散逸システム

散逸系は、エネルギーと物質を交換する環境において熱力学的平衡から外れた、あるいはしばしば熱力学的平衡から離れた状態で動作する熱力学的に開放された系です。竜巻は散逸系と考えることができます。散逸系は保存系とは対照的です。

散逸構造とは、ある意味で再現可能な定常状態にある動的領域を持つ散逸システムです。この再現可能な定常状態は、システムの自然な進化、人工物、またはこれら 2 つの組み合わせによって達成される可能性があります。

散逸構造は、対称性の破れ（異方性）が自発的に現れ、相互作用する粒子が長距離相関を示す複雑で時には混沌とした構造を形成することを特徴とする。日常生活における例としては、対流、乱流、サイクロン、ハリケーン、生物などが挙げられる。あまり一般的ではない例としては、レーザー、ベナール細胞、液滴クラスター、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応などがある。^[1]

散逸系を数学的にモデル化する 1 つの方法は、放浪集合に関する記事で説明されています。これは、測定可能な集合に対するグループの作用を伴います。

散逸システムは経済システムや複雑系を研究するためのツールとしても使用できます。^[2]たとえば、ナノワイヤの自己組織化を伴う散逸システムは、エントロピー生成と生物システムの堅牢性との関係を理解するためのモデルとして使用されてきました。^[3]

ホップ分解は、動的システムを保存部分と散逸部分に分解できることを示しています。より正確には、非特異変換を持つすべての測度空間は、不変保存集合と不変散逸集合に分解できることを示しています。

散逸構造という用語を作ったロシア系ベルギー人物理化学者イリヤ・プリゴジンは、熱力学的定常状態とみなすことができる動的領域を持ち、時には少なくとも非平衡熱力学における適切な極限原理によって記述できるこれらの構造に関する先駆的な研究により、1977年にノーベル化学賞を受賞した。

プリゴジンはノーベル賞受賞講演^[4]で、平衡から遠く離れた熱力学系が平衡に近い系とは大きく異なる挙動を示す理由を説明しています。平衡付近では、局所平衡仮説が適用され、自由エネルギーやエントロピーなどの典型的な熱力学量を局所的に定義できます。系の（一般化された）流束と力の間には線形関係があると仮定できます。線形熱力学から得られた2つの有名な結果は、オンサガーの逆数関係と最小エントロピー生成の原理です。^[5]このような結果を平衡から遠く離れた系に拡張する努力の結果、この領域では成立せず、逆の結果が得られました。

このようなシステムを厳密に分析する方法の 1 つは、平衡から遠く離れたシステムの安定性を調べることです。平衡に近い場合、エントロピーが安定した最大値に向かうことを保証するリャプノフ関数の存在を示すことができます。変動は固定点の近傍で減衰し、マクロ的な記述で十分です。ただし、平衡から遠く離れた安定性はもはや普遍的な特性ではなく、破壊される可能性があります。化学システムでは、Brusselatorの例のように、自己触媒反応の存在によってこれが発生します。システムが特定のしきい値を超えて駆動されると、振動は減衰されなくなり、増幅される可能性があります。数学的には、これはホップ分岐に対応し、パラメーターの 1 つを特定の値を超えて増加させると、リミットサイクルの挙動につながります。反応拡散方程式を通じて空間効果が考慮されると、ベロウソフ–ジャボチンスキー反応の場合のように、長距離相関と空間的に整列したパターンが発生します^[6]。不可逆的なプロセスの結果として生じるこのような動的な物質の状態を持つシステムは、散逸構造です。

最近の研究では、プリゴジンの散逸構造の考え方が生物学的システムに関連して再考されている。^[7]

ウィレムスは、システム理論において、入力と出力の特性によって動的システムを記述する散逸性の概念を初めて導入しました^[8] 。状態、入力、出力によって記述される動的システムを考えると、入力と出力の相関には供給率 が与えられます。システムが供給率に関して散逸的である とは、連続的に微分可能なストレージ関数が存在し、かつ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle w(u(t),y(t))}$${\displaystyle V(x(t))}$${\displaystyle V(0)=0}$${\displaystyle V(x(t))\geq 0}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))}$^[9 ]

散逸性の特殊なケースとして、上記の散逸性不等式が受動性供給率に関して成り立つ場合、システムは受動的であると言われます。 ${\displaystyle w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)}$

物理的な解釈では、 はシステムに蓄積されるエネルギーであり、はシステムに供給されるエネルギーです。 ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle w(u(t),y(t))}$

この概念は、リャプノフ安定性と密接な関係があり、動的システムの制御可能性と観測可能性の特定の条件下では、記憶関数がリャプノフ関数の役割を果たす可能性があります。

大まかに言えば、散逸理論は線形および非線形システムのフィードバック制御則の設計に役立ちます。散逸システム理論は、VM Popov、JC Willems、DJ Hill、およびP. Moylanによって議論されてきました。線形不変システムの場合^[要説明] 、これは正の実伝達関数として知られており、基本的なツールは、状態空間と正の実システム^[要説明]の周波数領域特性を関連付ける、いわゆるカルマン-ヤクボビッチ-ポポフの補題です。^[10]散逸システムは、その重要な応用により、システムと制御の分野で現在も活発な研究分野です。

量子力学や古典的な力学系は、時間が可逆なハミルトン力学に大きく依存しているため、これらの近似では本質的に散逸系を記述できません。原理的には、システム（たとえば振動子）をバス（広帯域スペクトルを持つ熱平衡状態にある多数の振動子の集合体）に弱く結合し、バス上でトレース（平均）できると提案されています。これにより、古典的なリウヴィル方程式の量子版であるリンドブラッド方程式と呼ばれるより一般的な設定の特殊なケースであるマスター方程式が得られます。この方程式のよく知られた形式とその量子版は、積分する可逆変数として時間を取りますが、散逸構造の基礎そのものが、時間に不可逆で建設的な役割を課しています。

最近の研究では、ジェレミー・イングランドの散逸適応理論^[7]の量子拡張^[11]が見られました（これは、前述のように、プリゴジンの散逸構造の考え方を平衡から遠い統計力学に一般化したものです）。

エネルギーが絶えず交換されるシステムの挙動を理解するためのメカニズムとしての散逸構造の枠組みは、光学、^{[12] [13]}人口動態と成長^{[14] [15] [16]}および化学機械構造^{[17] [ 18] [19]など、さまざまな科学分野や応用にうまく適用されてきました。}

• B. Brogliato、R. Lozano、B. Maschke、O. Egeland、「散逸システムの分析と制御。理論と応用」、Springer Verlag、ロンドン、第 2 版、2007 年。
• デイヴィス、ポール『宇宙の青写真』サイモン＆シュスター、ニューヨーク、1989年（要約—1500語）（要約—170語）—自己組織化構造。
• Philipson, Schuster、「非線形微分方程式によるモデリング：散逸プロセスと保存プロセス」、World Scientific Publishing Company 2009 年。
• プリゴジン、イリヤ、「時間、構造、変動」。ノーベル賞講演、1977 年 12 月 8 日。
• JC Willems. 散逸力学システム、パート I: 一般理論、パート II: 二次供給率を持つ線形システム。Archive for Rationale mechanics Analysis、vol.45、pp. 321–393、1972 年。

• 散逸システムモデル オーストラリア国立大学