有効質量（固体物理学）

固体物理学では、粒子の有効質量（ と表記されることが多い）は、力に反応するときに粒子が持つと思われる質量、または熱分布 内で他の同一の粒子と相互作用するときに粒子が持つと思われる質量です。固体のバンド理論から得られた結果の 1 つは、格子間隔よりも長い距離にわたる周期ポテンシャル内の粒​​子の動きは、真空中の運動とは大きく異なる可能性があるということです。有効質量は、その質量を持つ自由粒子の挙動をモデル化することにより、バンド構造を単純化するために使用される量です。目的や材料によっては、有効質量を材料の単純な定数と見なすことができます。ただし、一般に、有効質量の値は、使用目的によって異なり、多くの要因によって変わる可能性があります。 ${\textstyle m^{*}}$

固体中の電子または電子正孔の場合、有効質量は通常、電子の静止質量m _e (9.11 × 10 ⁻³¹ kg) を乗じた係数として表されます。この係数は通常 0.01 から 10 の範囲ですが、これより低いことも高いこともあります。たとえば、エキゾチックな重いフェルミオン材料では 1,000 に達したり、グラフェンでは 0 から無限大 (定義によって異なります) の範囲になったりします。電子有効質量は、より一般的なバンド理論を簡素化するため、太陽電池の効率から集積回路の速度まで、固体の測定可能な特性すべてに影響を与える重要な基本パラメータと見なすことができます。

多くの半導体（Ge、Si、GaAsなど）の価電子帯の最高エネルギー、および一部の半導体（GaAsなど）の伝導帯の最低エネルギーでは、バンド構造E（k）は局所的に次のように近似できる。

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$

ここで、E ( k )はそのバンドの波数ベクトル kにおける電子のエネルギー、 E ₀はそのバンドのエネルギー端を与える定数、m ^*は定数（有効質量）です。

これらのバンドに配置された電子は、そのエネルギーが上記の近似の有効範囲内に留まる限り、質量が異なることを除いて自由電子として振る舞うことが示されています。その結果、ドルーデモデルなどのモデルにおける電子質量は、有効質量に置き換える必要があります。

注目すべき特性の 1 つは、バンドが最大値から下向きにカーブしているときに、有効質量が負になる可能性があることです。負の質量の結果、電子は電気力と磁気力に反応して、通常と比較して反対方向に速度を獲得します。これらの電子は負の電荷を持っていますが、正の電荷（および正の質量）を持っているかのような軌道を移動します。これにより、半導体で見つかる正電荷、正質量の準粒子である価電子帯ホールの存在が説明されます。 ^[1]

いずれにしても、バンド構造が上記の単純な放物線形状である場合、有効質量の値は明確です。残念ながら、この放物線形状はほとんどの材料を説明するのに有効ではありません。このような複雑な材料では、「有効質量」の定義は 1 つではなく、それぞれ特定の目的に適した複数の定義があります。この記事の残りの部分では、これらの有効質量について詳しく説明します。

いくつかの重要な半導体（特にシリコン）では、伝導帯の最低エネルギーは対称ではなく、等方性の場合の球ではなく、等エネルギー面が楕円体になっている。各伝導帯の最小値は、

${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{x}^{*}}}\left(k_{x}-k_{0,x}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}^{*}}}\left(k_{y}-k_{0,y}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{z}^{*}}}\left(k_{z}-k_{0,z}\right)^{2}}$

ここで、x、y、z軸は楕円体の主軸と一致し、m^*
_×、メートル^*
_はいとm^*
_ずは、これらの異なる軸に沿った慣性有効質量です。オフセットk _{0, x}、k _{0, y}、k _{0, z は}、伝導帯の最小値がゼロ波数ベクトルを中心としていないことを反映しています。（これらの有効質量は、後述する慣性有効質量テンソルの主成分に対応しています。^[3]）

この場合、電子の動きはもはや自由電子と直接比較することはできません。電子の速度はその方向に依存し、力の方向に応じて異なる程度に加速します。それでも、シリコンなどの結晶では、伝導性などの全体的な特性は等方性であるように見えます。これは、複数の谷（伝導帯の最小値）があり、それぞれが異なる軸に沿って有効質量を再配置しているためです。谷は集合的に一緒に作用して等方性伝導性を与えます。何らかの方法で異なる軸の有効質量を平均化して、自由電子の図を再現することは可能です。ただし、平均化の方法は目的によって異なります。^[4]

一般に、分散関係は放物線として近似することはできず、そのような場合には、有効質量を使用するのであれば、正確に定義する必要があります。ここで一般的に述べられる有効質量の定義は、以下に定義される慣性有効質量テンソルですが、一般には波数ベクトルの行列値関数であり、バンド構造よりもさらに複雑です。他の有効質量は、直接測定可能な現象に関連します。

力の影響下にある古典的な粒子は、ニュートンの第二法則、a = m ⁻¹ Fに従って加速します。または、運動量は次のように変化します。d/d t⁠ p = F。この直感的な原理は、十分に弱い外部磁場に対してバンド間遷移を無視できる場合、バンド構造から導かれる半古典的近似においても同様に現れる。 ^{[5] [6]この力は}結晶運動量 p _crystal の変化率を与える。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} _{\text{crystal}}}{\operatorname {d} t}}=\hbar {\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}},}$

ここでħ = h /2πは換算プランク定数です。

波状粒子の加速度は群速度の変化率となる。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\,\mathbf {v} _{\text{g}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\nabla _{k}\,\omega \left(\mathbf {k} \right)\right)=\nabla _{k}{\frac {\operatorname {d} \omega \left(\mathbf {k} \right)}{\operatorname {d} t}}=\nabla _{k}\left({\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right),}$

ここで、∇ _{k は}逆格子空間におけるdel 演算子です。最後のステップは、間接的な依存関係を持つ量に対する全微分に対する連鎖律を使用することで得られます。なぜなら、力の直接的な結果は上記のk ( t )の変化であり、これは間接的にE ( k )= ħ ω( k )の変化をもたらすからです。これら 2 つの式を組み合わせると、

${\displaystyle \mathbf {a} =\nabla _{k}\left({\frac {\mathbf {F} }{\hbar }}\cdot \nabla _{k}\,{\frac {E(\mathbf {k} )}{\hbar }}\right)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left(\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)\right)\cdot \mathbf {F} =M_{\text{inert}}^{-1}\cdot \mathbf {F} }$

均一な力（∇ _k F =0 ）でのドット積則を用いる。は逆格子空間におけるE（k）のヘッセ行列である。ニュートン力学の逆慣性質量a = m ⁻¹ Fと定義される自由粒子の等価物がテンソル量になっている ことがわかる。${\displaystyle \nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)}$

${\displaystyle M_{\text{inert}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right).}$

その要素は

${\displaystyle \left[M_{\text{inert}}^{-1}\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left[\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\,.}$

このテンソルにより、加速度と力が異なる方向になることが許可され、加速度の大きさは力の方向によって異なります。

• 放物線バンドの場合、 M _inert ⁻¹の非対角要素はゼロであり、対角要素は定数である。
• 等方性バンドの場合、対角要素はすべて等しくなければならず、非対角要素もすべて等しくなければなりません。
• 放物線状の等方性バンドの場合、M _inert ⁻¹ = ⁠1/メートル^*⁠ I、ここでm ^*はスカラー有効質量、 I は単位元です。
• 一般に、 M _inert ⁻¹の要素はkの関数です。
• 逆関数M _inert = ( M _inert ⁻¹ ) ^{−1 は}有効質量テンソルとして知られています。M inert ^{−1 を}_常に逆変換できるわけではないことに注意してください。

グラフェン中の光子や電子のような 線形分散を持つバンドの場合 、群速度は固定されており、つまり、力の方向Fに対してkと平行に移動する電子は加速できず、M _inert ⁻¹の対角要素は明らかにゼロです。しかし、力に垂直な成分で移動する電子は力の方向に加速することができ、M _inert ⁻¹の非対角要素はゼロではありません。実際、非対角要素はkに反比例します。つまり、kが小さい場合は発散します（無限大になります）。これが、グラフェン中の電子が無限大の質量を持つと言われることもあれば（ M _inert ⁻¹の対角線がゼロであるため）、質量がないと言われることもある理由です（非対角線が発散するため）。^[7]${\displaystyle E\propto k}$

古典的には、磁場中の荷電粒子は磁場軸に沿って螺旋状に運動する。その運動周期Tは質量mと電荷eに依存する。

${\displaystyle T=\left\vert {\frac {2\pi m}{eB}}\right\vert }$

ここでBは磁束密度です。

非対称バンド構造の粒子の場合、粒子はもはや正確に螺旋状に動きませんが、磁場に対して横方向の動きは依然として閉ループ内を動きます (必ずしも円ではありません)。さらに、これらのループの 1 つを完了する時間は依然として磁場と反比例して変化するため、上記の式を使用して、測定された周期から サイクロトロン有効質量を定義することができます。

粒子の半古典的な運動は、k 空間の閉ループで記述できます。このループ全体にわたって、粒子は一定のエネルギーと、磁場軸に沿った一定の運動量を維持します。このループで囲まれたk空間領域をAと定義すると(この領域はエネルギーE、磁場の方向、および軸上の波数ベクトルk _Bによって異なります)、この領域のエネルギー微分を介して、サイクロトロン有効質量がバンド構造に依存することが示されます。

${\displaystyle m^{*}\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial }{\partial E}}A\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)}$

通常、サイクロトロン運動（サイクロトロン共鳴、ド・ハース・ファン・アルフェン効果など）を測定する実験は、フェルミ準位付近のエネルギーのプローブ運動のみに制限されます。

2次元電子ガスでは、サイクロトロン有効質量は磁場の1方向（垂直）に対してのみ定義され、面外波動ベクトルは無視されます。したがって、サイクロトロン有効質量はエネルギーの関数にすぎず、関係 （g _vは谷の縮退）を介してそのエネルギーでの状態密度と正確に関連していることがわかります。このような単純な関係は、3次元材料には適用されません。 ${\displaystyle \scriptstyle g(E)\;=\;{\frac {g_{v}m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$

低濃度ドーピングの半導体では、伝導帯の電子濃度は一般に次のように表される。

${\displaystyle n_{\text{e}}=N_{\text{C}}\exp \left(-{\frac {E_{\text{C}}-E_{\text{F}}}{kT}}\right)}$

ここで、E _Fはフェルミ準位、E _Cは伝導帯の最小エネルギー、N _{C は}温度に依存する濃度係数です。上記のn _{eの関係は、ドーピングが弱い（} E _C − E _F ≫ kT ）限り、任意の伝導帯形状（非放物線状、非対称バンドを含む）に適用できます。これは、フェルミ–ディラック統計がマクスウェル–ボルツマン統計に制限されることによる結果です。

有効質量の概念は、 N _Cの温度依存性をモデル化するのに役立ち、それによって上記の関係をさまざまな温度範囲で使用できるようになります。放物線状の帯を持つ理想的な3次元材料では、濃度係数は次のように表されます。

${\displaystyle \quad N_{\text{C}}=2\left({\frac {2\pi m_{\text{e}}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

単純でないバンド構造を持つ半導体では、この関係は有効質量を定義するために使用され、電子の状態密度有効質量として知られています。上記のN _Cの式は放物線バンドの状態密度から導かれるため、「状態密度有効質量」という名前が使用されています。

実際には、このように抽出された有効質量は温度に対して完全に一定ではありません（N _{C は}T ^3/2のように正確には変化しません）。たとえばシリコンでは、バンド構造自体の形状がわずかに変化するため、この有効質量は絶対零度と室温の間で数パーセント変化します。これらのバンド構造の歪みは、電子-フォノン相互作用エネルギーの変化の結果であり、格子の熱膨張は小さな役割を果たします。^[8]

同様に、価電子帯の正孔の数と正孔の状態密度有効質量は次のように定義されます。

${\displaystyle n_{\text{h}}=N_{\text{V}}\exp \left(-{\frac {E_{\text{F}}-E_{\text{V}}}{kT}}\right),\quad N_{\text{V}}=2\left({\frac {2\pi m_{\text{h}}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}$

ここで、E _{V は}価電子帯の最大エネルギーです。実際には、この有効質量は多くの物質において絶対零度から室温までの間で大きく変化する傾向があります（例えば、シリコンでは2倍）。これは、複数の価電子帯があり、それぞれが明確に非放物線的な特性を持ち、すべて同じエネルギー付近でピークに達するためです。^[8]

従来、有効質量はサイクロトロン共鳴を使用して測定されていました。これは、磁場中に置かれた半導体のマイクロ波吸収が、マイクロ波周波数がサイクロトロン周波数に等しいときに鋭いピークを通過する方法です。近年、有効質量は、角度分解光電子分光法( ARPES )などの技術、または最も直接的にはド・ハース・ファン・アルフェン効果などの技術を使用したバンド構造の測定によって決定されることがより一般的です。有効質量は、定積低温電子比熱の線形項の係数 γ を使用して推定することもできます。比熱は、フェルミ準位での状態密度を通じて有効質量に依存し、したがって、縮退とバンド曲率の尺度になります。比熱測定からキャリア質量が非常に大きく推定されたことから、重いフェルミオン材料の概念が生まれました。キャリアの移動度はキャリア衝突寿命と有効質量の比に依存するため、原理的には質量は輸送測定から決定できますが、キャリア衝突確率は通常事前にわからないため、この方法は実用的ではありません。光ホール効果は、半導体の自由電荷キャリア密度、有効質量、移動度パラメータを測定するための新しい技術です。光ホール効果は、導電性および複雑な層状材料の光周波数における準静的電界誘起電気ホール効果の類似物を測定します。光ホール効果により、有効質量と移動度パラメータの異方性（テンソル特性）の特性評価も可能になります。^{[12] [13]}${\displaystyle \scriptstyle f_{c}\;=\;{\frac {eB}{2\pi m^{*}}}}$${\displaystyle \scriptstyle c_{v}}$${\displaystyle \tau }$

密度汎関数理論、k·p摂動論などのさまざまな理論的手法は、前のセクションで説明したさまざまな実験測定を補足およびサポートするために使用され、これらの測定値の解釈、フィッティング、外挿が含まれます。これらの理論的手法の一部は、実験データがない場合でも有効質量の第一原理予測に使用できます。たとえば、実験室でまだ作成されていない材料を研究する場合などです。

有効質量は、電界やキャリア勾配の影響下での電子の輸送などの輸送計算に使用されるが、半導体のキャリア密度や状態密度の計算にも使用される。これらの質量は関連しているが、前のセクションで説明したように、さまざまな方向と波数ベクトルの重みが異なるため同じではない。これらの違いは、たとえば熱電材料では重要であり、熱電材料では、一般に軽い質量に関連する高い伝導率が、一般に重い質量に関連する高いゼーベック係数と同時に求められる。この文脈でさまざまな材料の電子構造を評価する方法が開発されている。^[14]

ガリウムヒ素（GaAs）やインジウムアンチモン（InSb）などのIII - V族化合物は、シリコンやゲルマニウムなどの四面体IV族材料よりも有効質量がはるかに小さい。電子輸送の最も単純なドルーデ図では、得られる最大電荷キャリア速度は有効質量に反比例します：、ここで電子電荷です。集積回路の最終的な速度はキャリア速度に依存するため、有効質量が低いことが、携帯電話などの高帯域幅アプリケーションでSiの代わりにGaAsとその誘導体が使用される基本的な理由です。^[15] ${\textstyle {\vec {v}}\;=\;\left\Vert \mu \right\Vert \cdot {\vec {E}}}$${\textstyle \left\Vert \mu \right\Vert \;=\;{e\tau }/{\left\Vert m^{*}\right\Vert }}$${\textstyle e}$

2017年4月、ワシントン州立大学の研究者らは、分散関係を操作してボーズ・アインシュタイン凝縮体内に負の有効質量を持つ流体を生成したと主張した。^[16]

固体と結晶のモデル:

• タイトバインディングモデル
• 自由電子モデル
• ほぼ自由電子モデル

• Pastori Parravicini, G. (1975).固体の電子状態と光学遷移. Pergamon Press . ISBN 978-0-08-016846-3。 この本には、計算と実験の広範な比較を交えながら、このトピックに関する徹底的かつ分かりやすい議論が含まれています。
• S. Pekar, 結晶中の有効電子質量法、Zh. Eksp. Teor. Fiz. 16 , 933 (1946)。

• NSMアーカイブ