自由スペクトル範囲

自由スペクトル範囲（FSR ）は、干渉計または回折光学素子の連続する2つの反射または透過光強度の最大値または最小値間の光周波数または波長の間隔です。^[1]

FSR は必ずしもまたはで表されるわけではなく、文字 FSR のみで表される場合もあります。これは、これらの異なる用語が、それぞれ放射源の帯域幅または線幅を指すことが多いためです。 ${\displaystyle \Delta \nu }$${\displaystyle \Delta \lambda }$

一般に、空洞の自由スペクトル範囲（FSR）は^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

これらの式は、共鳴条件をテイラー級数に展開することで導き出すことができます。ここで、はキャビティ内の光の波数ベクトル、は真空中の波数ベクトルと波長、はキャビティの屈折率、はキャビティの往復距離です (定在波キャビティの場合、はキャビティの物理的な長さの 2 倍に等しいことに注意してください)。 ${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$${\displaystyle \Delta \beta }$${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

とすると、FSR（波長）は次のように表される。 ${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

はキャビティ内の媒体の グループインデックスです。または、同等に、${\displaystyle n_{\text{g}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

真空中の光の速度は どこですか。${\displaystyle c}$

物質の分散が無視できる場合、すなわち の場合、上の2つの式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

そして

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

FSR の単純で直感的な解釈は、それが往復時間の逆数であるということです。 ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

波長において、FSRは次のように表される。

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

ここで、は光の真空波長です。 後述するファブリペロー干渉計^[3]などの線形共振器の場合、は光が閉じた共振器の周りを1往復する距離、は共振器の長さです。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle L=2l}$${\displaystyle L}$${\displaystyle l}$

回折格子の自由スペクトル範囲とは、隣接する次数の同じ範囲と重ならない、特定の次数における最大の波長範囲である。の( m  +1)次とのm次が同じ角度にある場合、 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

ファブリ・ペロー干渉計^[3]またはエタロンでは、隣接する透過ピーク間の波長間隔はエタロンの自由スペクトル範囲と呼ばれ、次のように表される。

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

ここで、λ ₀は最も近い透過ピークの中心波長、nはキャビティ媒体の屈折率、は入射角、はキャビティの厚さです。FSR は波長単位ではなく周波数で示されることが多いです。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

FSR は、フィネスと呼ばれる量によって、任意の 1 つの伝送帯域の全幅半値幅 δλ と関連しています。

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

ここで、はフィネス係数、 R はミラーの反射率です。 ${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

これは一般的に次のように近似される（R > 0.5の場合）。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$