アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックス

アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン（EPR）パラドックスは、物理学者アルバート・アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンによって提唱された思考実験であり、量子力学が提供する物理的現実の記述は不完全であると主張している。^[1] 1935年の論文「物理的現実の量子力学的記述は完全であると考えられるか？」で、彼らは量子論の一部ではない「現実の要素」の存在を主張し、これらの隠れた変数を含む理論を構築することが可能であると推測した。パラドックスの解決は、量子力学の解釈に重要な意味を持つ。

この思考実験には、後にエンタングルメント 状態として知られるようになる粒子のペアが関与する。アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、この状態では、最初の粒子の位置を測定すれば、2 番目の粒子の位置を測定した結果を予測できると指摘した。代わりに最初の粒子の運動量を測定すれば、2 番目の粒子の運動量を測定した結果を予測できる。彼らは、最初の粒子に対して行われたいかなる行動も、他の粒子に瞬時に影響を及ぼすことはできないと主張した。なぜなら、それは光よりも速く情報が伝達されることを伴うが、相対性理論によれば不可能だからである。彼らは、後に「EPR 現実基準」として知られる原理を引用した。それは、「システムをまったく乱すことなく、物理量の値を確実に (つまり、確率が1 に等しい) 予測できる場合、その量に対応する現実の要素が存在する」というものである。このことから、彼らは、2 番目の粒子は、どちらかの量が測定される前に、位置と運動量の両方の明確な値を持っているに違いないと推論した。しかし量子力学では、これら2つの観測可能量は両立しないと考えられており、したがって、両方の同時値をいかなるシステムにも関連付けることはありません。したがって、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、量子理論は現実の完全な記述を提供しないと結論付けました。^[2]

「アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックス」または「EPR」という用語は、ナチスドイツの台頭から逃れてアインシュタインが高等研究所に入所した後の1934年に書かれた論文から生まれました。^{[3] [4]} 元の論文^[5]は、「相互作用することを許可した2つのシステムIとII」に何が起こるかを説明し、しばらくすると「2つの部分の間にはもはや相互作用がないと仮定します」と述べています。EPRの説明には、「2つの粒子AとBが短時間相互作用し、その後反対方向に動き出す」ことが含まれます。^[6]ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、粒子Bの運動量と位置の両方を正確に測定することは不可能ですが、粒子Aの正確な位置を測定することは可能です。したがって、計算によって、粒子Aの正確な位置がわかれば、粒子Bの正確な位置を知ることができます。あるいは、粒子Aの正確な運動量を測定できるため、粒子Bの正確な運動量を計算できます。マンジット・クマールは次のように書いている。「EPR は、… [粒子] B が位置と運動量の正確な値を同時に持つことができることを証明したと主張した。… 粒子 B は実在する位置と実在する運動量を持つ。EPR は、粒子 B が物理的に乱される可能性をまったく持たずに、粒子 A の測定によって粒子 B の運動量または位置の正確な値を確立する手段を考案したようだ。」^[6]

EPR は、量子力学の真の適用範囲に疑問を投げかけるパラドックスを作ろうとした。量子論は、粒子について両方の値を知ることはできないと予測しているが、EPR の思考実験は、それらすべてが確定的な値を持つ必要があることを示している。EPR の論文は、「したがって、波動関数によって与えられる物理的現実の量子力学的記述は完全ではないという結論に至らざるを得ない」と述べている。 ^[6] EPR の論文は、「このように、波動関数は物理的現実の完全な記述を提供しないことを示したが、そのような記述が存在するかどうかという問題は未解決のままである。しかし、そのような理論は可能であると信じている」と結んでいる。1935 年の EPR の論文は、哲学的議論を物理的な議論に凝縮した。著者らは、測定が行われる前に測定結果がわかっている特定の実験がある場合、測定結果を決定する「現実の要素」が現実世界に存在しなければならないと主張している。彼らは、これらの現実の要素は、現代の用語で言えば、それぞれが時空のある点に属するという意味で局所的であると仮定している。また、現代の用語で言えば、各要素は時空内のその点の後方光円錐内（つまり過去）にある出来事によってのみ影響を受ける可能性がある。これらの主張は、現在局所的実在論として知られている自然に関する仮定に基づいている。^[7]

EPR 論文はしばしばアインシュタインの見解をそのまま表現したものとみなされてきたが、その主たる著者はポドルスキーであり、アインシュタインとローゼンとの高等研究所での議論に基づいていた。アインシュタインは後にエルヴィン・シュレーディンガーに「当初望んでいたほどうまくはいかなかった。むしろ、本質的な部分が形式主義によって覆い隠されてしまったのだ」と述べた。 ^[8]アインシュタインは後に、局所的実在論の考えについて独自の説明を行った。^[9] EPR 論文がPhysical Reviewに掲載される少し前に、 ニューヨーク・タイムズ紙は「アインシュタインが量子論を攻撃」という見出しでその論文に関するニュース記事を掲載した。^[10]ポドルスキーの言葉を引用したこの記事はアインシュタインを激怒させ、彼はタイムズ紙に「5月4日号の『アインシュタインが量子論を攻撃』という記事の根拠となった情報は、あなたに無断で提供されたものです。科学的な事柄は適切な場でのみ議論するのが私の常套手段であり、そのような事柄に関するいかなる発表も世俗的な新聞で事前に公表されることを非難します」と書いた。^{[11] : 189}

タイムズ紙の記事では物理学者エドワード・コンドンにもコメントを求めたが、彼は「もちろん、議論の大部分は物理学における『現実』という言葉にどのような意味が付与されるかにかかっている」と述べた。^{[11] : 189}物理学者で歴史家のマックス・ジャマーは後に「EPR論文に対する最初の批判、しかも、アインシュタインの物理的現実の概念が全体の問題の鍵となる問題であると正しく認識した批判が、批判された論文自体の出版前に日刊紙に掲載されたことは歴史的事実である」と述べた。^{[11] : 190}

この論文の発表はニールス・ボーアの反論を促し、彼は同じ年に同じタイトルで同じ雑誌 ( Physical Review ^{) にその論文を発表した。 [12] (このやり取りは、量子実在の性質に関する}ボーアとアインシュタインの長期にわたる論争のほんの一章に過ぎなかった。) 彼は、EPR の推論は誤りであると主張した。ボーアは、位置と運動量の測定は補完的であり、つまり、一方を測定する選択は他方を測定する可能性を排除すると述べた。その結果、実験装置の 1 つの配置に関して推論された事実は、もう一方によって推論された事実と組み合わせることができず、そのため、2 番目の粒子の所定の位置と運動量の値の推論は有効ではなかった。ボーアは、EPR の「議論は、量子記述が本質的に不完全であることが判明するという結論を正当化しない」と結論付けた。

アインシュタインは自身の出版物や書簡の中で、EPR の論文に満足しておらず、その大部分はローゼンが執筆したものだと述べた。後に彼は別の議論を展開し、量子力学は不完全な理論だと主張した。^{[13] [14] [15] [16] : 83ff}彼は EPR が粒子 B の位置と運動量に「現実の要素」を帰属させていることをはっきりと軽視し、粒子 B の結果として生じる状態から位置と運動量を確実に予測できるかどうかは「どうでもいい」と述べた。^[a]

アインシュタインにとって、議論の決定的な部分は非局所性の証明であり、粒子Aで行われた測定（位置または運動量）の選択は、粒子Bの2つの異なる量子状態につながるというものでした。彼は、局所性のため、粒子Bの実際の状態はAで行われた測定の種類に依存できず、したがって量子状態は実際の状態と1対1に対応することはできないと主張しました。^[13]アインシュタインは、局所性の考えによりよく従うことができる理論を見つけるために残りの人生を費やしましたが、成功しませんでした。

1951 年、デイヴィッド・ボームはEPR の思考実験の変形を提案しました。この実験では、EPR で考えられていた位置と運動量の測定とは異なり、測定には離散的な範囲の結果があります。^{[17] [18] [19]} EPR–ボームの思考実験は、電子–陽電子対を使用して説明できます。電子–陽電子対を放出する発生源があり、電子は目的地Aに送られ、そこにはAliceという名前の観測者がいます。陽電子は目的地Bに送られ、そこにはBobという名前の観測者がいます。量子力学によれば、放出された各対がスピンシングレットと呼ばれる量子状態を占めるように発生源を配置できます。したがって、粒子はエンタングルメント (量子もつれ) していると言えます。これは、状態 I と状態 II と呼ばれる 2 つの状態の量子重ね合わせとして見ることができます。状態 I では、電子のスピンはz軸に沿って上向き(+ z ) で、陽電子のスピンはz軸に沿って下向き (- z ) です。状態 II では、電子のスピンは - zで、陽電子のスピンは + zです。これは状態の重ね合わせであるため、測定を行わずにスピン一重項内のいずれかの粒子のスピンの明確な状態を知ることは不可能です。^{[20] : 421–422}

アリスは、スピンをz軸に沿って測定します。アリスは、 + zまたは − z の2 つの結果のうちの 1 つを得ることができます。アリスが + zを得たと仮定します。非公式に言えば、システムの量子状態は状態 I に崩壊します。量子状態は、システムで実行されるあらゆる測定の可能性のある結果を決定します。この場合、ボブがその後z軸に沿ってスピンを測定すると、 − zを得る可能性が 100% あります。同様に、アリスが − z を得た場合、ボブは + zを得ます。 z軸を選択することは特別なことではありません。量子力学によれば、スピンシングレット状態は、 x方向を指すスピン状態の重ね合わせとして同様に表現できます。^{[21] : 318}

どの軸に沿ってスピンを測定しても、常に反対であることが分かります。量子力学では、xスピンおよびzスピンは「両立しない観測可能量」であり、ハイゼンベルクの不確定性原理がそれらの交互測定に適用されます。つまり、量子状態はこれらの変数の両方に対して明確な値を持つことはできません。アリスがzスピンを測定して+zを取得し、量子状態が状態 I に崩壊するとします。次に、ボブはzスピンも測定する代わりに、xスピンを測定します。量子力学によれば、システムが状態 I にある場合、ボブのxスピン測定では 50% の確率で + xが生成され、50% の確率で - x が生成されます。ボブが実際に測定を実行するまで、どちらの結果が現れるかを予測することは不可能です。したがって、ボブの陽電子は、アリスの電子と同じ軸に沿って測定された場合は明確なスピンを持ちますが、垂直軸で測定された場合はスピンが一様にランダムになります。あたかもアリスの装置から（光よりも速く）情報が伝播し、ボブの陽電子が適切な軸で一定の回転をするようにしたかのようです。

1964年、ジョン・スチュワート・ベルは、当時の不可解な状況を調査した論文^[22]を発表しました。一方では、EPRパラドックスは量子力学が非局所的であることを示しており、隠れた変数理論がこの非局所性を改善できることを示唆していました。他方では、デイビッド・ボームが最初の成功した隠れた変数理論を開発したばかりでしたが、それは非常に非局所的な性質を持っていました。^{[23] [24]}ベルは、隠れた変数で非局所性の問題を解決することが本当に可能かどうかを調べ始め、まず、EPRとボームの両方のバージョンのパラドックスで示された相関関係は、隠れた変数を使用して実際に局所的に説明できること、次に、ベル独自のパラドックスのバリエーションで示された相関関係は、どのような局所的な隠れた変数理論でも説明できないことを発見しました。この2番目の結果はベルの定理として知られるようになりました。

最初の結果を理解するには、後に JJ Sakurai によって導入された次のおもちゃの隠れた変数理論について考えてみましょう。^{[25] : 239–240}この理論では、ソースによって放出される量子スピン一重項状態は、実際にはzスピンとxスピンに明確な値を持つ「真の」物理状態の近似的な記述です。これらの「真の」状態では、ボブに向かう陽電子は常にアリスに向かう電子と反対のスピン値を持ちますが、それ以外の値は完全にランダムです。たとえば、ソースによって放出される最初のペアは「アリスには(+ z、 − x )、ボブには (− z、 + x )」、次のペアは「アリスには (− z、 − x )、ボブには (+ z、 + x )」などです。したがって、ボブの測定軸がアリスの測定軸と一致している場合、ボブは必然的にアリスが得るものの反対のものを得ます。そうでない場合は、ボブは「+」と「−」を同じ確率で得ます。

しかしベルは、そのようなモデルはアリスとボブが同じ軸または垂直な軸で測定を行った場合にのみシングレット相関を再現できることを示した。軸間の他の角度が許容されるとすぐに、局所的な隠れた変数の理論は量子力学的な相関を再現できなくなる。「ベルの不等式」として知られる不等式を使用して表現されるこの違いは、原理的には実験的に検証可能である。ベルの論文の発表後、ベルの不等式を検証するためのさまざまな実験が、特に1980年代のアラン・アスペクトのグループによって行われた。 ^[26]現在までに行われたすべての実験では、量子力学の予測に沿った動作が見られた。現在の状況の見方は、量子力学は、受け入れられる物理理論は「局所的実在性」を満たさなければならないというアインシュタインの哲学的仮定に完全に矛盾しているというものである。量子力学がベルの不等式に違反しているという事実は、量子力学の基礎となる隠れた変数の理論は非局所的でなければならないことを示している。これを量子力学自体が非局所的であることを意味すると解釈すべきかどうかは、現在も議論が続いている問題である。^{[27] [28]}

1935年にシュレーディンガーがEPRパラドックスを扱ったことに触発され、^{[29] [30]} ハワード・M・ワイズマンらは2007年にこれを量子ステアリング現象として形式化した。^[31]彼らはステアリングを、もつれ状態の一部に対するアリスの測定がボブの状態の一部を操縦する状況と定義した。つまり、ボブの観察は、ボブ側には古典的には相関しているがそれ以外はアリスとは独立している固定された量子状態があるという 局所隠れ状態モデルでは説明できない。

局所性は物理学においていくつかの異なる意味を持つ。EPR は局所性の原理を、ある場所で起こる物理的プロセスが別の場所の現実の要素に直接的な影響を与えてはならないと主張するものとして説明している。一見すると、これは、因果関係に違反することなくエネルギーを光速よりも速く伝送することはできないと述べる特殊相対性理論の結果であるため、合理的な仮定のように見える。 ^{[20] : 427–428  [ 32]}しかし、量子力学的記述と古典的記述を組み合わせる通常の規則は、特殊相対性理論や因果関係に違反することなく、EPR の局所性原理に違反することが判明した。 ^{[20] : 427–428  [32]アリスが測定軸を操作してボブにメッセージ (つまり情報) を送信する方法がないため、因果関係は保持される。どの軸を使用しても、完全に}ランダムに、50% の確率で "+" が得られ、50% の確率で "-" が得られる。量子力学によれば、アリスが結果に影響を与えることは基本的に不可能です。さらに、ボブは測定を一度しか実行できません。量子力学の基本的な性質である複製不可定理により、ボブは受け取った電子のコピーを任意の数だけ作成し、それぞれに対してスピン測定を実行し、結果の統計的分布を調べることはできません。したがって、ボブが実行できる 1 回の測定では、彼の軸がアリスの軸と一致しているかどうかに関係なく、50% の確率で「+」が得られ、50% の確率で「-」が得られます。

要約すると、EPR 思考実験の結果は特殊相対性理論の予測と矛盾しない。EPR パラドックスも量子実験も超光速信号が可能であることを証明していない。しかし、局所性の原理は物理的直感に強く訴えるもので、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンはそれを放棄しようとしなかった。アインシュタインは量子力学の予測を「不気味な遠隔作用」と嘲笑した。^[b]彼らが導き出した結論は、量子力学は完全な理論ではないというものだった。^[34]

ボームのEPRパラドックスの変形は、スピンの量子力学的定式化を使用して数学的に表現できます。電子のスピンの自由度は、2次元複素ベクトル空間 Vに関連付けられており、各量子状態はその空間のベクトルに対応しています。 x、y、z方向のスピンに対応する演算子は、それぞれS _x、S _y、S _zで表され、パウリ行列を使用して表すことができます。^{[25] : 9} ここで、 は縮小されたプランク定数（またはプランク定数を2πで割ったもの）です。 $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \hbar }$

S _zの固有状態は次のように表され 、 S _x の固有状態は次のように表される。 $${\displaystyle \left|+z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \left|-z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \left|+x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},\quad \left|-x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.}$$

電子-陽電子対のベクトル空間は、電子と陽電子のベクトル空間の テンソル積です。スピン一重項状態は 、右側の 2 つの項が上で状態 I と状態 II と呼ばれているものです。 ${\displaystyle V\otimes V}$$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle -\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle {\biggr )},}$$

上記の式から、スピンシングレットは次のようにも表記できることが分かります。 ここで、右側の項は状態 Ia および状態 IIa と呼ばれているものです。 $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+x\right\rangle \otimes \left|-x\right\rangle -\left|-x\right\rangle \otimes \left|+x\right\rangle {\biggr )},}$$

このパラドックスを説明するには、アリスがS _z (またはS _x ) を測定した後に、ボブのS _z (またはS _x ) の値が一意に決定され、ボブのS _x (またはS _z )の値が一様にランダムであることを示す必要があります。これは、量子力学の測定原理に従います。S _zが測定されると、システムの状態はS _zの固有ベクトルに崩壊します。測定結果が + zの場合、これは測定直後にシステムの状態が次のように崩壊することを意味します 。${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle \left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle =\left|+z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle -\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$

同様に、アリスの測定結果が − zの場合、状態は に崩壊します。 両方の式の左側は、ボブの陽電子上のS _zの測定結果が決定され、最初のケースでは− z 、2 番目のケースでは + zになることを示しています。式の右側は、ボブの陽電子上のS _xの測定結果が、両方のケースで、それぞれ確率 1/2 で + xまたは − xを返すことを示しています。 $${\displaystyle \left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle =\left|-z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle +\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$

• Eberhard, PH (1977). 「隠れた変数のないベルの定理」. Il Nuovo Cimento B.シリーズ 11. 38 (1): 75–80. arXiv : quant-ph/0010047 . Bibcode :1977NCimB..38...75E. doi :10.1007/bf02726212. ISSN  1826-9877. S2CID  51759163.
• Eberhard, PH (1978). 「ベルの定理と局所性のさまざまな概念」. Il Nuovo Cimento B.シリーズ 11. 46 (2): 392–419. Bibcode :1978NCimB..46..392E. doi :10.1007/bf02728628. ISSN  1826-9877. S2CID  118836806.
• アインシュタイン、A.; ポドルスキー、B.; ローゼン、N. (1935-05-15). 「物理的実在の量子力学的記述は完全であると考えられるか?」(PDF) .物理レビュー. 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/physrev.47.777 . ISSN  0031-899X.
• Fine, Arthur (1982-02-01). 「隠れた変数、結合確率、ベル不等式」. Physical Review Letters . 48 (5): 291–295. Bibcode :1982PhRvL..48..291F. doi :10.1103/physrevlett.48.291. ISSN  0031-9007.
• A. Fine、「相関関係は説明される必要があるのか​​？」、Cushing & McMullin 編『量子理論の哲学的帰結：ベルの定理に関する考察』（University of Notre Dame Press、1986 年）。
• Hardy, Lucien (1993-09-13). 「ほぼすべてのエンタングルメント状態において不等式のない 2 つの粒子の非局所性」. Physical Review Letters . 71 (11): 1665–1668. Bibcode :1993PhRvL..71.1665H. doi :10.1103/physrevlett.71.1665. ISSN  0031-9007. PMID  10054467.
• M. 水木、ベルの不等式の古典的解釈。アンナレス・ド・ラ・フォンダシオン・ルイ・ド・ブロイ26 683 (2001)
• ペレス、アッシャー(2005)。「アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼン、シャノン」。物理学の基礎。35 (3): 511–514。arXiv : quant-ph/0310010。Bibcode :  2005FoPh ... 35..511P。doi : 10.1007 /s10701-004-1986-6。ISSN 0015-9018。S2CID  119556878 。
• P. Pluch、「量子確率の理論」、博士論文、クラーゲンフルト大学 (2006)
• Rowe, MA; Kielpinski, D.; Meyer, V.; Sackett, CA; Itano, WM; Monroe, C.; Wineland, DJ (2001). 「効率的な検出によるベル不等式の実験的違反」. Nature . 409 (6822): 791–794. Bibcode :2001Natur.409..791R. doi :10.1038/35057215. hdl : 2027.42/62731 . ISSN  0028-0836. PMID  11236986. S2CID  205014115.
• Smerlak, Matteo; Rovelli, Carlo (2007-02-03). 「リレーショナルEPR」. Foundations of Physics . 37 (3): 427–445. arXiv : quant-ph/0604064 . Bibcode :2007FoPh...37..427S. doi :10.1007/s10701-007-9105-0. ISSN  0015-9018. S2CID  11816650.

• ベル、ジョン・S. (1987)。量子力学における語れることと語れないこと。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36869-3。 
• ファイン、アーサー（1996年）。『不安定なゲーム：アインシュタイン、実在論、量子論』第2版。シカゴ大学出版局。
• グリビン、ジョン（1984年）。シュレディンガーの猫を探して。ブラックスワン。ISBN 978-0-552-12555-0 
• レダーマン、レオン、テレシ、ディック(1993)。神の粒子：宇宙が答えなら、疑問は何か?ホートン・ミフリン社、pp. 21、187-189。
• Selleri, Franco (1988). 『量子力学と局所的実在論：アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックス』 ニューヨーク：Plenum Press. ISBN 0-306-42739-7 . 

Wikiquote には、アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスに関する引用があります。

• スタンフォード哲学百科事典：量子論におけるアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンの議論；1.2 本文中の議論
• インターネット哲学百科事典：「アインシュタイン-ポドルスキー-ローゼンの議論とベル不等式」
• スタンフォード哲学百科事典：アブナー・シモニー（2019）「ベルの定理」
• EPR、ベル、アスペクト: オリジナルの参考文献
• ベルの不等式原理は量子力学の局所理論を排除するか？Usenet 物理学 FAQ より
• テレポーテーションにおけるEPRの理論的利用
• 暗号におけるEPRの効果的な利用
• 単一光子によるEPR実験インタラクティブ
• 遠隔地での不気味な行動？：マーミン教授によるオッペンハイマー講演
• 原著論文