不正確な微分

不完全微分または不正確な微分は、積分が経路に依存する微分です。熱力学では、熱や仕事などの経路依存量の変化を表現するために最もよく使用されますが、数学ではより一般的には微分形式の一種として定義されています。対照的に、正確な微分の積分は、積分が微分演算子を反転するように機能するため、常に経路に依存しません。したがって、不正確な微分を持つ量は、微分内の変数のみの関数として表現することはできません。つまり、その値は、特定のシステムの初期状態と最終状態を見るだけでは推測できません。^[1]不正確な微分は、状態関数ではなく経路関数であるため、主に熱と仕事を含む計算に使用されます。

不正確な微分とは、同じ終点を持つ 2 つの経路上の積分が異なる微分です。具体的には、、と なる積分可能な経路が存在します。この場合、として考えている量の変化の経路依存性を明示的にするために、 積分をそれぞれ および と表します。 ${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)}$${\displaystyle \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)}$$${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u}$$${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{1}}}$${\displaystyle \Delta u|_{\gamma _{2}}}$${\displaystyle u}$

より一般的には、不完全微分とは、完全微分ではない微分形式、すなわちすべての関数に対して、 ${\displaystyle \delta u}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \mathrm {d} f\neq \delta u}$$

線積分に関する微積分学の基本定理では、与えられたベクトル場の値を、その不完全微分の多変量類似物である別の関数の偏微分で表すために、経路の独立性が必要です。これは、不正確な微分については、その変化がさまざまな経路に沿って一貫していないため、不完全微分の一意の表現が存在しないためです。この経路の独立性の規定は、微積分学の基本定理に必要な補足事項です。1 次元微積分では、関数によって定義される 2 つの点の間には経路が 1 つしかないためです。

微分記号dの代わりに記号δが使われますが、これは19世紀のドイツの数学者カール・ゴットフリート・ノイマン[ ^2]の研究に由来する慣例で、 Q（熱）とW（仕事）は経路依存ですが、U （内部エネルギー）はそうではないことを示しています。

統計力学では、不正確な微分は微分演算子đにバーをつけて表記されることが多い。^[3] LaTeXでは、コマンド「\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}」は近似値であり、単に「\dj」はT1エンコーディングを必要とするダイエッ​​ト文字を表す。^[要出典]

数学では、不正確な微分は通常、単に微分形式と呼ばれ、単に と表記されることが多い。^[4]${\displaystyle \omega }$

ある点からある点まで直線に沿って（方向を変えずに）歩くと、正味の変位と移動した総距離は、どちらもその直線の長さに等しくなります。その後、（方向を変えずに）点に戻ると、正味の変位は 0 で、移動した総距離は です。この例は、1 次元における不正確な微分の背後にある基本的な考え方をとらえています。方向を変えられるようにすれば、 から までの移動中にいつでも 1 歩前進してから後退することができ、そうすることで、正味の変位を一定に保ちながら、移動した総距離を任意の大きな数に増やすことができます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 2AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

上記を微分でやり直し、 を- 軸に沿ってとると、正味の距離微分は となり、これは原始微分 を持つ正確な微分です。一方、全距離微分は となり、原始微分を持ちません。取られる経路は であり、そこでは がそれ以前に厳密に増加し、その後厳密に減少するような時間が存在することになります。すると はそれ以前に正で、その後負になり、積分が生成されますが、 これはまさに前の口頭による議論から予測した結果です。 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {d} f=\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle |\mathrm {d} x|}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}}$${\displaystyle t\in (0,1)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0}$$ $${\displaystyle \Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm {d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{B}\mathrm {d} x=2AB}$$

不正確な微分は熱力学の第一法則に明示的に現れ、 はエネルギー、は熱の微分変化、 は仕事の微分変化です。熱力学系の定数に基づいて、平均エネルギーをいくつかの方法でパラメータ化できます。たとえば、カルノーサイクルの最初の段階では、ガスがリザーバーによって加熱され、そのガスが等温膨張します。いくらかの微分量の熱がガスに入ります。第 2 段階では、ガスは自由に膨張し、いくらかの微分量の仕事 を出力します。第 3 段階は、熱が冷たいリザーバーとの接触によって失われることを除いて第 1 段階と似ていますが、第 4 サイクルは、ガスを圧縮するために周囲によってシステムに対して仕事が行われることを除いて第 2 サイクルと似ています。熱と仕事の全体的な変化はサイクルのさまざまな部分で異なるため、熱と仕事の正味の変化はゼロではなく、微分とが不正確な微分でなければならないことを示しています。 $${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle \delta Q}$${\displaystyle \delta W}$${\displaystyle \delta Q=TdS}$${\displaystyle \delta W=PdV}$${\displaystyle \delta Q}$${\displaystyle \delta W}$

内部エネルギーUは状態関数であるため、その変化はシステムの 2 つの異なる状態 (遷移経路とは無関係) を比較するだけで推測でき、したがってU ₁およびU _{2で示すことができます。状態}U _{1から状態}U ₂に移行するには、熱Q = U ₂ − U ₁または仕事W = U ₂ − U ₁を与える必要があるため、このような状態の変化では、システムに対して行われた仕事Wの量や伝達された熱Qが一意に特定されるわけではなく、内部エネルギーΔ Uの変化のみが特定されます。

火事には熱、燃料、酸化剤が必要です。燃焼の活性化エネルギー障壁を克服するために必要なエネルギーは熱としてシステムに伝達され、システムの内部エネルギーが変化します。プロセスでは、火を起こすために入力されるエネルギーは仕事と熱の両方で構成されます。たとえば、火口をこすって (仕事)、摩擦 (熱) を起こして火を起こす場合などです。その後の燃焼は発熱が強く、熱を放出します。内部エネルギーの全体的な変化は、エネルギー伝達のモードを明らかにするものではなく、正味の仕事と熱のみを定量化します。システムの内部エネルギーの初期状態と最終状態の差は、発生したエネルギー相互作用の程度を説明するものではありません。したがって、内部エネルギーは状態関数 (つまり正確な微分) ですが、積分ではたどった経路を説明する必要があるため、熱と仕事は経路関数 (つまり不正確な微分) です。

不正確な微分を積分係数によって正確な微分に変換できる場合があります。熱力学におけるこの最も一般的な例は、エントロピーの定義です。 この場合、δQは不正確な微分です。システムの状態への影響は δW によって補正できるためです。ただし、絶対温度で除算し、交換が可逆条件で発生する場合 (したがって_{rev の}下付き文字)、正確な微分が生成されます。エントロピーSも状態関数です。 $${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$$

不正確な微分形式を考えてみましょう。これは、点(1,1)に進むことを考えると不正確でなければなりません。最初にy を増やし、次にx を増やすと、最初にyについて積分し、次にxについて積分することに対応します。最初にyについて積分するとが寄与し、次にxについて積分すると が寄与します。したがって、最初のパスに沿って値 2 を取得します。ただし、2 番目のパスに沿って値 を取得します。これにxを掛けて を得ることで正確な微分を作成でき、 になります。正確な微分 も同様です。$${\displaystyle \delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.}$$${\textstyle \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$${\textstyle \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$${\displaystyle \delta u}$$${\displaystyle x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)}$$${\displaystyle x\,\delta u}$

• 高レベルの処理のための閉じた正確な微分形式
• 微分（数学）
• 正確な微分
• 正確な微分方程式
• 非正確な微分方程式を正確に解くための積分係数
• 保存ベクトル場

• 不正確な微分 – Wolfram MathWorld より
• 正確な微分と不正確な微分 – アリゾナ大学
• 正確な微分と不正確な微分 – テキサス大学
• 厳密な微分 – Wolfram MathWorld より