアドドロップマルチプレクサが用いられています。これらは一辺約2mmの小さな虹色の立方体で、小型の高精度ラックに取り付けられています。材料は、ミラー間の距離を安定させ、温度変化があっても周波数を安定に保つように選定されています。ダイヤモンドは熱伝導率が高く、熱膨張係数も低いため好まれています。2005年、一部の通信機器メーカーは、光ファイバー自体を固体エタロンとして使用し始めました。これにより、取り付け、位置合わせ、冷却に関するほとんどの問題が解消されます。 

ダイクロイックフィルターは、蒸着法を用いて光学表面に一連のエタロン層を堆積させることで作製されます。これらの光学フィルターは、吸収フィルターよりも反射帯域と透過帯域がより正確です。適切に設計されたダイクロイックフィルターは、不要な波長を吸収するのではなく反射するため、吸収フィルターよりも低温で動作します。ダイクロイックフィルターは、光源、カメラ、天体観測機器、レーザーシステムなどの光学機器に広く使用されています。

光波長計や一部の光スペクトル分析器は、異なる自由スペクトル範囲を持つファブリ・ペロー干渉計を用いて、光の波長を高精度で測定する。

レーザー共振器はファブリ・ペロー共振器と呼ばれることが多いが、多くの種類のレーザーではミラーの反射率がほぼ100%であるため、ジレス・トゥルノワ干渉計に似ている。半導体ダイオードレーザーは、チップの端面をコーティングするのが難しいため、真のファブリ・ペロー形状を使用することがある。量子カスケードレーザーは、活性領域の利得が高いため、端面コーティングを必要とせずにレーザー発振を維持するためにファブリ・ペロー共振器を使用することが多い。^{[ 5 ]}

単一モードレーザーを構築する際、レーザー共振器内部にエタロンを配置することがよくあります。エタロンがない場合、レーザーは一般的に、ファブリ・ペローモードに似た複数の共振器モードに対応する波長範囲で光を生成します。適切なフィネスと自由スペクトル範囲を持つエタロンをレーザー共振器内に挿入することで、1つのモードを除くすべての共振器モードを抑制し、レーザーの動作をマルチモードから単一モードに変更することができます。

安定型ファブリ・ペロー干渉計は、レーザーから放出される光の周波数（機械的振動や温度変化によって変動することが多い）を、共振器のモードにロックすることによって安定化するためによく用いられます。誤差信号を生成するための技術は数多く存在し、広く用いられているパウンド・ドレバー・ホール法などがその例です。

ファブリ・ペローエタロンは、レーザー吸収分光法、特にキャビティリングダウン法において、相互作用長を延長するために使用できます。厚みが増加するエタロンは、分光法を実現するための線形可変光学フィルターとして使用できます。ナノメートル厚の薄膜を使用することで、非常に小型化できます。^{[ 6 ]}

ファブリ・ペロー干渉計を用いることで、ゼーマン効果を観測できる分光器を作ることができる。ゼーマン効果では、スペクトル線が非常に近接しているため、通常の分光器では区別することができない。

天文学では、画像化のために単一の原子遷移を選択する際にエタロンが用いられます。最も一般的なのは太陽のHα線です。太陽のCaK線も、エタロンを用いて画像化されることがよくあります。

インドのマンガルヤーンに搭載された火星メタンセンサー（MSM）は、ファブリ・ペロー干渉計の一例である。マンガルヤーン打ち上げ当時、宇宙空間に設置された最初のファブリ・ペロー干渉計であった。^{[ 7 ]}メタンが吸収する放射線と二酸化炭素やその他のガスが吸収する放射線を区別できなかったため、後にアルベドマッパーと呼ばれるようになった。^{[ 8 ]}

重力波検出では、ファブリ・ペロー共振器を使用して、光子がミラー間で上下に反射する間、ほぼミリ秒間光子を蓄積します。これにより、重力波が光と相互作用する時間が長くなり、低周波数での感度が向上します。この原理は、 LIGOやVirgoなどの検出器で使用されており、両アームに数キロメートルの長さのファブリ・ペロー共振器を備えたマイケルソン干渉計で構成されています。通常モードクリーナーと呼ばれる小型の共振器は、メインレーザーの空間フィルタリングと周波数安定化に使用されます。^{[ 9 ]}

ファブリ・ペロー共振器のスペクトル応答は、共振器に入射した光と共振器内を循環する光との干渉に基づいています。2つのビームが同位相であれば建設的干渉が起こり、共振器内部で光が共鳴的に増強されます。2つのビームが逆位相であれば、入射した光のごく一部しか共振器内に蓄積されません。蓄積された光、透過光、反射光は、入射光と比較してスペクトル的に変化します。

幾何学的長さの2枚のミラーからなるファブリ・ペロー共振器を仮定する${\displaystyle \ell }$屈折率が均一な媒体で満たされている${\displaystyle n}$光は共振器に垂直入射される。往復時間$t_{RT}}$共振器内を高速で伝わる光${\displaystyle c=c_{0}/n}$、 どこ${\displaystyle c_{0}}$は真空中の光速であり、自由スペクトル範囲は${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$は次のように与えられる。

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

電場と強度の反射率$\displaystyle r_{i}}$そして${\displaystyle R_{i}}$それぞれ、鏡面において${\displaystyle i}$は

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

共振器に他の損失がない場合、往復あたりの光強度の減衰は、出力結合減衰率定数によって定量化される。${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

光子の減衰時間${\displaystyle \tau _{c}}$共振器の は^{[ 10 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

と${\displaystyle \phi (\nu )}$光が一方のミラーからもう一方のミラーへ伝搬する際に示すシングルパス位相シフトを定量化すると、周波数での往復位相シフトは${\displaystyle \nu }$蓄積すると^{[ 10 ]}

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

共振は、光が1往復後に建設的干渉を示す周波数で発生します。各共振器モードとそのモードインデックス${\displaystyle q}$、 どこ${\displaystyle q}$区間内の整数です${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$は共鳴周波数と関連付けられています${\displaystyle \nu _{q}}$波数${\displaystyle k_{q}}$、

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

反対の値を持つ2つのモード${\displaystyle \pm q}$そして${\displaystyle \pm k}$それぞれモード指数と波数で、物理的には反対の伝搬方向を表すものは、同じ絶対値で発生する。${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$周波数の。^{[ 11 ]}

周波数における減衰する電場${\displaystyle \nu _{q}}$は、初期振幅が減衰調和振動で表される。${\displaystyle E_{q,s}}$減衰時定数は${\displaystyle 2\tau _{c}}$フェーザ表記では、次のように表すことができます^{[ 10 ]}

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

時間における電場のフーリエ変換は、単位周波数間隔あたりの電場を与える。

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

各モードは、単位周波数間隔あたりに正規化されたスペクトル線形状を持ち、それは次のように表される。

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

周波数積分が1である。半値全幅（FWHM）線幅を導入する。${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ローレンツスペクトル線形状から、

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

半値全幅（HWHM）線幅で表される${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$またはFWHM線幅${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ピーク高さを1に較正すると、ローレンツ線が得られます。

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

上記のフーリエ変換をモードインデックスを持つすべてのモードに対して繰り返すと${\displaystyle q}$共振器内では、共振器の全モードスペクトルが得られる。

線幅${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$そして自由スペクトル範囲${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$は周波数に依存しないが、波長空間では線幅を適切に定義できず、自由スペクトル範囲は波長に依存する。また、共鳴周波数は${\displaystyle \nu _{q}}$ファブリ・ペロー共振器のスペクトル応答は、周波数に比例するスケールで、自然に周波数空間で解析および表示されます。

ファブリ・ペロー共振器のミラー1に入射する電場に対する応答は、いくつかのエアリー分布（数学者で天文学者のジョージ・ビデル・エアリーにちなんで名付けられた）によって記述され、これは、入射光強度または発射光強度に関して、共振器内外のさまざまな位置における順方向または逆方向の伝搬方向の光強度を定量化します。ファブリ・ペロー共振器の応答は、循環場アプローチを使用することで最も簡単に導出できます。^{[ 12 ]}このアプローチは定常状態を仮定し、さまざまな電場を互いに関連付けます（図「ファブリ・ペロー共振器内の電場」を参照）。

その分野${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$その分野に関連する可能性がある${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$共振器に打ち上げられるのは

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

共振器内部で光が示す物理的プロセスのみを考慮した一般的なエアリー分布は、入射強度に対する共振器内を循環する強度として導出される。^{[ 10 ]}

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$これは、共振器に入射された光に対して共振器が提供するスペクトル依存の内部共鳴増強を表します（図「ファブリ・ペロー共振器における共鳴増強」を参照）。共鳴周波数では${\displaystyle \nu _{q}}$、 どこ${\displaystyle \sin(\phi )}$がゼロに等しい場合、内部共鳴増強係数は

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

内部共鳴増強、一般的なエアリー分布が確立されると、他のすべてのエアリー分布は単純なスケーリング係数によって導出できます。^{[ 10 ]}共振器に投入される強度はミラー1に入射する強度の透過率に等しいので、

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

また、ミラー２を透過した強度、ミラー２で反射した強度、およびミラー１を透過した強度は、共振器内部を循環する強度の透過および反射／透過の割合である。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

それぞれ、他のエアリー分布${\displaystyle A}$発射強度に関して${\displaystyle I_{\text{laun}}}$そして${\displaystyle A^{\prime }}$入射強度に関して${\displaystyle I_{\text{inc}}}$^[ 10 ^]​

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

添え字「emit」は、共振器の両側から放出される強度の合計を考慮するエアリー分布を表します。

逆伝播強度${\displaystyle I_{\text{back}}}$最初に後方に反射された光も後方伝搬信号に加わるため、測定することはできません。後方伝搬する両方の電場の干渉によって生じる強度の測定可能なケースは、エアリー分布になります^{[ 10 ]}

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

ファブリ・ペロー共振器では、建設的干渉と破壊的干渉が発生するにもかかわらず、すべての周波数でエネルギーが保存されることが容易に示される。

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

外部共振増強係数（図「ファブリ・ペロー共振器における共振増強」を参照）は^{[ 10 ]である。}

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

共振周波数において${\displaystyle \nu _{q}}$、 どこ${\displaystyle \sin(\phi )}$がゼロに等しい場合、外部共鳴増強係数は

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

通常、光はファブリ・ペロー共振器を通して伝送されます。そのため、よく用いられるエアリー分布は^{[ 10 ]です。}

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

分数を表します${\displaystyle I_{\text{trans}}}$強度${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ミラー１に入射した光源からの光がミラー２を透過した光（図「エアリー分布」を参照）${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$)。共振周波数におけるピーク値${\displaystyle \nu _{q}}$は

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

のために${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$ピーク値は1に等しい。つまり、共振器に入射する光はすべて透過する。したがって、光は反射されない。${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$場間の破壊的干渉の結果として${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$そして${\displaystyle E_{\text{back}}}$。

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$循環場アプローチ^{[ 12 ]}では、追加の位相シフトを考慮することで導出されている。${\displaystyle e^{i\pi /2}}$鏡を通して伝送されるたびに、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

その結果

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

あるいは、${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$入射電場が無限に往復する様子を追跡することで、往復減衰法^{[ 13 ]によって得られる。}${\displaystyle E_{\text{inc}}}$共振器に入り、電界を蓄積した後の現象${\displaystyle E_{\text{trans}}}$すべての往復で送信されます。最初の伝搬後に送信される電界と、共振器を通過する各連続伝搬後に送信されるますます小さくなる電界は、

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

それぞれ。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

同じ結果${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$上記と同様、したがって同じエアリー分布${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$しかし、このアプローチは物理的に誤解を招く。なぜなら、干渉はミラー2の後、共振器の外側で出射されたビーム間で起こると仮定しているのに対し、ミラー1の後、共振器の内側で入射ビームと周回ビーム間で起こると仮定しているからである。スペクトル成分を変化させるのは干渉であるため、共振器内のスペクトル強度分布は入射スペクトル強度分布と同じになり、共振器内では共鳴増強は起こらない。

物理的には、エアリー分布は縦方向共振器モードのモードプロファイルの合計である。^{[ 10 ]}電場から始めると${\displaystyle E_{circ}}$共振器内部を循環するこの場は、共振器の2つのミラーを通過する際に時間とともに指数関数的に減衰すると考えられ、フーリエ変換によって周波数空間に変換され、正規化されたスペクトル線形状が得られる。${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$往復時間で割る${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$共振器内で全循環電界強度が縦方向にどのように分布し、単位時間あたりにどのように結合されるかを考慮すると、結果として放出されるモードプロファイルが得られます。

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

そして、すべての縦方向モードの放出モードプロファイルを合計します^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

エアリー分布に等しくなる${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$。

個々のエアリー分布間の関係を示すのと同じ単純なスケーリング係数は、${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$その他のモードプロファイル：^{[ 10 ]}

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

テイラーのスペクトル分解能基準によれば、2つのスペクトル線は、それぞれの線が半分の強度で交差する場合に分解できるとされています。ファブリ・ペロー共振器に光を入射する際、エアリー分布を測定することで、ローレンツ線幅を再計算することにより、ファブリ・ペロー共振器の全損失を導出できます。${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$図「ファブリ・ペロー共振器のローレンツ線幅とフィネス対エアリー線幅とフィネス」において、自由スペクトル範囲に対する相対値として（青線で）表示されている。

テイラー基準が満たされている限り、基底となるローレンツ線は分解できます（図「ローレンツフィネスの物理的意味」を参照）。したがって、ファブリ・ペロー共振器のローレンツフィネスを次のように定義できます。^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

図「ローレンツ的フィネスの物理的意味」では、青い線として表示されています。ローレンツ的フィネス${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$には基本的な物理的意味があります。それは、エアリー分布を測定する際に、エアリー分布の根底にあるローレンツ線がどれだけよく分解できるかを表します。

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

同等${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$、単一のエアリー分布のスペクトル分解能に関するテイラー基準が満たされる。この点では、${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$2 つのスペクトル線は区別できません。ミラーの反射率が等しい場合、この点は で発生します。${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$したがって、ファブリ・ペロー共振器のエアリー分布の根底にあるローレンツ線の線幅は、エアリー分布を測定することによって分解でき、それによって共振器の損失を分光的に決定することができる。

ファブリ・ペロー共振器を走査干渉計として使用する場合、すなわち共振器の長さ（または入射角）を変化させる場合、1つの自由スペクトル範囲内で異なる周波数のスペクトル線を分光的に区別することができる。いくつかのエアリー分布${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$個々のスペクトル線によって生成される各線は、それぞれ分解されなければならない。したがって、エアリー分布が基礎となる基本関数となり、測定結果はエアリー分布の和となる。この状況を適切に定量化するパラメータは、エアリー線幅である。${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$そしてエアリーの繊細さ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$FWHM線幅${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$エアリー分布の${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$[ ^{10 ]​}

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

エアリー線幅${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$図「ファブリ・ペロー共振器のローレンツ線幅とフィネス対エアリー線幅とフィネス」では、緑色の曲線として表示されています。

エアリーピークの線幅をFWHMとして定義するという概念は、${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$（図中の赤い実線「エアリー分布」）${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$なぜなら、この時点でエアリー線幅は瞬時に無限大の値にジャンプするからである。${\displaystyle \arcsin }$関数。反射率の値が低い場合${\displaystyle R_{1}R_{2}}$エアリーピークのFWHM線幅は定義されていません。極限ケースは、

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

鏡の反射率が等しい場合、この点は、${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$（図中の赤い実線「エアリー分布」）${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$「」）。

ファブリ・ペロー共振器のエアリー分布のフィネスは、図「ファブリ・ペロー共振器のローレンツ線幅とフィネス対エアリー線幅とフィネス」において緑色の曲線として表示され、ローレンツフィネスと直接比較されています。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$^{は[ 10 ]}と定義される。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

ファブリ・ペロー共振器の長さ（または入射光の角度）をスキャンすると、エアリーフィネスは、個々の周波数の光によって生成されるエアリー分布の最大数を定量化します。${\displaystyle \nu _{m}}$ファブリ・ペロー共振器の自由スペクトル範囲内において、隣接するピークは分光的に明確に区別できる、すなわち半値全幅（FWHM）で重ならない（図「エアリーフィネスの物理的意味」を参照）。このエアリーフィネスの定義は、分光計の分解能に関するテイラー基準と一致する。FWHM線幅の概念は、${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$したがって、エアリーの繊細さは、${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$図「ファブリ・ペロー共振器のローレンツ線幅とフィネス対エアリー線幅とフィネス」を参照してください。

不必要な近似${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$から派生するときに作られます${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$エアリー線幅${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$上記の正確な解とは対照的に、それは次の結果をもたらします。

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

図「ファブリ・ペロー共振器のローレンツ線幅とフィネス対エアリー線幅とフィネス」に赤い曲線で示されているこのエアリー線幅の近似は、低反射率では正しい曲線からずれており、${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$この近似値は、通常、エアリーフィネスを計算する際にも使用されます。

周波数依存のミラー反射率を持つファブリ・ペロー共振器のより一般的なケースは、光子の減衰時間を除いて、上記と同じ方程式で扱うことができる。${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$線幅${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$今度は周波数の局所関数となる。光子の減衰時間は依然として明確な量であるが、線幅はスペクトル帯域幅に似ており、その帯域幅内で値が変化するため、意味を失う。この場合も、各エアリー分布は、大きく歪む可能性のあるすべての基底モードプロファイルの合計である。^{[ 10 ]}エアリー分布の例${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$そしていくつかの基となるモードプロファイル${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$図「周波数依存の鏡面反射率を持つファブリ・ペロー共振器の例」に示されている。

共振器内部の固有伝搬損失は、強度損失係数によって定量化できる。${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$単位長さあたり、または同等に、固有の往復損失によって ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$^[ 14 ^]​

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

追加の損失により光子の減衰時間が短縮される${\displaystyle \tau _{c}}$共振器の: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

どこ${\displaystyle c}$はキャビティ内の光速です。一般的なエアリー分布または内部共鳴増強係数${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$は、振幅損失係数を介して伝搬損失を含めることにより、上記のように導出される。${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

他のエアリー分布は、伝搬損失も考慮に入れることで、上記と同様に導出できます。特に、損失を考慮した伝達関数は次のようになります^{[ 14 ]}

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

エタロンの透過関数が変化するのは、2つの反射面間での光の多重反射による干渉が原因です。透過光が同位相の場合、建設的干渉が発生し、これはエタロンの透過率のピークに対応します。透過光が逆位相の場合、破壊的干渉が発生し、これは透過率の最小値に対応します。多重反射光が同位相であるかどうかは、光の波長（λ）（真空中）、光がエタロンを通過する角度（θ）、エタロンの厚さ（ℓ）、および反射面間の物質の屈折率（ n）によって決まります。

連続して送信される各ペア（図中のT ₂とT ₁ ）間の位相差は^{[ 15 ]で与えられる。}

${\displaystyle \delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .}$

両方の表面の反射率がRである場合、エタロンの透過関数は次のように表されます。

${\displaystyle T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},}$

どこ

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

はフィネス係数です。

最大伝送（${\displaystyle T_{e}=1}$光路長差 (${\displaystyle 2nl\cos \theta }$透過ビーム間の ) は波長の整数倍である。吸収がない場合、エタロンの反射率Re_は透過率の補数であり、${\displaystyle T_{e}+R_{e}=1}$最大反射率は次式で与えられる。

${\displaystyle R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},}$

これは、光路差が波長の奇数倍の半分に等しい場合に発生する。

隣接する透過ピーク間の波長間隔は、標準器の自由スペクトル範囲（FSR）Δλと呼ばれ、次式で表されます。

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},}$

ここでλ0_は最も近い透過ピークの中心波長であり、${\displaystyle n_{\mathrm {g} }}$は群屈折率である。^{[ 16 ]} FSRは、任意の透過帯域の半値全幅δλと、フィネスと呼ばれる量によって関係付けられる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.}$

これは一般的に（R  >  0.5の場合）次のように近似されます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.}$

2つの鏡が同じでない場合、繊細さは

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}$

フィネス値の高いエタロンは、透過率のピークがよりシャープになり、最小透過係数が低くなります。斜入射の場合、フレネル方程式で与えられるRの値は、一般的にp偏光とs偏光で異なるため、フィネス値はビームの偏光状態に依存します。

右の図には2つのビームが示されており、そのうちの1つ（T ₀）はエタロンを透過し、もう1つ（T ₁）は透過する前に2回反射されます。各反射で振幅は減少します。${\displaystyle {\sqrt {R}}}$界面を通過するたびに振幅は減少するが、${\displaystyle {\sqrt {T}}}$吸収がないと仮定すると、エネルギー保存則からT  + R = 1が成り立つ。以下の導出では、nはエタロン内部の屈折率、n _{0はエタロン外部の屈折率である}。n > n ₀であると仮定する。点 a における入射振幅は 1 とし、放射の振幅はフェーザを用いて表す。点 b における透過振幅は次のようになる。   

${\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },}$

どこ${\displaystyle k=2\pi n/\lambda }$はエタロン内部の波数であり、λは真空波長である。点cにおける透過振幅は

${\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.}$

両ビームの合計振幅は、ビームの方向に対して垂直な線に沿って測定された2つのビームの振幅の合計になります。したがって、点bにおける振幅t0_は、位相をずらしたt'1に加算することができます。${\displaystyle k_{0}\ell _{0}}$、 どこ${\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda }$はエタロンの外側の波数である。したがって

${\displaystyle t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},}$

ここで、ℓ ₀は

${\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.}$

2つのビーム間の位相差は

${\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.}$

θとθ₀_の関係はスネルの法則によって与えられる。

${\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},}$

位相差は次のように表すことができます。

${\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta .}$

定数乗法位相係数を除いて、 m番目の透過ビームの振幅は次のように表すことができます。

${\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.}$

伝送される全振幅は、個々のビームの振幅の合計です。

${\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.}$

この級数は等比級数であり、その和は解析的に表すことができる。振幅は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.}$

ビームの強度は、その複素共役のt倍になります。入射ビームの強度は 1 であると仮定したので、透過関数は次のようになります。

${\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.}$

非対称共振器、つまり2つの異なるミラーを持つ共振器の場合、透過関数の一般形は次のようになります。

${\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.}$

ファブリ・ペロー干渉計は、ファブリ・ペローエタロンとは異なり、プレート間の距離ℓを調整することで、干渉計における透過ピークの波長を変化させることができる。透過率は角度に依存するため、エタロンをビームに対して回転させることでピークをシフトさせることも可能である。

伝達関数の別の表現は、周波数空間での記述において、すべての縦モードプロファイルの無限和として既に導出されている。${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)}$上記の式は次のように書くことができます。

${\displaystyle T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).}$

第2項はラップされたローレンツ分布に比例するため、透過関数は一連のローレンツ関数として表すことができる。

${\displaystyle T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell$ ;\gamma ),}

どこ

${\displaystyle L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.}$