拡散強調磁気共鳴画像法

濃度を考慮すると${\displaystyle \rho }$およびフラックス${\displaystyle J}$フィックの第一法則は、流束と濃度勾配の関係を示している。

$${\displaystyle J(x,t)=-D\nabla \rho (x,t)}$$

ここで、Dは拡散係数である。質量保存則を考慮すると、連続の式は濃度の時間微分とフラックスの発散を関連付ける。

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=-\nabla \cdot J(x,t)}$$

この2つを組み合わせると、拡散方程式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\rho (x,t).}$$

拡散が存在しない場合、核磁化の時間変化は古典的なブロッホ方程式によって与えられる。

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{T_{1}}}}$$

これには歳差運動、T2緩和、T1緩和に関する用語が含まれる。

1956年、HC Torreyは、拡散項を加えることで磁化のブロッホ方程式がどのように変化するかを数学的に示しました。 ^{[ 22 ]} Torreyは、ブロッホの横磁化の元の記述を修正し、拡散項と空間的に変化する勾配の適用を含めました。磁化は${\displaystyle M}$はベクトルであり、拡散方程式は3つあり、各次元ごとに1つずつあります。ブロッホ・トーレイ方程式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{T_{1}}}+\nabla \cdot {\vec {D}}\nabla {\vec {M}}}$$

どこ${\displaystyle {\vec {D}}}$は拡散テンソルです。

拡散が等方的である最も単純なケースでは、拡散テンソルは単位テンソルの倍数となる。

$${\displaystyle {\vec {D}}=D\cdot {\vec {I}}=D\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$

するとブロッホ・トーレイ方程式の解は次のようになる。

$${\displaystyle {M}={M}_{\text{bloch}}e^{-{\frac {1}{3}}\gamma ^{2}G^{2}t^{3}D}\sim e^{-bD_{0}}}$$

指数項は減衰と呼ばれます${\displaystyle A}$異方性拡散の場合、拡散テンソルについては同様の解が得られますが、測定されるのは見かけの拡散係数（ADC）です。一般に、減衰は次のようになります。

$${\displaystyle A=e^{-\sum _{i,j}b_{ij}D_{ij}}}$$

どこで${\displaystyle b_{ij}}$用語には勾配場が含まれる${\displaystyle G_{x}}$、${\displaystyle G_{y}}$、 そして${\displaystyle G_{z}}$。

DWI画像の標準的なグレースケールは、拡散制限の増加をより明るく表現することである。^{[ 23 ]}

拡散MRIは、テンソルとして知られる幾何学的量の数学的および物理的解釈に依存しています。一般的な数学的概念の特殊なケースのみが画像化に関連しており、これは対称行列の概念に基づいています。^{[注1 ]} 拡散自体はテンソルですが、多くの場合、目的は脳拡散そのものを研究することではなく、軸索の方向と異方性の大きさまたは程度を見つけるために白質の拡散異方性を利用することです。テンソルは物質または組織内に実在し、それらを記述するために使用される座標系が回転しても移動しません。テンソル（ランク2）の表現方法は多数ありますが、その中でも、拡散との物理的な関連性とMRIにおける拡散異方性イメージングの開発における歴史的重要性から、この議論では楕円体に焦点を当てます。

以下の行列は、拡散テンソルの成分を示しています。

$${\displaystyle {\bar {D}}={\begin{vmatrix}D_{\color {red}xx}&D_{xy}&D_{xz}\\D_{xy}&D_{\color {red}yy}&D_{yz}\\D_{xz}&D_{yz}&D_{\color {red}zz}\end{vmatrix}}}$$

同じ数値行列は、楕円の形状と向きを記述するために同時に別の用途で使用でき、また、同じ数値行列は、以下に説明するように、行列数学において固有ベクトルと固有値を分類するために同時に別の用途で使用できます。

物理科学におけるテンソルの概念は、物理的性質の量を記述しようとする試みから発展しました。最初に適用された性質は、温度のように単一の数値で記述できるものでした。このように記述できる性質はスカラーと呼ばれ、ランク0のテンソル、または0階テンソルとみなすことができます。テンソルは、機械力のように方向性を持つ量を記述するためにも使用できます。これらの量は、大きさと方向の両方を指定する必要があり、多くの場合、ベクトルで表されます。3次元ベクトルは、x、y、z軸への射影の3つの成分で記述できます。このようなベクトルは、ランク1のテンソル、または1階テンソルとみなすことができます。

テンソルは、2つのベクトル間の関係を決定する物理的または生物物理学的特性であることが多い。物体に力が加わると、動きが生じる。動きが一方向であれば、その変化はベクトル（ランク1のテンソル）を用いて記述できる。しかし、組織内では、拡散によって水分子が時間とともに複数の方向に沿って移動する軌跡が生じ、デカルト座標系への複雑な投影が生じる。同じ条件と力を同じ組織に同じ方法で加えると、このパターンは再現可能である。組織内に拡散を制限する異方性構造が存在する場合、その事実は拡散パターンに反映される。水分子の拡散を引き起こす駆動力の特性と、組織内での水分子の動きのパターンとの関係は、テンソルによって記述できる。この物理的性質の分子変位の集合は、9 つ​​の成分で記述できます。各成分は、 xx、yy、zz、xy、yx、xz、zx、yz、zyの軸のペアに関連付けられています。^{[ 32 ]}これらは、このセクションの冒頭にあるものと同様の行列として記述できます。

白質の異方性媒体における点源からの拡散も同様の挙動を示します。ステイスカル・タナー拡散勾配の最初のパルスは、いくつかの水分子を効果的に標識し、2番目のパルスは、拡散によるそれらの変位を効果的に示します。適用される各勾配方向は、その勾配の方向に沿った動きを測定します。6つ以上の勾配を合計して、行列を埋めるために必要なすべての測定値を取得します。ただし、行列は対角線（赤い添え字）の上下で対称であると仮定します。

1848年、アンリ・ユロー・ド・セナルモン^{[ 33 ]}は、ワックスでコーティングされた研磨された結晶表面に加熱した点を当てた。等方性構造を持つ材料では、溶融物のリングが表面を円状に広がった。異方性結晶では、広がりは楕円形になった。3次元では、この広がりは楕円体である。 1850年代にアドルフ・フィックが示したように、拡散は熱伝達で見られるパターンと多くの点で同じパターンを示す。

ここで、楕円体の数学について考えてみると良いでしょう。楕円体は次の式で表すことができます。${\displaystyle axe^{2}+by^{2}+cz^{2}=1}$この方程式は二次曲面を表します。a 、b、cの相対値によって、二次曲面が楕円体か双曲面かが決まります。

実際には、以下の3つのコンポーネントを追加できます。${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dyz+ezx+fxy=1}$a、b、c、d、e、fの多くの組み合わせは 依然として楕円体を記述しますが、追加のコンポーネント ( d、e、f ) は、デカルト座標系の直交軸に対する楕円体の回転を記述します。これらの 6 つの変数は、このセクションの冒頭で定義されたテンソル行列と同様の行列で表すことができます (拡散は対称であるため、9 つのコンポーネントではなく 6 つのコンポーネントのみが必要です。行列の対角要素より下のコンポーネントは、対角要素より上のコンポーネントと同じです)。2 階の対称テンソルは楕円体で表すことができると述べられているのは、このことを意味します。2 次楕円体の 6 つの項の拡散値を行列に配置すると、直交グリッドから角度をつけた楕円体が生成されます。相対異方性が高いほど、その形状はより細長くなります。

数学的には、拡散行列は${\displaystyle {\bar {D}}}$は共分散行列です。 分散パターンを示す楕円体は、次の式で与えられます。${\displaystyle {\vec {v}}^{T}{\bar {D}}^{-1}v=1}$⁠、そこで⁠${\displaystyle {\vec {v}}}$⁠は変位、列ベクトルです。${\displaystyle (x,y,z)^{T}}$⁠ .

楕円体/テンソルが行列で表される場合、標準的な行列数学と線形代数の有用な手法、すなわち行列の「対角化」を適用できます。これはイメージングにおいて2つの重要な意味を持ちます。その考え方は、形状は同じだがサイズと向きが異なる2つの等価な楕円体が存在するということです。1つ目は軸索によって決定される角度で存在する測定された拡散楕円体であり、2つ目は3つのデカルト軸と完全に一致しています。「対角化」という用語は、左上から右下への対角線に沿った行列の3つの成分（このセクションの冒頭の行列で赤い添え字が付いている成分）を指します。${\displaystyle ax^{2}}$、$\displaystyle by^{2}}$、 そして${\displaystyle cz^{2}}$は対角線上にあります (赤い添え字) が、変数d、e、fは「非対角」です。次に、ベクトル処理ステップを実行して、行列を書き換え、長さが 1.0 の 3 つの異なるベクトルを乗算した新しい行列に置き換えることができます。非対角成分がすべてゼロになったため、行列は対角化されます。この等価位置に到達するために必要な回転角は、3 つのベクトルに現れ、それぞれのx、y、z成分として読み取ることができます。これらの 3 つのベクトルは「固有ベクトル」または特性ベクトルと呼ばれます。これらは、元の楕円体の向きの情報を含んでいます。楕円体の 3 つの軸は、座標系の主直交軸に直接沿っているため、その長さを簡単に推測できます。これらの長さは、固有値または特性値です。

行列の対角化は、乗算可能な別の行列を見つけ、その逆行列を乗算することによって行われます。その結果得られる新しい行列では、3つの対角成分（xx、yy、zz）には数値が入り、非対角成分（xy、yz、zx）は0になります。この2番目の行列は固有ベクトル情報を提供します。

現代の臨床神経学では、さまざまな脳病理は、異方性と拡散率の特定の尺度を調べることで最もよく検出できる可能性があります。拡散の根本的な物理的プロセスにより、水分子のグループが中心点から移動し、媒体が異方性の場合は徐々に楕円体の表面に到達します（等方性媒体の場合は球の表面になります）。楕円体形式は、テンソルデータを整理するための数学的手法としても機能します。楕円体テンソルの測定により、組織の各ボクセルにおける拡散プロセスに関する情報を収集するための遡及的分析も可能になります。^{[ 34 ]}

脳脊髄液のような等方性媒体では、水分子は拡散によって移動し、あらゆる方向に同じ速度で移動します。拡散勾配の詳細な影響を知ることで、MRIボクセルの信号減衰を拡散の数値尺度である拡散係数Dに変換できる式を生成できます。細胞膜や微小管などのさまざまな障壁や制限因子が自由拡散を妨げる場合、測定ではすべての局所的な影響が無視され、すべての移動速度がブラウン運動のみによるものであるかのように減衰が扱われるため、「見かけの拡散係数」、つまりADCを測定します。異方性組織のADCは、測定方向によって異なります。拡散は軸索の長さに沿って（軸索に平行に）速く、軸索に垂直な方向には遅くなります。

ボクセルを6方向以上から測定し、T2およびT1効果による減衰を補正したら、計算された楕円体テンソルからの情報を使用して、ボクセル内で何が起こっているかを記述できます。デカルト座標系で斜めに配置された楕円体を考えると、その楕円を3つの軸に投影することを検討できます。3つの投影により、3つの軸それぞれに沿ったADC、ADC _x、ADC _y、ADC _zが得られます。これにより、ボクセル内の平均拡散率を記述するという考え方につながり、それは単純に次のようになります。

$${\displaystyle (ADC_{x}+ADC_{y}+ADC_{z})/3=ADC_{i}}$$

添え字iは、これが異方性の影響を平均化した等方性拡散係数であることを示すために使用します。

楕円体自体には、主軸となる長い軸と、その幅と深さを表す2つの短い軸があります。これら3つの軸はすべて互いに直交し、楕円体の中心点で交わります。この設定では、これらの軸を固有ベクトル、その長さを固有値と呼びます。長さはギリシャ文字λで表されます。軸索方向を向いた長い軸はλ1、2_つの短い軸の長さはλ2_とλ3 となります。DTIテンソル楕円体の設定では、これらそれぞれを、楕円体の3つの主軸に沿った拡散率の尺度と考えることができます。これはADCとは少し異なります_。ADCは軸への投影でしたが、λは計算した楕円体の実際の測定値だからです。

主軸に沿った拡散率λ1_は、縦方向拡散率、軸方向拡散率、あるいは平行拡散率λ∥_とも呼ばれる。歴史的に見ると、これはリチャーズが1991年にベクトル長を用いて最初に測定した値に最も近い。^{[ 35 ]} 2つの短軸方向の拡散率は、半径方向拡散率の指標を得るために平均化されることが多い。

$${\displaystyle \lambda _{\perp }=(\lambda _{2}+\lambda _{3})/2.}$$

この量は膜やその他の影響による制限の程度を評価するものであり、一部の神経疾患における変性病理の感度の高い尺度であることが証明されている。^{[ 36 ]}また、垂直拡散率とも呼ばれる（$\displaystyle \lambda _{\perp }}$)

全拡散率を要約するもう1つの一般的な尺度はトレースで、これは3つの固有値の合計です。

$${\displaystyle \mathrm {tr} (\Lambda )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$$ どこ${\displaystyle \Lambda }$は固有値を持つ対角行列です$\displaystyle \lambda _{1}}$、$\displaystyle \lambda _{2}}$そして$\displaystyle \lambda _{3}}$対角線上に。

この合計を3で割ると、平均拡散率が得られます。

$${\displaystyle \mathrm {MD} =(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3}$$

これはADC _iに等しいので $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} (\Lambda )/3&=\mathrm {tr} (V^{-1}V\Lambda )/3\\&=\mathrm {tr} (V\Lambda V^{-1})/3\\&=\mathrm {tr} (D)/3\\&=ADC_{i}\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle V}$は固有ベクトルの行列であり、${\displaystyle D}$は拡散テンソルです。拡散の量を記述することに加えて、ボクセル内の異方性の相対的な程度を記述することもしばしば重要です。一方の極端は等方性拡散の球体であり、もう一方の極端は葉巻または鉛筆型の非常に薄い長球です。最も単純な尺度は、楕円体の最長軸を最短軸で割ることによって得られます =  ( λ ₁ / λ ₃ )。しかし、これは測定ノイズに非常に敏感であることが判明したため、ノイズを最小限に抑えながら尺度を捉えるために、ますます複雑な尺度が開発されました。これらの計算の重要な要素は、拡散率の差の二乗和 =  ( λ ₁  − λ ₂ ) ² + ( λ ₁ − λ ₃ ) ² + ( λ ₂ − λ ₃ ) ^{2 です}。二乗和の平方根を使用して、最大の成分が支配する一種の加重平均を取得します。 1つの目的は、ボクセルが球形の場合は数値を0に近づけ、細長い場合は1に近づけることです。これにより、拡散率の差の二乗和（SRSS）の平方根を拡散率のSRSSで割った値である分数異方性（FA）が得られます。第2軸と第3軸が主軸に比べて小さい場合、分子の数値は分母の数値とほぼ等しくなります。また、         ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$つまり、 FAの最大値は1になります。FAの式全体は次のようになります。

$${\displaystyle \mathrm {FA} ={\frac {\sqrt {3((\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2})}}{\sqrt {2(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})}}}}$$ どこ${\textstyle \operatorname {E} [\lambda ]=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3\,.}$

分数異方性は、拡散楕円体の「形状」に応じて、線形、平面、球面の尺度に分離することもできます。^{[ 37 ] [ 38 ]}例えば、「葉巻」型の長楕円体は強い線形異方性を示し、「空飛ぶ円盤」または扁平回転楕円体は平面拡散を表し、球はすべての方向で等しい等方性拡散を示します。^{[ 39 ]}拡散ベクトルの固有値を次のようにソートすると、${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}\geq 0}$すると、各指標は以下のように計算できます。

線形の場合、${\displaystyle \lambda _{1}\gg \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}}$、

$${\displaystyle C_{l}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$$

平面の場合、${\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\gg \lambda _{3}}$、

$${\displaystyle C_{p}={\frac {2(\lambda _{2}-\lambda _{3})}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$$

球状の場合、${\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}}$、

$${\displaystyle C_{s}={\frac {3\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$$

各指標は0から1の間の値を取り、合計すると1になります。球形からのずれを表すために、追加の異方性指標を用いることができます。

$${\displaystyle C_{a}=C_{l}+C_{p}=1-C_{s}={\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}-2\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$$

異方性を表す指標としては、相対異方性（RA）など、他にもいくつか用いられています。

$${\displaystyle \mathrm {RA} ={\frac {\sqrt {(\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}}}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} [\lambda ]}}}$$

そして体積比（VR）：

$${\displaystyle \mathrm {VR} ={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}{\operatorname {E} [\lambda ]^{3}}}}$$

DTIにおいては、一般的に線形代数、行列演算、ベクトル演算を用いてテンソルデータの解析処理を行うことが可能である。

場合によっては、テンソルのすべての特性が重要となることもありますが、トラクトグラフィーでは通常、主軸または主ベクトルの大きさと方向を知るだけで十分です。この主軸（最も長い軸）は最大の固有値であり、その方向は対応する固有ベクトルに符号化されています。トラクトグラフィーを実行するには、最大の固有値が主軸の方向と一致すると想定されるため、必要な軸は1つだけです。