脱出速度

天体力学において、脱出速度または脱出速度とは、物体が主天体との接触またはその軌道から脱出するために必要な最小速度であり、次の条件を仮定します。

• 弾道軌道-推進力や摩擦力など、物体に作用する他の力はない
• 他に重力を生み出す物体は存在しません。

脱出速度という用語が一般的ですが、方向とは無関係であるため、速度というよりも速度として説明する方が正確です。2 つの物体間の重力はそれらの合計質量に依存するため、脱出速度も質量に依存します。人工衛星や小さな自然物体の場合、物体の質量は合計質量にほとんど影響を与えないため、無視されることがよくあります。

脱出速度は主天体の中心からの距離によって変化し、主天体の重力の影響下で移動する物体の速度も同様です。物体が円軌道または楕円軌道上にある場合、その速度は常に現在の距離での脱出速度よりも遅くなります。対照的に、双曲線軌道上にある場合、その速度は常に現在の距離での脱出速度よりも速くなります。(距離が長くなるにつれて速度は低下しますが、漸近的に正の速度に近づきます。)放物線軌道上の物体は、常に現在の距離での脱出速度とまったく同じ速度で移動します。物体は、正確にバランスのとれた正の運動エネルギーと負の重力位置エネルギーを持っています。^[a]物体は常に速度が低下し、漸近的にゼロ速度に近づきますが、完全に停止することはありません。^[1]

脱出速度の計算は、通常、物体が特定の天体の重力の影響圏内に留まるかどうかを決定するために使用されます。たとえば、太陽系の探査では、探査機が地球を周回し続けるか、太陽中心軌道に脱出するかを知ることが有用です。また、探査機が目的の天体の重力に捕らわれるために、どの程度減速する必要があるかを知ることも有用です。ロケットは 1 回の操作で脱出速度に達する必要はなく、物体は重力アシストを使用して大きな天体から運動エネルギーを吸い上げることもできます。

正確な軌道計算には、大気抵抗、放射圧、太陽風などの小さな力を考慮する必要があります。連続的または断続的な推力を受けているロケット（または宇宙エレベーターを登る物体）は、ゼロ以外の任意の速度で脱出することができますが、そのために必要な最小エネルギー量は常に同じです。

質量Mの球対称な主天体（恒星や惑星など）の中心から距離dにおける脱出速度は、式^{[2] [3]で与えられる。}

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}}$

どこ：

• Gは万有引力定数（G ≈ 6.67×10 ⁻¹¹ m ³ ·kg ⁻¹ ·s ⁻²）
• g = GM/d ²は局所的な重力加速度（またはd = rのときは表面重力）です。

GM の値は標準重力パラメータ、またはμと呼ばれ、 GまたはM を個別に知るよりも正確に知られていることがよくあります。

脱出速度よりも大きな初期速度が与えられた場合、物体は漸近的に次の式を満たす双曲過剰速度^{に近づきます。 [4]}${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{e},}$ ${\displaystyle v_{\infty },}$

${\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}$

例えば、標準重力の定義値が9.80665 m/s ² (32.1740 ft/s ² )の場合、^[5]脱出速度は11.186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 ft/s)となります。^[6]

質量のある物体の場合、地球の重力場から脱出するために必要なエネルギーは、物体の質量の関数であるGMm / rです (ここで、 r は地球の半径で、通常は 6,371 キロメートル (3,959 マイル)、Gは万有引力定数、Mは地球の質量で、M = 5.9736 × 10 ²⁴ kg )。関連する量は、比軌道エネルギーで、基本的には運動エネルギーと位置エネルギーの合計を質量で割ったものです。比軌道エネルギーがゼロ以上のとき、物体は脱出速度に達しています。 ${\displaystyle m}$

脱出速度の存在は、エネルギー保存則と有限の深さのエネルギー場の結果として考えることができます。与えられた総エネルギーを持ち、保存力(静的重力場など) に従って移動する物体の場合、その物体がその総エネルギーを持つ場所と速度の組み合わせにしか到達できません。これよりも高い位置エネルギーを持つ場所にはまったく到達できません。物体に速度 (運動エネルギー) を加えると、物体が到達できる場所の領域が拡大し、十分なエネルギーがあれば、無限のあらゆる場所にアクセスできるようになります。

脱出速度の式は、エネルギー保存則から導き出すことができます。簡単にするために、特に断りのない限り、物体は均一な球状の惑星の重力場から遠ざかることで脱出し、移動する物体に作用する唯一の重要な力は惑星の重力であると仮定します。質量mの宇宙船が、質量Mの惑星の質量中心から距離rのところにあり、その初期速度が脱出速度 に等しいとします。最終状態では、宇宙船は惑星から無限の距離にあり、その速度は無視できるほど小さくなります。ここで扱うエネルギーの種類は運動エネルギーKと重力による位置エネルギーU _gのみであるため (大気の抗力は無視します)、エネルギー保存則により、 ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}$

最終速度は任意に小さいのでK _final = 0に設定でき、最終重力位置エネルギーは惑星から遠く離れたところではゼロと定義されているので U _{g  final = 0に設定できます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

相対論的計算でも同じ結果が得られ、その場合、変数rはシュワルツシルト計量の半径座標または縮小円周を表します。^{[8] [9]}

物体の表面で特に役立つ 脱出速度の別の表現は次のとおりです。${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}$

ここでrは物体の中心と脱出速度を計算する点との間の距離であり、 gはその距離における重力加速度（すなわち表面重力）である。 ^[10]

質量が球対称に分布している物体の場合、表面からの脱出速度は密度が一定であると仮定すると半径に比例し、平均密度 ρ の平方根に比例します。 ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

どこ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

この脱出速度は、以下に説明するように、惑星や月の移動表面に対するものではなく、回転しない基準系に対するものです。

回転体の表面に対する脱出速度は、脱出する物体が移動する方向によって決まる。例えば、地球の自転速度は赤道で465 m/sであるため、地球の赤道から東に接線方向に打ち上げられたロケットが脱出するには、発射地点の移動表面に対して約10.735 km/sの初速度が必要となるが、地球の赤道から西に接線方向に打ち上げられたロケットは、その移動表面に対して約11.665 km/sの初速度が必要となる。表面速度は地理的な緯度の余弦とともに減少するため、宇宙打ち上げ施設は、アメリカのケープカナベラル（北緯28°28′）やフランス領ギアナ宇宙センター（北緯5°14′）のように、可能な限り赤道に近い場所に設置されることが多い。

ほとんどの場合、ほぼ瞬時に脱出速度に達することは非現実的である。これは、加速を伴うことと、大気圏がある場合、極超音速（地球上では 11.2 km/s、または 40,320 km/h）により、ほとんどの物体は空力加熱により燃え尽きるか、大気の抵抗によりバラバラになってしまうからである。実際の脱出軌道では、宇宙船は大気圏外で着実に加速し、高度に適した脱出速度（地表よりも低くなる）に達する。多くの場合、宇宙船は最初に駐機軌道（例： 160～2,000 km の低地球軌道）に配置され、次にその高度での脱出速度まで加速される。この速度はそれよりわずかに低くなる（200 km の低地球軌道で約 11.0 km/s）。しかし、宇宙船はすでにかなりの軌道速度を持っているため（低地球軌道での速度は約 7.8 km/s、または 28,080 km/h）、 必要な追加の速度変更ははるかに少なくなります。

与えられた高度での脱出速度は、同じ高度での円軌道の速度の倍数である（円軌道の速度方程式と比較のこと）。これは、そのような軌道上の物体の無限遠に対する位置エネルギーがその運動エネルギーのマイナス2倍であるという事実に対応するが、脱出するには位置エネルギーと運動エネルギーの合計が少なくともゼロである必要がある。円軌道に対応する速度は、第1宇宙速度と呼ばれることがあるが、この文脈では脱出速度は第2宇宙速度と呼ばれる。^{[11] [12] [13]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

楕円軌道上の物体が脱出軌道まで加速しようとする場合、必要な速度は変化し、物体が中心物体に最も近づく近点において最大になります。ただし、物体の軌道速度もこの時点で最高になり、必要な速度の変化は、オーベルト効果によって説明されるように、最低になります。

脱出速度は、中心となる他の物体に対する相対速度、または物体系の質量中心または重心に対する相対速度として測定できます。したがって、2 つの物体からなる系では、脱出速度という用語はあいまいになる可能性がありますが、通常は、質量の小さい方の物体の重心脱出速度を意味します。脱出速度は通常、質量ゼロのテスト粒子の脱出速度を指します。質量ゼロのテスト粒子の場合、「他の物体に対する相対速度」と「重心脱出速度」は同じ、つまり となります。 ただし、より小さい質量 (たとえば ) を無視できない場合は、わずかに異なる式になります。系は運動量保存の法則に 従わなければならないため、大きい方の質量と小さい方の質量の両方が重力場で加速される必要があることがわかります。質量中心に対する大きい方の質量 (惑星の場合 ) の速度は、小さい方の質量 (ロケットの場合 )の速度で表すことができます。次の式が得られます。 「重心」脱出速度は次のようになります。一方、「他方に対する相対的な」脱出速度は次のようになります。 ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle v_{r}}$${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$
${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

物体と物体の間の重力以外のすべての要因を無視すると、脱出速度と半径を持つ球体の表面から垂直に投射された物体は、次の式を満たす最大高さに達する^[14]。${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{e}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

これをhについて解くと次のようになる。

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

ここで、元の速度と脱出速度の比は${\textstyle x=v/v_{e}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{e}.}$

脱出速度とは異なり、最大高度を達成するには方向（垂直上）が重要です。

物体がちょうど脱出速度に達したが、惑星からまっすぐに離れない場合、その物体は曲線の経路または軌道をたどります。この軌道は閉じた形状を形成しませんが、軌道と呼ぶことができます。重力がシステム内の唯一の重要な力であると仮定すると、軌道上のどの点でもこの物体の速度はその点の脱出速度に等しくなります。エネルギー保存則により、その全エネルギーは常に 0 でなければならないため、常に脱出速度があることになります (上記の導出を参照)。軌道の形状は放物線になり、その焦点は惑星の質量中心にあります。実際の脱出には、惑星またはその大気と交差しない軌道のコースが必要です。交差すると物体が衝突してしまうからです。発生源から離れるとき、この経路は脱出軌道と呼ばれます。脱出軌道はC3 = 0 軌道として知られています。C3は特性エネルギー、= − GM /2 aであり、ここでaは長半径であり、放物線軌道の場合は無限大である。

物体の速度が脱出速度よりも速い場合、その軌道は双曲軌道を形成し、物体が持つ余分なエネルギーに等しい超過双曲速度を持ちます。脱出速度まで加速するために必要な速度を超える比較的小さな余分なデルタv は、無限遠で比較的大きな速度をもたらす可能性があります。軌道操作の中にはこの事実を利用するものがあります。たとえば、脱出速度が 11.2 km/s の場所では、0.4 km/s を追加すると、3.02 km/s の双曲過剰速度が得られます。

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}$

円軌道（または楕円軌道の近点）にある物体が移動方向に沿って脱出速度まで加速すると、加速点が脱出軌道の近点を形成します。最終的な移動方向は、加速点の方向に対して 90 度になります。物体が脱出速度を超えて加速すると、最終的な移動方向はより小さな角度になり、現在進んでいる双曲線軌道の漸近線の 1 つで示されます。つまり、特定の方向に脱出する意図がある場合、加速のタイミングが重要になります。

近点速度がvの場合、軌道の 離心率は次のように表されます。

${\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}$

これは楕円軌道、放物線軌道、双曲軌道に当てはまります。軌道が双曲面または放物線の場合、近点方向から 角度に漸近し、${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

速度は漸近的に近づく

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}$

この表の左半分は、惑星または月の中心に対する（つまり、その移動面に対するものではない）可視表面（木星など、気体である場合もある）からの脱出速度を示しています。右半分のV _{e は}中心天体（太陽など）に対する速度を指し、V _{te は}（小さい方の天体の可視表面での）小さい方の天体（惑星または月）に対する速度です。

最後の 2 つの列は、軌道が正確に円形ではないため (特に水星と冥王星)、軌道上のどこで脱出速度に達するかによって決まります。

Gを重力定数、 Mを地球（または他の重力物体）の質量、mを逃げる物体または発射体の質量とします。重力の中心からrの距離にある物体は引力を感じます。

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

したがって、この力に抗して物体を小さな距離drだけ動かすために必要な仕事は次のように表される。

${\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}$

物体を重力体の表面r _{0から無限遠まで移動させるのに必要な全仕事は}^[19]

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}$

この仕事をして無限大に到達するためには、物体の出発時の最小運動エネルギーがこの仕事に一致する必要があるため、脱出速度v ₀は次式を満たす。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

その結果

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

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