アイゼンシュタイン整数

数学において、アイゼンシュタイン整数（ゴットホルト・アイゼンシュタインにちなんで名付けられた）は、時にはオイラー整数^（レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた）とも呼ばれ、次の形式の複素数である。

z=a+b\omega ,

ここで $a$ と $bは$ 整数であり、

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

は、原始的な（したがって非実数の）1の3乗根です。

アイゼンシュタイン整数は、複素平面上で三角格子を形成します。これに対し、ガウス整数は複素平面上で正方格子を形成します。アイゼンシュタイン整数は可算無限集合です。

プロパティ

アイゼンシュタイン整数は、代数体 $Q$ $($ $ω$ $)$ （第3円分体）における代数的整数の可換環を形成する。アイゼンシュタイン整数が代数的整数であることを確認するには、各 $z$ $=$ $a$ $+$ $bω$ が単項多項式の根であることに注意する。

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

特に、 $ωは$ 次の式を満たす。

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

$2つのアイゼンシュタイン整数a + bω$ と $c + dω$ の積は次のように明示的に与えられる。

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

アイゼンシュタイン整数の2ノルムは、その2乗係数であり、次のように表される。

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

これは明らかに正の通常の（有理）整数です。

また、 $ω$ の複素共役は

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

この環の単位群は、複素平面上の単位の6乗根、すなわちノルム $1$ のアイゼンシュタイン整数 ${\pm1, \pm$ $ω$ $, \pm$ $ω$ $2$ $}によって形成される$ 巡回群です。

ユークリッド領域

アイゼンシュタイン整数環はユークリッド領域を形成し、そのノルム $N は$ 上記のように平方係数で与えられます。

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

任意の被除数 $α$ と除数 $β$ $\neq 0に適用された$ 除算アルゴリズムは、次の式を満たす商 $κ$ と除数より小さい余り $ρ を生じます。$

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{  with  }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

ここで、 $α$ 、 $β$ 、 $κ$ 、 $ρ$ はすべてアイゼンシュタイン整数です。このアルゴリズムはユークリッドの互除法を意味し、ユークリッドの補題とアイゼンシュタイン整数からアイゼンシュタイン素数への一意の因数分解を証明します。

$除算アルゴリズムの 1 つは次のとおりです。まず複素数体で除算を実行し、商をω$ で表します。

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

有理数 $a 、 b\inQ$ の場合、有理数係数を最も近い整数に丸めてアイゼンシュタインの整数商を $得る$ $。$

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

ここでは、標準的な整数への丸め関数のいずれかを表す場合があります。 $\lfloor x\rceil$

$これがN (ρ) < N (β)$ を満たすのに対し、他のほとんどの二次整数環では同様の手順が失敗する理由は、次のとおりです。複素平面上で並進運動によって作用するイデアル $Z [ω] β = Z β + Z ωβ$ $の基本領域は、頂点0$ 、 $β$ 、 $ωβ$ 、 $β + ωβ$ を持つ 60°–120° の菱形です。任意のアイゼンシュタイン整数 $α は$ この平行四辺形の並進運動の 1 つの内側にあり、商 $κ は$ その頂点の 1 つです。剰余は $α$ からこの頂点までの二乗距離ですが、このアルゴリズムで可能な最大距離はだけなので、です。( $ρ$ のサイズは、 $κ を$ 最も近い角とすることでわずかに小さくすることができます。) ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$

アイゼンシュタインの素数

$小さなアイゼンシュタイン素数。緑の軸上にある素数は、 3 n + 2$ の形式の自然素数に関連付けられます。その他すべての素数の絶対値は、 3 または $3 n + 1$ の形式の自然素数の平方根に等しくなります。

$x$ と $y が$ アイゼンシュタイン整数である場合、 $y$ $=$ $zx$ となるアイゼンシュタイン整数 $z$ が存在するとき、 $x は$ $y を$ 割り切るといいます。非単位アイゼンシュタイン整数 $x は、その唯一の非単位約数が$ $ux$ の形式である場合、アイゼンシュタイン素数と呼ばれます。ここで、 $u$ は 6 つの単位のいずれかです。これらは、ガウス整数のガウス素数に対応する概念です。

アイゼンシュタイン素数には2種類あります。

$2 mod 3$ と一致する通常の素数(または有理素数)もアイゼンシュタイン素数です。
$3と$ $1 mod 3$ に合同な各有理数素数は、アイゼンシュタイン整数 $x$ $+$ $ωy$ のノルム $x 2 - xy + y 2$ に等しい。したがって、このような素数は $($ $x$ $+$ $ωy$ $)($ $x$ $+$ $ω$ $2$ $y$ $)$ と因数分解することができ、これらの因数はアイゼンシュタイン素数である。つまり、これらはノルムが有理数素数であるアイゼンシュタイン整数とまったく同じである。

2番目のタイプでは、 $3$ 、およびの因数は: と関連しているため、一部の書籍では特別なタイプとみなされています。^[2]^[3] $1-\omega$ $1-\omega ^{2}$ $1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})$

$3 n - 1 の$ 形の最初のいくつかのアイゼンシュタイン素数は次のとおりです。

2、5、11、17、23、29、41、47、53、59、71、83、89、101、...（OEISの配列A003627 ）。

$0$ または $1$ を法として $3$ と一致する自然素数はアイゼンシュタイン素数ではない。^{[4]それらは} $Z [ω]$ で非自明な因数分解を許容する。例えば：

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

.

一般に、自然素数 $p$ $が1を$ 法として $3$ であり、したがって $p = a 2 - ab + b 2$ と書ける場合、 $Z [ω]$ 上で因数分解すると

p = (a + bω)((a - b) - bω)

。

いくつかの非実数アイゼンシュタイン素数は

2 + ω

、

3 + ω

、

4 + ω

、

5 + 2 ω

、

6 + ω

、

7 + ω

、

7 + 3 ω

。

$共役性と単位倍数を除き、上に挙げた素数は、 2$ および $5$ とともに、絶対値が $7 を$ 超えないアイゼンシュタイン素数です。

2023年10月現在^[update]、最大の実アイゼンシュタイン素数は、ペーテル・サボルチとPrimeGridによって発見された、 10番目に大きい素数 $10223 \times 2 31172165 + 1$ である。^[5] 1つの例外を除いて^[^{説明が必要}^]、これより大きな既知の素数はすべてGIMPSによって発見されたメルセンヌ素数である。実アイゼンシュタイン素数は $2 mod 3$ に合同であり、 $3$ より大きいメルセンヌ素数はすべて $1 mod 3$ に合同である。したがって、メルセンヌ素数はアイゼンシュタイン素数ではない。

エイゼンシュタインシリーズ

$0を$ 除くすべてのアイゼンシュタイン整数の逆数の4乗の和は $0$ である。^{[6] は} j不変量の根である。一般にのとき、かつのときのみである。^[7] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $e^{2\pi i/3}$ $G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $k\not \equiv 0{\pmod {6}}$

$0を$ 除くすべてのアイゼンシュタイン整数の6乗の逆数の和はガンマ関数で表すことができます。ここで $E$ はアイゼンシュタイン整数、 $G6$ $は$ 重み6のアイゼンシュタイン級数です。^[8] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}$

商 $Ｃ$ アイゼンシュタイン整数によって

複素平面 $C$ をすべてのアイゼンシュタイン整数を含む格子で割った商は、実数次元 $2の$ 複素トーラスである。これは、このような複素トーラスの中で最大の対称性を持つ 2 つのトーラスのうちの 1 つである。 ^[^要出典^] このトーラスは、正六角形の 3 組の反対側の辺をそれぞれ特定することで得られる。

もう一つの最大対称トーラスは、複素平面をガウス整数の加法格子で割った商であり、 $[0, 1] \times [0, 1]$ などの正方形基本領域の2組の反対側の辺をそれぞれ識別することによって得られます。

参照

注記

^ スラーニ、ラースロー (1997)。代数。タイポテックス。 p. 73.およびミハイ・ザライ (1991)。シャーメルメレット。タンコニフキアド。 p. 75.これらの数を「オイラー・エジェゼク」、つまりオイラー整数と呼びます。後者は、オイラーが証明でこれらを使用したと主張しています。
^ ワイスタイン、エリック・W.「アイゼンシュタイン整数」.マスワールド。
^ Cox, David A. (1997-05-08). 形式 x2+ny2 の素数: フェルマー、類体理論、複素乗算(PDF) . Wiley. p. 77. ISBN 0-471-19079-9。
^ 「X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} は、p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} の場合にのみ F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} に還元可能である」。
^ 「既知 の最大素数」。The Prime Pages 。 2023年2月27日閲覧。
^ 「j 関数のゼロとは何ですか?」
^ 「G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} 、かつ G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} 、ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} であることを示してください。」
^ 「エントリ 0fda1b – Fungrim: 数学関数グリモア」。fungrim.org 。 2023年6月22日閲覧。

外部リンク

アイゼンシュタイン整数 - MathWorld より

[euler-name-1] スラーニ、ラースロー (1997)。代数。タイポテックス。 p. 73.およびミハイ・ザライ (1991)。シャーメルメレット。タンコニフキアド。 p. 75.これらの数を「オイラー・エジェゼク」、つまりオイラー整数と呼びます。後者は、オイラーが証明でこれらを使用したと主張しています。

[2] ワイスタイン、エリック・W.「アイゼンシュタイン整数」.マスワールド。

[3] Cox, David A. (1997-05-08). 形式 x2+ny2 の素数: フェルマー、類体理論、複素乗算(PDF) . Wiley. p. 77. ISBN 0-471-19079-9。

[4] 「X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} は、p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} の場合にのみ F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} に還元可能である」。

[5] ^ 「既知 の最大素数」。The Prime Pages 。 2023年2月27日閲覧。

[6] 「j 関数のゼロとは何ですか?」

[7] 「G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} 、かつ G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} 、ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} であることを示してください。」

[8] 「エントリ 0fda1b – Fungrim: 数学関数グリモア」。fungrim.org 。 2023年6月22日閲覧。