ファラデーの電磁誘導の法則

ファラデーの電磁誘導の法則（または単にファラデーの法則）は、磁場が電気回路と相互作用して起電力（emf）を生成する方法を予測する電磁気学の法則です。電磁誘導として知られるこの現象は、変圧器、インダクタ、および多くの種類の電気モーター、発電機、ソレノイドの基本的な動作原理です。^[2]^[3]

マクスウェル・ファラデー方程式（マクスウェル方程式の1 つとして記載）は、空間的に変化する（磁場が時間とともにどのように変化するかに応じて、時間的に変化する可能性もある）電場は、常に時間的に変化する磁場を伴うという事実を記述し、一方、ファラデーの法則は、ループに囲まれた表面を通る磁束が時間とともに変化すると、導電ループ上に起電力（導電ループを 1 周するときに単位電荷に対して行われる電磁気的仕事）が発生することを規定しています。

ファラデーの法則が発見されると、その一側面 (変圧器起電力) がマクスウェル-ファラデー方程式として定式化されました。ファラデーの法則の方程式は、マクスウェル-ファラデー方程式 (変圧器起電力を記述) とローレンツ力(運動起電力を記述) によって導き出すことができます。マクスウェル-ファラデー方程式の積分形式は変圧器起電力のみを記述しますが、ファラデーの法則の方程式は変圧器起電力と運動起電力の両方を記述します。

歴史

電磁誘導は1831年にマイケル・ファラデーと1832年にジョセフ・ヘンリーによって独立して発見されました。 ^[4]ファラデーは実験結果を初めて発表しました。^[5]^[6]

ファラデーの1831年8月29日のノート^[8]には、電磁誘導の実験的実証（図参照）^[9]が記述されている。これは、鉄のリング（現代のトロイダルトランスフォーマーのような）の反対側に2本の電線を巻き付けるものである。彼が電磁石の新しく発見された特性を評価したところ、一方の電線に電流が流れ始めると、ある種の波がリングを伝わり、反対側に何らかの電気的効果を引き起こすことが示唆された。実際、彼が左側の電線をバッテリーに接続または切断すると、検流計の針は右側の電線に過渡電流（彼はこれを「電気の波」と呼んだ）を測定した。 ^[10]^{: 182–183}この誘導は、バッテリーの接続と切断時に発生する磁束の変化によるものであった。 ^[7]彼のノートには、バッテリー側の巻き付けが少ないほど検流計の針の乱れが大きくなることも記されている。^[8]

2か月以内に、ファラデーは電磁誘導の他のいくつかの現象を発見した。例えば、棒磁石を電線のコイルに素早く出し入れすると過渡電流が見られることや、棒磁石の近くでスライド式の電気リード線（「ファラデーのディスク」）を使って銅の円盤を回転させることにより定常電流（直流）を発生させることなどである。^[10]^{: 191–195}

マイケル・ファラデーは、電磁誘導を彼が電気力線と呼んだ概念を使って説明した。しかし、当時の科学者は彼の理論的アイデアを主に数学的に定式化されていないという理由で広く拒絶した。^[10^]^{: 510}例外はジェームズ・クラーク・マクスウェルで、彼は1861年から1862年にかけてファラデーのアイデアを自身の定量的電磁気理論の基礎として使用した。 [10] ^{: 510}^[11]^[12]マクスウェルの論文では、電磁誘導の時間変化する側面は微分方程式で表現され、オリバー・ヘヴィサイドはこれをファラデーの法則と呼んだが、これはファラデーの法則の元のバージョンとは異なり、運動起電力を説明していない。ヘヴィサイドのバージョン（下記のマクスウェル-ファラデー方程式を参照）は、今日マクスウェル方程式として知られる方程式群で認められている形式である。

1834年にエミール・レンツによって定式化されたレンツの法則^[13]は、「回路を通る磁束」を記述し、電磁誘導によって生じる誘導起電力と電流の方向を示します（以下の例で詳しく説明します）。

アルバート・アインシュタインによれば、彼の特殊相対性理論の基礎と発見の多くは、1834年にファラデーによってこの誘導の法則によって提示されたという。^[14]^[15]

ファラデーの法則

ファラデーの法則の最も広く知られているバージョンは、次の通りです。

閉じた経路の周りの起電力は、経路に囲まれた磁束の時間変化率の負の値に等しい。 ^[16]^[17]

数学的な記述

磁場内のワイヤのループでは、与えられたループを境界とする任意の表面 $Σ$ に対して磁束 $Φ B$ が定義されます。ワイヤのループは移動することがあるので、表面を $Σ($ $t$ $)$ と書きます。磁束は表面積分です。ここで、 $d$ $A は$ 移動する表面 $Σ($ $t$ $)の$ 面積ベクトルの要素、 $B$ は磁場、 $B$ $\cdot d$ $A$ $はd$ $A$ を通る磁束の要素を表すベクトル内積です。より視覚的に言えば、ワイヤのループを通る磁束は、ループを通過する磁力線の数に比例します。 $\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,,$

磁束が変化すると（ $B の$ 変化、またはワイヤループの移動や変形、あるいはその両方が原因で）、ファラデーの電磁誘導の法則によれば、ワイヤループは起電力を獲得します。起電力は、ワイヤループを一周した単位電荷から得られるエネルギーとして定義されます。^[18]^{: ch17}^[19]^[20]（一部の情報源では定義が異なりますが、この表現は特殊相対性理論の方程式との互換性を保つために選択されています。）同様に、これは、ワイヤを切断して開回路を作り、リード線に電圧計を取り付けることで測定される電圧です。

ファラデーの法則によれば、起電力は磁束の変化率によっても決まります。ここで、は起電力(emf)、 $Φ$ $B$ は磁束です。 ${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},$ ${\mathcal {E}}$

起電力の方向はレンツの法則によって与えられます。

電流誘導の法則は1845年にフランツ・エルンスト・ノイマンによって数学的に確立されました^。[21]

ファラデーの法則には、変数の大きさと方向の関係に関する情報が含まれています。ただし、方向間の関係は明示的ではなく、数式の中に隠されています。

$ファラデーの法則の左手の法則。磁束の変化であるΔΦ B$ の符号は、磁場 $B$ 、ループの面積 $A$ 、および左手の指で表されるその面積の法線 n の関係に基づいて求められます。 $ΔΦ B$ が正の場合、起電力の方向は曲がった指（黄色の矢印）の方向と同じです。 $ΔΦ B$ が負の場合、起電力の方向は矢印の方向と反対になります。^[22]

レンツの法則を使わずに、ファラデーの法則から直接起電力（emf）の方向を知ることは可能である。左手の法則は次のように役立つ：^[22]^[23]

左手の曲げた指をループ（黄色の線）に合わせます。
親指を伸ばします。伸ばした親指は、ループで囲まれた領域の法線である $n (茶色) の方向を示します。$
フラックスの変化 $ΔΦ B$ の符号を見つけます。伸ばした親指で示される法線 $n$ $に対する初期フラックスと最終フラックス（その差はΔΦ B ）を決定します。$
磁束の変化 $ΔΦ B$ が正の場合、湾曲した指は起電力の方向を示します (黄色の矢印)。
$ΔΦ B$ が負の場合、起電力の方向は湾曲した指の方向と反対になります (黄色の矢印の反対)。

$同じΦ$ $B を$ $持つN$ 個の同一のターンで構成された密に巻かれた電線コイルの場合、ファラデーの電磁誘導の法則は次のように述べます^[24]^[25]。ここで、 $N$ は電線のターン数、 $Φ$ $B は$ 単一のループを通過する磁束です。 ${\mathcal {E}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$

マクスウェル・ファラデー方程式

マクスウェル・ファラデー方程式は、時間とともに変化する磁場は、常に空間的に変化する（時間とともに変化する可能性もある）非保存電場を伴うこと、またその逆も成り立つことを述べている。マクスウェル・ファラデー方程式は、

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

（SI単位系）ここで $\nabla \times は$ 回転演算子であり、 $E （ r 、 t ）$ は電場、 $B （ r 、 t ）は$ 磁場である。これらの場は一般に位置 $r$ と時間 $t$ の関数となる。^[26]

マクスウェル・ファラデー方程式は4つのマクスウェル方程式のうちの1つであり、古典電磁気学の理論において基本的な役割を果たしている。また、ケルビン・ストークスの定理^[27]によって積分形式で表すことができ、ファラデーの法則を再現する。

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

ここで、図に示すように、 $Σ は$ $閉じた輪郭\partial Σ$ で囲まれた表面、 $d l$ は輪郭 $\partialΣ$ の微小ベクトル要素、 $d$ $A は表面$ $Σ$ の微小ベクトル要素です。その方向はその表面パッチに直交し、大きさは表面の微小パッチの面積です。

$d l$ と $d A は$ どちらも符号が曖昧です。正しい符号を得るには、記事「ケルビン・ストークスの定理」で説明されているように、右手の法則が使用されます。平面 $Σ$ $の場合、曲線\partial$ $Σ$ の正のパス要素 $d$ $l は$ 、右手の法則により、親指が表面 $Σの法線$ $n$ の方向を指しているときに右手の指で指すものとして定義されます。

$\partial$ $Σ$ の周りの線積分は循環と呼ばれる。^[18]^{: ch3} $E$ の非ゼロ循環は、静電荷によって生成される電場の挙動とは異なります。電荷によって生成される $E$ 場は、ポアソン方程式の解であり、経路積分がゼロであるスカラー場の勾配として表すことができます。勾配定理を参照してください。

積分方程式は、空間を通る任意のパス $\partial Σ$ と、そのパスが境界となる任意の表面 $Σに対して真です。$

表面 $Σ が$ 時間とともに変化しない場合は、式を書き直すことができます。右側の表面積分は、 $Σ を$ 通る磁束 $Φ$ $B$ の明示的な表現です。 $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .$

変化する磁束によって誘起される電場（全体の電場のソレノイド成分）は、非相対論的極限では体積積分方程式^{[26]によって近似できる}^：321 $\mathbf {E} _{s}(\mathbf {r} ,t)\approx -{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {\left({\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{\partial t}}\right)\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}$

証拠

4つのマクスウェル方程式（マクスウェル-ファラデー方程式を含む）は、ローレンツ力の法則とともに、古典電磁気学のすべてを導き出すのに十分な基礎となっている。^[18]^[19]したがって、これらの方程式から始めてファラデーの法則を「証明」することが可能となっている。^[28]^[29]

$出発点は、空間内の任意の表面Σ$ (移動または変形可能) を通過するフラックスの時間微分です。 ${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

(定義により)。この全時間微分は、マクスウェル-ファラデー方程式といくつかのベクトル恒等式を利用して評価および簡略化できます。詳細は以下のボックスに記載されています。

結果は次のようになります。ここで、 $\partialΣ は表面$ $Σ$ の境界 (ループ) であり、 $v$ $l は$ 境界の一部の速度です。 ${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{\mathbf {l} }\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$

導電性ループの場合、起電力（emf）は、単位電荷がループを1周するときに行われる電磁気的な仕事であり、この仕事はローレンツ力によって行われます。したがって、起電力は次のように表されます。ここで、は起電力、 $vは$ 単位電荷の速度です。 ${\mathcal {E}}=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$ ${\mathcal {E}}$

マクロ的に見ると、ループのセグメント上の電荷について、 $v は$ 平均して 2 つの成分で構成されます。1 つはセグメント $v t$ に沿った電荷の速度で、もう 1 つはセグメント $v l$ (ループが変形または移動) の速度です。v $t$ の方向はの方向と同じなので、 $v t は$ 電荷にかかる仕事には寄与しません。数学的には、 $は$ に垂直なので、およびは同じ方向に沿っています。ここで、導電性ループの場合、emf は、その符号を除いて、ループを通る磁束の時間微分と同じであることがわかります。したがって、これで、ファラデーの法則 (導電性ループの場合) の式に到達します。ここで、です。この積分を破ると、は変圧器の起電力 (時間とともに変化する磁場による) であり、は運動起電力 (磁場内でのループの運動または変形による電荷への磁気ローレンツ力による) です。 $\mathrm {d} \mathbf {l}$ $(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =((\mathbf {v} _{t}+\mathbf {v} _{l})\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =(\mathbf {v} _{t}\times \mathbf {B} +\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =(\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$ $(\mathbf {v} _{t}\times \mathbf {B} )$ $\mathrm {d} \mathbf {l}$ $\mathbf {v} _{t}$ $\mathrm {d} \mathbf {l}$ ${\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-{\mathcal {E}}$ ${\textstyle {\mathcal {E}}=\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$ ${\textstyle \oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$ ${\textstyle \oint \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \left(\mathbf {v} _{l}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$

例外

ファラデーの法則を一般化して次のように述べたくなる。「 $\partialΣ$ が空間内の任意の閉ループである場合、 $Σ を通る磁束の全時間微分は$ $\partialΣ の$ 周りの起電力に等しい」。しかし、この記述は常に正しいわけではなく、その理由は導体が存在しない空の空間では起電力が定義されないという明白な理由だけからではない。前のセクションで述べたように、ファラデーの法則は、抽象的な曲線 $\partialΣ$ の速度が電気を伝導する物質の実際の速度と一致しない限り、機能することが保証されない。^{[31]以下に示す 2 つの例は、} $\partialΣ$ の運動が物質の運動から切り離されている場合、誤った結果になることが多いことを示している。 ^[18]

ファラデーの同極発電機。ディスクは角速度 $ω$ で回転し、静磁場 $B$ (ディスク表面の法線方向) 内で導電半径を円状に掃引します。磁気ローレンツ力 $v \times B$ により、導電半径に沿って導電縁まで電流が流れ、そこから下部ブラシとディスクを支える軸を通って回路が完成します。このデバイスは起電力と電流を生成しますが、「回路」の形状は一定であるため、回路を通る磁束は時間とともに変化しません。
ワイヤー（赤の実線）が 2 つの接触する金属板（銀色）に接続され、回路を形成します。システム全体は、ページに対して垂直な均一な磁場内にあります。抽象パス $\partialΣ が$ 電流の主要パス（赤でマーク）に従う場合、プレートが回転するとこのパスを通る磁束が劇的に変化しますが、起電力はほぼゼロです。After Feynman Lectures on Physics ^[18]^{: ch17}

このような例を解析するには、経路 $\partialΣが$ 物質と同じ速度で動くように注意する必要がある。^[31]あるいは、ローレンツ力の法則とマクスウェル・ファラデー方程式を組み合わせることで、常に起電力を正しく計算することができる。^[18]^{: ch17}^[32]

{\mathcal {E}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{m}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \Sigma +\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {v} _{m}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l}

ここで、「（1） $[v m]$ は導体の速度であり、経路要素 $d l$ の速度ではないこと、（2）一般に、面積は時間の関数であるため、時間に関する偏微分は積分の範囲外に移動できないことに注意することが非常に重要です。」^[32]

ファラデーの法則と相対性理論

2つの現象

ファラデーの法則は、移動する電線にかかる磁力によって生成される運動起電力（ローレンツ力を参照）と、変化する磁場による電気力によって生成される変圧器起電力（マクスウェル-ファラデー方程式で説明）という 2つの異なる現象を説明する単一の方程式です。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは1861年の論文「物理的な力の線について」でこの事実に注目しました。^[33]その論文の第2部の後半で、マクスウェルは2つの現象それぞれについて別々の物理的な説明を与えています。

電磁誘導のこれら2つの側面については、現代の教科書にも言及されている。^[34]リチャード・ファインマンは次のように述べている。

したがって、回路内の起電力は回路を通る磁束の変化率に等しいという「磁束則」は、磁束が変化する理由が磁場の変化であるか回路の移動であるかにかかわらず（あるいはその両方）、適用されます...
しかし、この規則の説明では、2 つのケースに対して 2 つの完全に異なる法則を使用しました。つまり、「回路の移動」に対しては $v \times B$ $、「フィールドの変化」に対しては\nabla \times E = -\partial t B です$ 。
物理学において、これほど単純かつ正確な一般原理を実際に理解するためには、 2つの異なる現象 に関する分析が必要であるという例は他には知られていない。
— リチャード・P・ファインマン『ファインマン物理学講義』^[35]

^{[疑わしい–議論する]}

4次元形式に基づく説明

一般的なケースでは、運動起電力の発生を、移動する電線または面積を変える回路内の電荷に対する磁力の作用によって説明するのは不十分です。実際のところ、電線または回路内の電荷が完全に存在しない場合、その場合、電磁誘導効果は消えるでしょうか? この状況は記事で分析されており、そこでは、電磁場の積分方程式を 4 次元共変形式で記述するときに、ファラデーの法則に、回路を通る磁束の部分時間微分ではなく全時間微分が現れます。^[36]したがって、電磁誘導は、磁場が時間とともに変化するか、回路の面積が変化するかのいずれかで発生します。物理的な観点からは、誘導起電力についてではなく、磁束が変化する場合に回路に発生する誘導電界強度について話す方が適切です。この場合、磁場の変化によるへの寄与は、という項( はベクトルポテンシャル) を通じて行われます。一定磁場の場合に回路面積が変化していると、回路の一部が必然的に移動することになり、回路を通過する静止基準フレーム K に存在する磁場のローレンツ変換の結果として、共動基準フレーム K' の回路のこの部分に電場が発生します。 K' 内の磁場の存在は、回路内に電荷が存在するかどうかに関係なく、移動回路内の誘導効果の結果であると考えられます。導電回路では、磁場によって電荷が動きます。基準フレーム K では、誘導の起電力の出現のように見え、回路に沿っての形のその勾配が磁場を生成するように見えます。 ${\textstyle \mathbf {E} =-\nabla {\mathcal {E}}-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ $\mathbf {E}$ ${\textstyle -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ ${\mathcal {E}}$ $-\nabla {\mathcal {E}}$ $\mathbf {E}$

アインシュタインの見解

この明らかな二分法についての考察は、アルバート・アインシュタインが特殊相対性理論を開発するに至った主要な道筋の一つであった。

現在一般に理解されているマクスウェルの電気力学を運動物体に適用すると、現象に本来備わっているとは思えない非対称性が生じることが知られています。たとえば、磁石と導体の相互電気力学的作用を考えてみましょう。
ここで観察できる現象は導体と磁石の相対運動のみに依存しますが、通常の見方では、これらの物体のどちらか一方が運動している 2 つのケースは明確に区別されます。磁石が運動し、導体が静止している場合、磁石の近傍に一定のエネルギーを持つ電界が発生し、導体の各部分が位置する場所に電流が発生します。
しかし、磁石が静止していて導体が動いている場合、磁石の近傍に電界は発生しません。ただし、導体には起電力があり、それ自体には対応するエネルギーはありませんが、前述の 2 つのケースで相対運動が等しいと仮定すると、前者の場合の電気力によって生成される電流と同じ経路と強度の電流が発生します。
この種の例と、「光媒体」に対する地球の運動を発見しようとする失敗した試みは、電気力学および力学の現象が絶対静止の概念に対応する特性を持たないことを示唆している。

— アルバート・アインシュタイン『運動物体の電気力学について』^[37]

参照

参考文献

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さらに読む

クラーク・マクスウェル、ジェームズ（1881）。電気と磁気に関する論文、第2巻。オックスフォード：クラレンドン・プレス。第3章、第530節、178ページ。ISBN 0-486-60637-6電気と磁気に関する論文。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるファラデーの電磁誘導の法則に関連するメディア
電磁誘導に関する簡単なインタラクティブチュートリアル（磁石をクリックして前後にドラッグ）国立高磁場研究所
ロベルト・ベガ。誘導：ファラデーの法則とレンツの法則 – 音響効果付きの非常にアニメーション化された講義、電気と磁気のコースページ
ジョージア州立大学の物理学と天文学のハイパー物理学からのノート
タンカースリーとモスカ：ファラデーの法則の紹介
運動起電力の無料シミュレーション

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