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デザイン効果

J
Japedia 編集部
|更新日: 不明
この記事は査読付き学術誌『WikiJournal of Science』（2024年）に掲載されました。掲載版をご覧になるには、こちらをクリックしてください。

調査研究において、デザイン効果とは、ある特定の指標（平均値など）に関して、サンプル集団がより大きな集団をどの程度代表しているかを示す数値です。これは、単純無作為抽出法とは異なるサンプリング方法を用いてサンプルを抽出する場合に重要となります。

デザイン効果は正の実数であり、記号で表される。デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}。 もしデフ=1{\displaystyle {\text{Deff}}=1}そうすれば、サンプルは、人々がランダムに選ばれた場合と同じくらい良い方法で選択されたことになる。デフ>1{\displaystyle {\text{Deff}}>1}そのため、収集されたデータからの推論は、人々が無作為に選ばれた場合ほど正確ではない。

研究者が複雑な手法を用いてサンプルを選択する場合、結果の検証や調整のためにデザイン効果を利用します。また、研究計画を立てる際にサンプルサイズを決定するためにも利用されます。

導入

調査方法論において、デザイン効果（一般的にはデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}、Deff{\displaystyle D_{\text{eff}}}、 またはDeft2{\displaystyle D_{\text{eft}}^{2}}）は、標本抽出設計が母集団の何らかのパラメータの推定量の分散に及ぼす影響の期待値を表す尺度です。これは、（多くの場合）複雑な標本抽出設計からの標本に基づく推定量の分散と、同じ数の要素からなる単純無作為標本（SRS）に基づく代替推定量の分散との比として計算されます。[ 1 ]： 258デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}（推定値であろうと、事前に既知の値であろうと）は、単純無作為抽出法を用いて標本が抽出されていない場合に、推定量の分散を評価するために使用できます。また、標本サイズの計算[ 2 ]や、さまざまなサンプリング設計で収集された標本の代表性を定量化する際にも役立つ可能性があります。

デザイン効果はインフレを示す正の実数です（デフ>1{\displaystyle {\text{Deff}}>1}）、またはデフレ（デフ<1{\displaystyle {\text{Deff}}<1}あるパラメータの推定量の分散において、これは研究がSRSを使用していないことに起因する（デフ=1{\displaystyle {\text{Deff}}=1}（分散が同一の場合）。[ 3 ]： 53、54直感的に、デフ<1{\displaystyle {\text{Deff}}<1}事前知識がある場合、サンプリングプロセス中にそれを活用できます（これはややまれです）。そして対照的に、多くの場合、デフ>1{\displaystyle {\text{Deff}}>1}データ収集能力の何らかの制限を補う必要がある場合（これはより一般的です）。デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}一般的に 1 より大きい値には、クラスターサンプリング(観測値間に相関がある場合など)、層化サンプリング(層のサイズに不均等な割り当てがある場合)、クラスター無作為化比較試験、不均等 (不均等な確率) サンプル (ポアソンサンプリングなど)、非カバレッジまたは無回答に対するデータの統計的調整など、その他多数が含まれます。層化サンプリングでは、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}これは、層のサイズへの比例配分（層のサイズが事前にわかっており、関心のある結果と相関している場合）または最適配分（分散が層間で異なり、事前にわかっている場合）を使用する場合に、1より小さくなります。

既知の標本抽出設計が、関心のある推定量の分散にどのように影響するか（増加させるか減少させるか）について、文献では多くの計算方法（および推定量）が提案されている。一般的に、設計効果は、総平均や比率平均など、関心のある統計量によって異なる。また、標本抽出設計が関心のある結果と相関しているかどうかも重要である。例えば、標本内の各要素が異なる選択確率を持つような標本抽出設計が考えられる。このような場合、要素の選択確率と測定された結果との間の相関レベルは、その後の設計効果に直接影響を与える可能性がある。最後に、設計効果は結果自体の分布によっても影響を受ける可能性がある。設計効果を実際に推定および使用する際には、これらのすべての要因を考慮する必要がある。[ 4 ]： 13

歴史

「デザイン効果」という用語は、レスリー・キッシュが1965年の著書「調査サンプリング」で初めて提唱しました。 [ 1 ]：88、258その中で、キッシュはデザイン効果の一般的な定義[ a ] 、クラスターサンプリング（クラス内相関あり）のデザイン効果の公式[ 1 ]： 162 、そして不均等確率サンプリングの有名なデザイン効果の公式[ 1 ]： 427を提案しました。これらはしばしば「キッシュのデザイン効果」として知られており、後に1つの公式にまとめられました。

1995年の論文[ 5 ]： 73で、キッシュは「レクシス比」と呼ばれる同様の概念が19世紀末に記述されたと述べている。密接に関連する級内相関は1950年にフィッシャーによって記述されたが、分散比の計算は1940年代後半から1950年代にかけてキッシュらによって既に発表されていた。キッシュの定義の先駆けの一つは、1951年にコーンフィールドが行った研究である。[ 6 ] [ 4 ]

1995年の論文で、Kishは、一定期間にわたって実施された複数の調査から同じ測定量を平均化する場合、設計効果を考慮する必要があると提唱した。[ 5 ]： 57-62また、単純な統計量（平均など）の誤差からより複雑な統計量（回帰係数など）に外挿する場合にも、設計効果を考慮すべきであると示唆した。しかし、データを分析する場合（例えば、調査データを使用してモデルを適合させる場合）、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}調査データを分析するための専用ソフトウェアが利用可能になったため、現在ではその値はそれほど有用ではありません。多くの種類の設計と推定の標準誤差を計算するソフトウェアが開発される前は、アナリストはデータセット内のすべてのレコードが独立同分布であると仮定するソフトウェアによって生成された標準誤差を、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}（下記の「巧妙さ」の定義を参照）。

定義

表記法

デフ

デザイン効果は、一般的に次のように表されます。デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}（またはDeff{\displaystyle D_{\text{eff}}}（場合によっては追加の添え字が付く）は、あるパラメータの推定量の2 つの理論的分散の比である（θ{\displaystyle \theta }): [ 1 ] [ 7 ]

  • 分子は、パラメータの推定値の実際の分散を表します（θ^w{\displaystyle {\hat {\theta }}_{w}}）特定のサンプリング設計の下でp{\displaystyle p};
  • 分母は同じサンプルサイズを仮定した場合の分散を表しますが、サンプルが非復元単純無作為抽出 の推定値を使用して取得された場合（θ^SRSWOR{\displaystyle {\hat {\theta }}_{SRSWOR}})

となることによって：

デフp（θ^）=v1r（θ^w）v1r（θ^SRSWOR）{\displaystyle {\text{Deff}}_{p}({\hat {\theta }})={\frac {var({\hat {\theta }}_{w})}{var({\hat {\theta }}_{SRSWOR})}}}

言い換えると、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}は、サンプルが単純無作為抽出（非復元抽出）から抽出された場合と比較して、サンプルが特定のサンプリング設計（例えば、重みやその他の尺度を使用）に合わせて抽出および調整されたために分散がどれだけ増加（または場合によっては減少）したかを測定します。 の定義に注目してください。デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}これは、多くの場合未知であり、直接推定することが困難な母集団のパラメータに基づいています。具体的には、定義には2つの異なるサンプリング設計に基づく推定量の分散が含まれますが、実際には単一のサンプリング設計しか使用されません。

例えば、母平均を推定する場合、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}（あるサンプリング設計 p の場合）は：[ 4 ] : 4 [ 3 ] : 54 [ b ]

デフp=v1rp（y¯p）（1−f）Sy2/n{\displaystyle {\text{Deff}}_{p}={\frac {var_{p}({\bar {y}}_{p})}{(1-f)S_{y}^{2}/n}}}

どこn{\displaystyle n}サンプルサイズは、f=n/N{\displaystyle f=n/N}は母集団からの標本の割合であり、（1−f）{\displaystyle (1-f)}は（二乗）有限人口補正（FPC）であり、Sy2{\displaystyle S_{y}^{2}}は不偏標本分散であり、v1rp（y¯p）{\displaystyle var_{p}({\bar {y}}_{p})}は、標本設計における平均値の分散の推定値です。上記の式の問題点は、ほとんどの研究が単一の標本設計のみに依存しているため、2つの異なる標本設計の下で推定平均値の分散を直接推定できることが極めてまれであるということです。

計算方法はたくさんあるデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}推定プロセスは、関心のあるパラメータ（例：母集団総数、母集団平均、分位数、数量の比率など）、使用する推定量、およびサンプリング設計（例：クラスターサンプリング、層化サンプリング、事後層化、多段階サンプリングなど）によって異なります。[ 8 ]： 98デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}具体的なデザインについては、次のセクションで説明します。

器用

関連する量デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}1995年にキッシュによって提案された設計効果係数は、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}（またはまた）Deft{\displaystyle D_{\text{eft}}}) [ 5 ] : 56 [ 4 ]これは分散比の平方根として定義され、分母には非復元抽出（SRSWOR）ではなく復元抽出（SRSWR）を用いた単純無作為標本を使用します。

器用=変数（θ^w）変数（θ^SRSWR）{\displaystyle {\text{Deft}}={\sqrt {\frac {{\text{var}}({\hat {\theta }}_{w})}{{\text{var}}({\hat {\theta }}_{SRSWR})}}}}

この後の定義（1995年に提案されたもの、1965年の定義との比較）において、キッシュは、器用2\displaystyle {\text{Deft}}^{2}}以上デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}いくつかの理由から。SRS「非復元抽出」（分散にプラスの影響を与える）はサンプリング設計の一部であるため、設計効果の定義の分母部分に含めるべきだと主張された。また、この因子は信頼区間で使用されることが多いため、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}書くよりも簡単でしょうデフ{\displaystyle {\sqrt {\text{Deff}}}}また、人口が非常に多い場合、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}は（ほぼ）平方根ですデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}（器用≈デフ{\displaystyle {\text{Deff}}\approx {\sqrt {\text{Deff}}}}）したがって、有限個体数補正（FPC）を正確に計算するよりも使いやすい。[ c ]

それでも、さまざまなケースで研究者は近似値として器用{\displaystyle {\text{Deft}}}正確ではないとしても、復元抽出なしの単純無作為抽出 (SRSWOR) ではなく、復元抽出ありの単純無作為抽出 (SRSWR) を仮定して分子の分散を計算することによって、分散を推定することができます。たとえば、特定の順序 (たとえば、各 PSU の世帯数) でソートされたリストから、何らかの規模の尺度に比例した確率で系統的に選択された一次抽出単位 (PSU) を持つ多段階設計を考えてみましょう。また、これを、いくつかの人口統計変数の合計を一致させるためにレーキングを使用する推定量と組み合わせます。このような設計では、復元抽出なしの分散推定量に必要な PSU の同時選択確率は、一部の PSU のペアで 0 になります。これは、正確な設計ベース (つまり、繰り返しサンプリング) の分散推定量が存在しないことを意味します。別の例として、政府機関が発行した公開用ファイルが分析に使用される場合が挙げられます。このような場合、第 1 段階単位の同時選択確率に関する情報は、ほとんど公開されません。その結果、たとえ望んだとしても、分析者は分子の置換分散を推定することができません。標準的な回避策は、PSUが置換抽出されたかのように分散推定量を計算することです。これは、Stata、Rのsurveyパッケージ、SASのsurveyプロシージャなどのソフトウェアパッケージにおけるデフォルトの選択肢です。

有効サンプルサイズ

1965年にKishによって定義された有効サンプルサイズは、元のサンプルサイズをデザイン効果で割ることによって計算されます。[ 1 ] ： 162、259 [ 9 ] ： 190、192具体的には：

neff=nデフ{\displaystyle n_{\text{eff}}={\frac {n}{\text{Deff}}}}

この量は、標本設計（および関連するパラメータ推定量）が単純無作為標本に基づいている場合、既存の設計で推定量の現在の分散（あるパラメータについて）を達成するために必要な標本サイズを反映している。[ 10 ]

関連する量として有効サンプルサイズ比（ESSR）があり、これは単純に逆数を取ることで計算できます。デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}（つまり、neffn=1デフ{\displaystyle {\frac {n_{\text{eff}}}{n}}={\frac {1}{\text{Deff}}}})

例えば、ある標本抽出設計に基づいて母平均を推定する際の設計効果を2とします。標本サイズが1,000の場合、有効標本サイズは500になります。これは、 1,000個の標本に基づく加重平均の分散が、単純無作為抽出によって得られた500個の標本に基づく単純平均の分散と同じになることを意味します。

よく知られたサンプリング設計における設計効果

デザイン効果は、サンプリング設計と統計的調整に依存する。

異なるサンプリング設計や統計的調整は、推定値（平均値など）のバイアスや分散に大きく異なる影響を与える可能性がある。

単純無作為抽出と比較して推定効率を高めることができる設計の一例として、層化抽出法が挙げられます。この効率性は、母集団の構成に関する情報を活用することによって得られます。例えば、性別が関心のある結果と相関関係にあることが分かっており、かつある母集団の男女比が（仮に）50％対50％である場合、各性別からサンプルのちょうど半分を抽出すれば、結果の推定値の分散を減らすことができます。同様に、特定のサブ集団に特に関心がある場合、そのサブ集団から意図的に過剰抽出することで、そのサブ集団に関する推定値の分散を減らすことができます。

分散効率の向上は、利便性やコストのために犠牲にされる場合がある。例えば、クラスターサンプリングの場合、単位の選択確率は、クラス内相関（および推定量の分散を増加させるという負の影響）に関係なく、等しい場合も等しくない場合もある。実際的な理由から、各世帯（つまり、サンプリングされたクラスター）から2人だけ回答を収集することに決定するかもしれないが、これは不均等な選択確率に対処するための、より複雑なサンプリング後の調整につながる可能性がある。また、このような決定は、クラスターから一定割合の回答を取得する場合よりも、推定量の効率が低下する可能性もある。

サンプリング設計が事前に設定されておらず、手持ちのデータから決定する必要がある場合、加重推定量の分散とバイアスの両方が増加する可能性があります。これは、非網羅、無回答、または初期サンプリング段階では利用できなかった母集団の予期せぬ層別分割などの問題を調整する際に発生する可能性があります。このような場合、事後層化、レーキング、逆傾向スコア加重（傾向スコアを推定する）などの統計的手法を用いることができます。これらの手法を用いるには、初期設計モデルに関する仮定が必要です。たとえば、年齢と性別に基づく事後層化を用いる場合、これらの変数がサンプルのバイアスの大部分を説明できると仮定されます。これらの推定量の質は、追加情報の質と、推定を行う際に用いられるランダム欠落の仮定の質に密接に関係しています。いずれにせよ、推定器（傾向スコアモデルなど）がサンプリング設計の大部分を適切に捉えている場合でも、重み付けを使用することで、特定のデータセットに応じて、わずかな違いが生じる場合もあれば、大きな違いが生じる場合もある。

サンプリング設計には（不均等な選択確率への影響の有無にかかわらず）大きな多様性があるため、潜在的な設計効果を捉え、サンプリング設計を考慮した推定量の分散を推定するためのさまざまな式が開発されてきました。[ 11 ]これらの異なる設計効果は、場合によっては複合的に作用することもあります（不均等な選択確率とクラスターサンプリングの場合など。詳細は後述）。これらの式を使用するか、あるいは単にSRSを仮定するかは、期待されるバイアスの減少量と推定量の分散の増加量（および方法論的・技術的な複雑さのオーバーヘッド）によって決まります。[ 1 ]： 426

不均等な選択確率

選択確率の不均等の原因

各単位が全く同じ確率で選択されるように単位をサンプリングする方法はいくつかあります。このような方法は等確率サンプリング（EPSEM）法と呼ばれます。より基本的な方法としては、単純無作為抽出（SRS、復元抽出ありまたはなし）や、固定サンプルサイズを得るための系統抽出などがあります。また、ランダムなサンプルサイズを持つベルヌーイ抽出もあります。層化抽出やクラスター抽出などのより高度な手法も、EPSEMとなるように設計できます。例えば、クラスター抽出では、2段階サンプリングを使用できます。このサンプリングでは、各クラスター（サイズが異なる場合もある）を等確率でサンプリングし、2段階目で各クラスターから固定比率（例えば、クラスターの半分、クラスター全体など）でSRSを使用してサンプリングします。この方法ではEPSEMが得られますが、最終的に得られる要素の具体的な数は確率的（つまり、非決定論的）です。[ d ] [ 12 ] : 3–8 EPSEMにつながるクラスターサンプリングのもう1つの戦略は、クラスターのサイズに比例した方法でクラスターをサンプリングし、各クラスター内の固定数の要素をサンプリングすることです。[ e ]

キッシュらは、彼らの研究の中で、選択確率の不均等につながる既知の理由をいくつか挙げている。[ 1 ] : 425 [ 9 ] : 185 [ 5 ] : 69 [ 13 ] : 50,395 [ 14 ] : 306

  1. 選択枠または手順による不均衡なサンプリング。これは、研究者が特定のサブグループまたはクラスターを意図的に過剰または過少にサンプリングした場合に発生します。例:
    • 層化抽出法において、ある層の単位が他の層よりも大きな分散を持つことが分かっている場合、研究者は、層間の分散に関するこの事前知識を利用して、関心のある母集団レベルのパラメータ（例えば、平均）の推定量の全体的な分散を低減することを意図している可能性があります。これは、最適配分と呼ばれる戦略によって実現できます。この戦略では、層がh{\displaystyle h}過剰サンプリングは、標準偏差が高くサンプリングコストが低いほど比例します（つまり、fh∝ShCh{\displaystyle f_{h}\propto {\frac {S_{h}}{\sqrt {C_{h}}}}}、 どこSh{\displaystyle S_{h}}結果の標準偏差はh{\displaystyle h}、 そしてCh{\displaystyle C_{h}}1つの要素を募集するコストに関連するh{\displaystyle h}最適な配分の一例として、ネイマンの最適な配分がある。各層から人材を募集するコストが固定されている場合、サンプルサイズは次のようになる。nh=nWhSUh∑hWhSUh{\displaystyle n_{h}=n{\frac {W_{h}S_{Uh}}{\sum _{h}W_{h}S_{Uh}}}}. 総和はすべての層にわたって行われます。nはサンプルの総数です。nh{\displaystyle n_{h}}は層hのサンプルサイズです。Wh=NhN{\displaystyle W_{h}={\frac {N_{h}}{N}}}は、全人口Nと比較した層hの相対的な大きさであり、SUh{\displaystyle S_{Uh}}は層hの標準誤差です。[ 15 ]最適設計に関連する概念として最適実験計画があります。
    • 2つの層（例えば、特定の社会人口統計学的グループに属する人々、あるいは2つの地域に属する人々など）を比較する場合、小さい方のグループを過剰サンプリングすることが考えられます。こうすることで、2つのグループを比較する推定量の分散を低減できます。
    • クラスターサンプリングでは、クラスターのサイズは異なる場合がありますが、手順ではSRSを使用してすべてのクラスターからサンプルを抽出し、クラスター内のすべての要素を測定します（たとえば、サンプリングの段階でクラスターのサイズが事前にわからない場合など）。
    • 2段階クラスタサンプリングでは、クラスタサイズに基づいてサンプリングが行われる場合があります。たとえば、第1段階でクラスタがそのサイズの推定値に比例してサンプリングされ（別名：PPS：サイズに比例した確率）、第2段階で要素の固定割合（たとえば、クラスタ内の要素の半分またはすべて）が選択されると、異なるクラスタからの要素の選択確率が異なります。同様のケースとして、第1段階でPPSを使用してクラスタをサンプリングしようとし、第2段階で各クラスタに固定数の要素を使用する場合がありますが、第1段階のサンプリングに使用されたクラスタサイズが不正確であったため（そのため、より小さなクラスタが本来よりも高い確率で選択される可能性があり、逆に、サンプリングされる可能性が低すぎる大きなクラスタの場合はその逆になります）。このような場合、第1段階で使用されるサンプリング確率の誤差が大きいほど、各要素の選択確率の不均等性が大きくなります。[ 8 ]： 109 [ f ]
    • サンプリングに使用されるフレームに一部の項目の重複が含まれている場合、一部の項目が他の項目よりもサンプリングされる確率が高くなる（例えば、サンプリングフレームが複数のリストをマージして作成された場合。または、複数の広告チャネルからユーザーを募集する場合で、一部のユーザーは複数のチャネルから募集可能であり、他のユーザーは1つのチャネルからのみ募集可能である場合）ため、異なるユニットが異なるサンプリング確率を持つことになり、このサンプリング手順はEPSEMではない。[ 12 ]： 3-8 [ 9 ]： 186
    • 複数の異なるサンプル/フレームを組み合わせる場合。例えば、回答者を募集するために異なる広告キャンペーンを実施する場合。あるいは、異なる研究者によって、または異なる時期に実施された複数の研究の結果を組み合わせる場合（メタ分析）。[ 9 ]： 188
    サンプリング設計上の決定により不均衡なサンプリングが発生した場合、研究者は（場合によっては）その決定を遡って、正確な包含確率を算出できることがあります。これらの選択確率を遡って特定することが困難な場合は、傾向スコアモデルと補助変数（年齢、性別など）の情報を組み合わせて推定することができます。
  2. 非網羅性。[ 1 ]： 527、528これは、例えば、人口の全員を網羅していない事前定義されたリストに基づいて人々をサンプリングする場合（電話帳や、調査への参加者を募集するための広告の使用など）に発生します。これらの欠落した単位は、一部の人々（未成年者、投票できない人など）を意図的に除外したのではなく、サンプリングフレームの作成の失敗によって欠落しています。非網羅性がサンプリング確率に与える影響は、強い仮定を置かない限り、さまざまな調査状況で測定（および調整）するのが難しいと考えられています。関連する共変量が調整に使用されない場合、非網羅性の調整は不適切な重みにつながる可能性があります。非網羅性を修正するために使用できる共変量がある場合、それらは調査の重みの不均等につながると予想されます。
  3. 無回答。これは、測定対象として意図された標本単位の測定値が得られないことを指します。無回答の理由は様々で、状況によって異なります。例えば、電話調査の際に電話に出られないなど、一時的に回答できない場合があります。また、様々な理由で回答を拒否する場合もあります。例えば、民族、人口統計、社会経済的グループによって回答傾向が異なる、時間やデータを共有する動機が不十分、調査を実施している機関が特定できない、回答できない（病気、識字能力の欠如、言語の壁など）、回答者が見つからない（転居など）、回答がエンコードまたは送信中に紛失または破損した（測定エラーなど）といった理由が考えられます。調査においては、これらの理由は調査全体への回答、あるいは特定の質問への回答に関連している可能性があります。[ 1 ]： 532 [ 9 ]： 186
  4. 統計的調整。これには、事後層化、レーキング、傾向スコア（推定）モデルなどの方法が含まれる場合があります。これらは、サンプルを既知の（または推定された）層のサイズに調整するために使用されます。これらの調整は、既知のサンプリング設計による不均衡を考慮することを目的とした設計重みに加えて行うことができます。このような手順は、サンプリング誤差、サンプリングフレームのカバレッジ不足から無回答に至るまで、サンプリングの問題を軽減するために使用されます。[ 16 ]： 45 [ 17 ]たとえば、これらの方法は、サンプルを特定のターゲット「コントロール」（つまり、関心のある母集団）により類似させるために使用でき、このプロセスは「標準化」とも呼ばれます。[ 9 ]： 187このような場合、これらの調整は、不偏推定量を提供するのに役立ちます（多くの場合、次のセクションで示すように、分散の増加というコストを伴います）。元のサンプルが非確率サンプルである場合、事後層化調整は割当サンプリングと全く同じです。[ 9 ]： 188、189単純無作為サンプルを使用する場合、事後層化（補助情報を使用）は、重み付けなしの推定値よりも一様に優れた推定値を提供するわけではないことに注意してください。ただし、より「頑健な」推定値と見なすことができます。[ 18 ]あるいは、サンプリング設計が完全にわかっている場合（いくつかのph{\displaystyle p_{h}}層hから何らかの要素を選択する確率、および無反応は測定可能である（つまり、rh{\displaystyle r_{h}}層hで回答された観測値がある場合、層hの各要素iに対して、以下の式を用いて正確に既知の逆確率重みを計算できます。w私=1phrh{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{h}r_{h}}}}[ 9 ] : 186 [ g ]選択確率を推定するために、事後層化やレーキングなどの統計的調整が用いられる場合がある。例えば、対象集団とサンプルを比較する場合（対照群とのマッチングとも呼ばれる）。推定プロセスは、既存の母集団を代替母集団に調整することのみに焦点を当てる場合がある（例えば、複数の地域から抽出されたパネルから国全体に外挿しようとする場合）。このような場合、調整は較正係数に焦点を当てる場合がある。c私{\displaystyle c_{i}}重みは次のように計算される。w私=c私phrh{\displaystyle w_{i}={\frac {c_{i}}{p_{h}r_{h}}}}[ 9 ] : 187しかし、他のケースでは、カバレッジ不足と無回答の両方が統計的調整の一部としてモデル化され、全体的な標本確率の推定につながります（例えばp私′{\displaystyle p_{i}'})この場合、重みは単純に次のようになります。w私=1p私′{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}'}}}統計的調整が使用される場合、w私{\displaystyle w_{i}}は、多くの場合、何らかのモデルに基づいて推定されます。以下のセクションの定式化では、これを前提としています。w私{\displaystyle w_{i}}は既知ですが、統計的調整には当てはまりません（w^私{\displaystyle {\widehat {w}}_{i}}) ただし、推定誤差がw^私{\displaystyle {\widehat {w}}_{i}}が非常に小さい場合は、次のセクションを既知のものとして使用できます。この仮定が真であるかどうかは、モデリングに使用されるサンプルのサイズに依存し、分析中に留意しておく価値があります。選択確率が異なる場合、サンプルサイズがランダムで、ペアワイズ選択確率が独立している場合、これをポアソンサンプリングと呼びます。[ 19 ]

推定量の特性を記述する際の「設計ベース」と「モデルベース」の違い

「個々のケースの重み」（例えば逆確率重み付け）によって不均等な確率選択を調整すると、関心のある量のさまざまなタイプの推定量が得られます。Horvitz –Thompson推定量などの推定量は、（選択確率が実際に既知であるか、または近似的に既知である場合）母集団の合計と平均に対して不偏推定量をもたらします。DevilleとSärndal（1992）は、重みの合計が母集団のサイズに等しいなどの条件を満たす重みを使用する推定量を「較正推定量」と名付けました。さらに一般的には、重みの加重合計が補助変数の何らかの量に等しいという条件です。∑w私x私=X{\displaystyle \sum w_{i}x_{i}=X}（例えば、回答者の加重年齢の合計が各年齢層の人口規模に等しいことなど）。[ 20 ] [ 17 ]： 132 [ 21 ]： 1

較正推定量の特性について議論する主な方法は次の 2 つです。[ 17 ] : 133–134 [ 22 ]

  1. ランダム化に基づく（または、サンプリング設計に基づく） - この場合、重み（w私{\displaystyle w_{i}}）および関心のある結果の値y私{\displaystyle y_{i}}サンプルで測定されるものはすべて既知として扱われます。この枠組みでは、結果 ( Y ) の (既知の) 値には変動があります。しかし、唯一のランダム性は、母集団のどの要素がサンプルに選ばれたか (しばしば次のように表されます) から生じます。私私{\displaystyle I_{i}}要素が1の場合は取得します私{\displaystyle i}サンプルに含まれている場合は 、含まれていない場合は 0 とします。単純無作為標本の場合、各私私{\displaystyle I_{i}}あるパラメータを持つ独立同分布ベルヌーイ分布になりますp{\displaystyle p}一般的なEPSEM（等確率サンプリング）の場合私私{\displaystyle I_{i}}何らかのパラメータ付きベルヌーイ分布になるp{\displaystyle p}しかし、それらはもはや独立した確率変数ではない可能性があります。つまり、サンプルがEPSEMであるということは、選択の確率がほぼ等しい状態を維持していることを意味しますが、選択の同時確率については何も教えてくれません。事後層化のようなものの場合、各層の要素数は、異なる多項分布としてモデル化できます。ph{\displaystyle p_{h}}各要素が何らかの層に属する確率h{\displaystyle h}このような場合、サンプルサイズ自体が確率変数となる可能性があります。
  2. モデルベースの場合、サンプルと重みは固定されていますが、関心のある結果は確率変数として扱われます。たとえば、事後層化の場合、結果は線形回帰関数としてモデル化できます。この場合、独立変数は各観測値を関連する層にマッピングする指標変数であり、変動性は誤差項によって生じます。

後述するように、文献中の証明の中にはランダム化に基づく枠組みに依拠するものもあれば、モデルに基づく視点に焦点を当てたものもある。平均から加重平均に移行すると、複雑さが増す。例えば、調査方法論の文脈では、母集団のサイズ自体が推定される未知の量とみなされることが多い。そのため、加重平均の計算は実際には比率推定量に基づいており、分子に合計の推定値、分母に母集団のサイズの推定値を用いる（これにより分散の計算がより複雑になる）。[ 23 ] [ 3 ]： 182

一般的な重さの種類

重みには多くの種類（およびサブタイプ）があり、それぞれ使用方法や解釈方法が異なります。重みによっては、その絶対値が重要な意味を持つものもあれば、重み同士の相対値が重要なものもあります。このセクションでは、後続のセクションで参照できるように、より一般的な重みの種類をいくつか紹介します。

  • 頻度重み[ 24 ]は、統計学入門コースで紹介される基本的な重み付けの一種です。これを用いると、各重みはサンプル内の項目の絶対頻度を示す整数値になります。これらは、繰り返し（または出現）重みとも呼ばれます。特定の値には絶対的な意味がありますが、スケーリングなどの変換を行うと意味が失われます。たとえば、頻度重みの値が 2 と 3 の数値 10 と 20 がある場合、データを「展開」すると、10、10、20、20、20 となります（これらの各項目には重み 1 が割り当てられます）。頻度重みにはデータセットに含まれる情報量が含まれるため、ベッセルの補正を用いた不偏加重分散推定などが可能になります。データセット内の各値から得られる項目の具体的な数はランダムであるため、このような重みはしばしばランダム変数であることに注意してください。
  • 逆分散重み付け（解析的重み付けとも呼ばれる） [ 24 ]は、各要素にその（既知の）分散の逆数である重みを割り当てる方法です。 [ 25 ] [ 9 ]： 187すべての要素の期待値が同じ場合、このような重みを使用して加重平均を計算すると、すべての加重平均の中で分散が最小になります。一般的な定式化では、これらの重みは既知であり、ランダムではありません。
  • 正規化（凸）重みとは、凸結合を形成する重みの集合のことです。つまり、各重みは0から1の間の数値であり、すべての重みの合計は1になります。任意の（負でない）重みの集合は、各重みをすべての重みの合計で割ることによって正規化重みに変換でき、これらの重みは合計が1になるように正規化されます。
関連する形式として、サンプルサイズ (n) に合計されるように正規化された重みがあります。これらの (非負の) 重みの合計はサンプルサイズ (n) に等しく、その平均は 1 です。任意の重みのセットは、各重みをすべての重みの平均で割ることによって、サンプルサイズに正規化できます。これらの重みには、相対的な解釈が容易で、重みが 1 より大きい要素は (例えば、加重平均に対する相対的な影響という点で) 平均観測値よりも「影響力」が大きく、重みが 1 より小さい要素は平均観測値よりも「影響力」が小さいことを意味します。
  • 逆確率重み付け、または単に確率重み付け[ 24 ]とは、各要素にその要素を選択する逆確率に比例する重みを与えることです。例えば、w私=1p私{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}[ 9 ] : 185逆確率重みを使用すると、各要素が対象集団で「表す」アイテムの数を知ることができます。したがって、そのような重みの合計は、関心のある対象集団のサイズを返します。逆確率重みは、合計が 1 になるように正規化することも、合計がサンプル サイズ (n) になるように正規化することもできます。次のセクションの計算の多くは、同じ結果をもたらします。
サンプルがEPSEMの場合、すべての確率は等しく、選択確率の逆数は互いに等しい重みをもたらします (それらはすべて等しいNn=1f{\displaystyle {\frac {N}{n}}={\frac {1}{f}}}、 どこn{\displaystyle n}サンプルサイズとN{\displaystyle N}（は母集団のサイズである）。このような標本は自己加重標本と呼ばれる。[ 9 ]： 193

「重み付け」調整を間接的に適用する方法もあります。例えば、既存のケースを複製して欠損値（無回答など）を補完し、多重代入法などの手法を用いて分散を推定する方法があります。別の方法として、一部のケースを削除する（重みを0にする）方法もあります。例えば、分析において重要度の低い過剰サンプリングされたグループの影響を軽減したい場合などです。どちらのケースも本質的には逆確率重み付けに似ていますが、実際の適用では、重みの追加列を適用する代わりに、データの行数が増えたり減ったりします（これにより、一部のソフトウェア実装での入力がより簡単になる可能性があります）。とはいえ、このような実装の結果は、単に重みを使用する場合と同様です。したがって、観測値を削除する場合は、一般的なソフトウェア実装でデータを容易に処理できますが、行を追加する場合は、不確実性推定に特別な調整が必要です。そうしないと、誤った結論につながる可能性があります（つまり、根本的な問題の別の表現方法を使用する場合、タダ飯はありません）。 [ 9 ]： 189、190

キッシュが提唱した「無作為重み」という用語は、不均等な選択確率に対応する重みを指すが、選択された要素の期待値や分散とは関係のない重みを指す。[ 9 ]： 190、191

推定比率平均を用いた無作為重み付け - キッシュのデザイン効果

式

制限のないサンプルを取る場合n{\displaystyle n}要素、次にこれらの要素をランダムに分割してH{\displaystyle H}互いに分離した層で、それぞれが一定の大きさのnh{\displaystyle n_{h}}要素∑h=1Hnh=n{\displaystyle \sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}=n}各層のすべての要素h{\displaystyle h}それらには（既知の）非負の重みが割り当てられている（wh{\displaystyle w_{h}}重量wh{\displaystyle w_{h}}各層の要素に対する不均等な選択確率の逆数によって生成することができる。h{\displaystyle h}（つまり、事後層化などの手順に続く逆確率重み付け）。この設定では、この設計によるサンプル加重平均の分散の増加（重みに反映される）と、何らかの結果変数 y のSRS（重みと結果の間に相関がない場合、つまり無作為な重み）との比較における Kish の設計効果は次のとおりです。 [ 1 ] : 427 [ 9 ] : 191(4.2)

デフ=n∑h=1H（nhwh2）（∑h=1Hnhwh）2{\displaystyle {\text{Deff}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h})^{2}}}}

各項目をそれぞれ独自の層から来たものとして扱うことで∀h:nh=1{\displaystyle \forall h:n_{h}=1}キッシュ（1992年）は上記の式を簡略化し、（よく知られている）次の式とした。[ 9 ]： 191（4.3）[ 26 ]： 318 [ 4 ]： 8

デフ=n∑私=1nw私2（∑私=1nw私）2=1n∑私=1nw私2（1n∑私=1nw私）2=w2¯w¯2{\displaystyle {\text{Deff}}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}={\frac {\overline {w^{2}}}{{\overline {w}}^{2}}}}

この式は、1つの層から複数の観測値が抽出された場合（つまり、それぞれの観測値が同じ重みを持つ場合）、または、複数の層からそれぞれ1つの観測値が抽出されたものの、それらの層の選択確率が同じである場合に有効です。解釈は若干異なりますが、2つのシナリオの計算結果は同じになります。

重みが不均等な場合の Kish のデザイン効果を使用する場合は、「 Kishの有効サンプルサイズ」[ 27 ] [ 1 ] : 162, 259の簡略化された式を使用できます。

neff=（∑私=1nw私）2∑私=1nw私2{\displaystyle n_{\text{eff}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}}
[証拠]

neff=nデフ=nn∑私=1nw私2（∑私=1nw私）2=（∑私=1nw私）2∑私=1nw私2{\displaystyle n_{\text{eff}}={\frac {n}{\text{Deff}}}={\frac {n}{\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}}

前提と証明

上記の式は、Kishによるもので、 「無作為」な重みに基づく加重平均の分散の増加を示しています。これは、次の式としても表すことができます。ここで、y は不均等な選択確率を使用して選択された観測値（クラスター内相関はなく、結果測定の期待値や分散との関係もありません）、 [ 9 ] : 190、191、およびy' は、単純なランダムサンプルから得られた観測値です。

デフキッシュ=変数（y¯w）変数（y¯′）=変数（∑私=1nw私y私∑私=1nw私）変数（∑私=1ny私′n）{\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}{{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)}}={\frac {{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)}{{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}'}{n}}\right)}}}

モデルベースの観点を用いることで、分散比の式をキッシュの式に簡略化できることが示される。[ 28 ]キッシュの式は、n 個の観測値すべてが (y1、。。。、yn{\displaystyle y_{1},...,y_{n}}）は（少なくとも近似的には）無相関である（∀（私≠j）:コル（y私、yj）=0{\displaystyle \forall (i\neq j):{\text{cor}}(y_{i},y_{j})=0}）同じ分散（σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}) は、関心のある応答変数 (y) に反映されます。また、重み自体がランダム変数ではなく、既知の定数 (例えば、あらかじめ決定され既知のサンプリング設計における選択確率の逆数) であると仮定する必要があります。

[証拠]

以下は、クラスターが存在しない場合（つまり、サンプルの要素間のクラス内相関がない場合）で、各層に 1 つの観測値のみが含まれる場合の簡略化された証明です。[ 28 ]

変数（y¯w）=1変数（∑私=1nw私y私∑私=1nw私）=2変数（∑私=1nw私′y私）=3∑私=1n変数（w私′y私）=4∑私=1nw私′2変数（y私）=5∑私=1nw私′2σ2=6σ2nn∑私=1nw私2（∑私=1nw私）2=7変数（y¯′）Deff（k私sh）⟹Deff（k私sh）=変数（y¯w）変数（y¯′）{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)&{\stackrel {1}{=}}{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right){\stackrel {2}{=}}{\text{var}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'y_{i}\right){\stackrel {3}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\text{var}}\left(w_{i}'y_{i}\right)\\&{\stackrel {4}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}{\text{var}}\left(y_{i}\right){\stackrel {5}{=}}\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}'^{2}\sigma ^{2}{\stackrel {6}{=}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\frac {n\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}{\stackrel {7}{=}}{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)D_{eff(kish)}\\&\implies D_{eff(kish)}={\frac {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}{{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)}}\end{aligned}}}

トランジション：

  1. 加重平均の定義から。
  2. 正規化された（凸型の）重み定義（合計が1になる重み）を使用する場合：w私′=w私∑私=1nw私{\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}}。
  3. 相関のないランダム変数の合計。
  4. 重みが定数である場合（分散の基本特性から）。別の言い方をすれば、各観測値 i の重みは事前にわかっているということです。つまり、実際に計算しているのは変数（y¯w|w）{\displaystyle {\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}|w\right)}
  5. すべての観測値が同じ分散を持つ場合（σ2{\displaystyle \sigma ^{2}})
  6. 代数について：移動σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}左側に、乗算項を追加nn{\displaystyle {\frac {n}{n}}}、そして開くw私′{\displaystyle w_{i}'}戻る。
  7. 定義に戻りましょう。

y の観測値が同じ期待値と分散を持つIIDである場合、y に関する条件は自明に満たされます。このような場合、y=y′{\displaystyle y=y'}推定できますv1r（y¯w）{\displaystyle var\left({\bar {y}}_{w}\right)}使用することによって変数（y¯w）¯=変数（y¯）¯×デフ{\displaystyle {\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}}={\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}\right)}}\times {\text{Deff}}}[ 9 ] [ 29 ] y がすべて同じ期待値でない場合、推定分散を計算に使用することはできません。なぜなら、その推定はすべての y が同じ期待値でなければならないと仮定しているからです。y私{\displaystyle y_{i}}s は同じ期待値を持っています。具体的には、重みと結果変数 y の間に相関がある場合、y の期待値はすべての観測値で同じではなく (各観測値の特定の重み値に依存します)、そのことを意味します。このような場合、デザイン効果の式は (他の条件が満たされていれば) 正しいかもしれませんが、加重平均の分散には別の推定値が必要になります。たとえば、加重分散推定値を使用する方が良いかもしれません。

異なる場合y私{\displaystyle y_{i}}s の値の分散が異なる場合、加重分散は正しい母集団レベルの分散を捉えることができるかもしれませんが、デザイン効果に関する Kish の公式はもはや正しくない可能性があります。

サンプルに何らかの相関構造が存在する場合（例えば、クラスターサンプリングを使用する場合など）にも、同様の問題が発生します。

変動係数との関係

キッシュによるデザイン効果の定義は、重みの変動係数（キッシュはこれを相対変動または略して相対値[ h ]とも呼んでいる）と密接に関連していることに注意されたい。（推定に補正されていない（母集団レベルの）標本標準偏差を使用する場合）。これには文献でいくつかの表記がある。[ 9 ]： 191 [ 13 ]： 396

デフ=1+L=1+CV2=1+relvar（w）=1+V（w）w¯2{\displaystyle {\text{Deff}}=1+L=1+{C_{V}}^{2}=1+{\text{relvar}}(w)=1+{\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}}。

どこV（w）=∑（w私−w¯）2n{\displaystyle V(w)={\frac {\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}}母集団分散はw{\displaystyle w}、 そしてw¯=∑w私n{\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}は平均値です。重みをサンプルサイズに正規化すると（つまり、重みの合計が n に等しく、重みの平均が 1 に等しくなると）、CV2=V（w）{\displaystyle {C_{V}}^{2}=V(w)}そして式は次のように簡略化される。デフ=1+V（w）{\displaystyle {\text{Deff}}=1+V(w)}確かに、重みは固定されていると仮定しますが、重みの分散は、重みのセットから（等しい確率で）1つの重みをサンプリングすることによって定義される経験分布の分散として考えることができます（単純な線形回帰におけるxとyの相関について考えるのと同様です）。

[証拠]

CV2=（sww¯）2=∑私=1n（w私−w¯）2nw¯2=∑私=1nw私2−nw¯2nw¯2=w¯2−w¯2w¯2=w¯2w¯2−1=デフ−1⟹デフ=1+CV2{\displaystyle {C_{V}}^{2}=\left({\frac {s_{w}}{\bar {w}}}\right)^{2}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}(w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}^{2}-n{\bar {w}}^{2}}{n}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}-{\bar {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}={\frac {{\overline {w}}^{2}}{{\bar {w}}^{2}}}-1={\text{Deff}}-1\implies {\text{Deff}}=1+{C_{V}}^{2}}

不均衡な層化抽出法との関連性

キッシュの元の定義は、あるサンプリング設計における分散と単純無作為抽出によって得られる分散を比較したものでした。いくつかの文献では、キッシュの設計効果について、次のような別の定義が示されています。「すべての層単位の分散が等しい場合、不均衡層化抽出における加重調査平均の分散と、比例層化抽出における分散の比」。 [ 26 ]： 318 [ 13 ]： 396これを踏まえ、パークとリー（2006）は、「[...][キッシュの]導出の根拠は、無作為な不均等な加重による[加重平均]の精度の低下は、不均衡層化抽出における分散と比例層化抽出における分散の比によって近似できるという点にある」と述べています。 [ 4 ]： 8

この代替定義は近似値に過ぎないことに注意してください。分母が「比例層化抽出法」（層化抽出法によって実現される）に基づいている場合、このような選択は単純無作為抽出法と比較して分散が減少します。これは、層化抽出法では、単純無作為抽出法（SRS）で発生するような、層ごとの要素数のばらつきの一部が除去されるためです。

関連して、コックラン（1977）は最適配分からの逸脱による分散の比例増加を表す式（キッシュの式ではLと呼ばれるもの）を示している。[ 3 ]： 116

代替命名規則

初期の論文では、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}[ 9 ] : 192デザイン効果の定義が増えるにつれて、不均等な選択確率に対するキッシュのデザイン効果は次のように表されるようになった。デフキッシュ{\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}}（または器用キッシュ2{\displaystyle {\text{Deft}}_{\text{Kish}}^{2}}）または単にデフK{\displaystyle {\text{Deff}}_{K}}略して。[ 4 ] : 8 [ 13 ] : 396 [ 26 ] : 318キッシュのデザイン効果は、2002年にLiuらによって「不均等重み付け効果」（または単にUWE）と名付けられたことでも知られている。[ 30 ] : 2124

結果が選択確率と相関する場合

スペンサーのデフの推定合計

合計の推定量は「復元抽出による p 拡張」推定量（別名：pwr 推定量またはHansen と Hurwitz推定量）です。これはn 個の項目の単純無作為標本（復元抽出、SIRと表記）に基づいています。yk{\displaystyle y_{k}}）N サイズの母集団から。[ i ]各項目は、pk{\displaystyle p_{k}}(k は 1 から N まで) 1 回抽選で選ばれる (∑Upk=1{\displaystyle \sum _{U}p_{k}=1}つまり、多項分布である）。特定の確率yk{\displaystyle y_{k}}サンプルに表示されるのはpk{\displaystyle p_{k}}「復元抽出によるp拡張」値はZ私=ykpk{\displaystyle Z_{i}={\frac {y_{k}}{p_{k}}}}以下の期待値に基づいて：E[Z私]=E[私私ykpk]=ykpkE[私私]=ykpkpk=yk{\displaystyle E[Z_{i}]=E[I_{i}{\frac {y_{k}}{p_{k}}}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}E[I_{i}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}p_{k}=y_{k}}したがってY^pwr=1n∑私nZ私{\displaystyle {\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}Z_{i}}pwr推定量は、yの合計に対する不偏推定量である。[ 3 ]： 51

2000年にブルース・D・スペンサーは、ある量の合計（平均ではなく）を推定する際の分散の設計効果を推定するための式を提案した（Y^{\displaystyle {\hat {Y}}}）、要素の選択確率と関心のある結果変数との間に相関がある場合。[ 31 ]

この設定では、サイズNの母集団からサイズnの標本が（復元抽出で）抽出されます。各項目は確率で抽出されます。P私{\displaystyle P_{i}}（どこ∑私=1NP私=1{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}P_{i}=1}（すなわち多項分布）。選択確率は、正規化された（凸型の）重みを定義するために使用されます。w私=1nP私{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{nP_{i}}}}。n個のランダムなセットの場合、重みの合計は期待値によってのみ 1 になります (E[w私]=1{\displaystyle E[w_{i}]=1}) 周囲の合計に多少の変動がある (つまり、ポアソン二項分布からの要素の合計)。y私{\displaystyle y_{i}}そしてP私{\displaystyle P_{i}}は、以下の（母集団）単純線形回帰によって定義されます。

y私=α+βP私+ϵ私{\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta P_{i}+\epsilon _{i}}

どこy私{\displaystyle y_{i}}は要素iの結果であり、線形的に に依存しますP私{\displaystyle P_{i}}切片付きα{\displaystyle \alpha }傾斜β{\displaystyle \beta }適合線からの残差はϵ私=y私−（α+βP私）{\displaystyle \epsilon _{i}=y_{i}-(\alpha +\beta P_{i})}また、結果と残差の母分散を次のように定義することもできます。σy2{\displaystyle \sigma _{y}^{2}}そしてσϵ2{\displaystyle \sigma _{\epsilon }^{2}}相関関係P私{\displaystyle P_{i}}そしてy私{\displaystyle y_{i}}はρy、P{\displaystyle \rho _{y,P}}。

yの合計を推定するためのスペンサーの（近似）設計効果は次のとおりです。[ 31 ]： 138 [ 32 ]： 4 [ 13 ]： 401

デフSpencer=（1−ρ^y、P2）（1+L）+（α^σ^y）2L{\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+L)+\left({\frac {\hat {\alpha }}{{\hat {\sigma }}_{y}}}\right)^{2}L}

どこ：

  • ρ^y、P2{\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}推定値ρy、P2{\displaystyle \rho _{y,P}^{2}}
  • α^{\displaystyle {\hat {\alpha }}}傾きを推定するα{\displaystyle \alpha }
  • σ^y{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}}母集団の分散を推定するσy{\displaystyle \sigma _{y}}、 そして
  • Lは、 Kishの公式で定義される重みの相対分散である。L=cvw2=relvar（w）=V（w）w¯2{\displaystyle L=cv_{w}^{2}={\text{relvar}}(w)={\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}}。

これは、回帰モデルが適切に適合し、選択確率と残差が独立していることを前提としています。なぜなら、残差と二乗残差が重みと無相関になるからです。つまり、ρϵ、W=0{\displaystyle \rho _{\epsilon ,W}=0}そしてまたρϵ2、W=0{\displaystyle \rho _{\epsilon ^{2},W}=0}[ 31 ] : 138​

個体群サイズ（N）が非常に大きい場合、式は次のように表すことができます。[ 26 ]： 319

デフSpencer=（1−ρ^y、P2）（1+cvw2）+（1cvY2）2cvw2{\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+\left({\frac {1}{cv_{Y}^{2}}}\right)^{2}cv_{w}^{2}}

（以来α=Y¯−β×P¯=Y¯−β×1N≈Y¯{\displaystyle \alpha ={\bar {Y}}-\beta \times {\bar {P}}={\bar {Y}}-\beta \times {\frac {1}{N}}\approx {\bar {Y}}}、 どこcvY2=σY2Y¯2{\displaystyle cv_{Y}^{2}={\frac {\sigma _{Y}^{2}}{{\bar {Y}}^{2}}}}）

この近似では、 Pとyの間に線形関係が成り立つことを前提としています。また、重みと誤差の相関、および誤差の二乗が両方ともゼロであることも前提としています。つまり、ρw、e=0{\displaystyle \rho _{w,e}=0}そしてρw、e2=0{\displaystyle \rho _{w,e^{2}}=0}[ 32 ]： 4​

我々は、もしρ^y、P≈0{\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}\approx 0}、 それからα^≈y¯{\displaystyle {\hat {\alpha }}\approx {\bar {y}}}（つまり、 yの平均）。このような場合、式は次のように簡略化されます。

デフSpencer=（1+L）+（1relvar（y））2L{\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1+L)+\left({\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}\right)^{2}L}

yの分散がその平均よりもはるかに大きい場合にのみ、右端の項は 0 に近くなります (つまり、1relvar（y）=Y¯σy≈0{\displaystyle {\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}={\frac {\bar {Y}}{\sigma _{y}}}\approx 0}）スペンサーのデザイン効果（推定合計値）はキッシュのデザイン効果（比率平均値）と等しくなる[ 32 ]： 5デフSpencer≈（1+L）=デフキッシュ{\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}\approx (1+L)={\text{Deff}}_{\text{Kish}}}そうでない場合、2つの式は異なる結果をもたらし、合計の設計効果と平均の設計効果の違いが明らかになります。

パークとリーの推定比率平均に対する定義

2001年、パークとリーはスペンサーの公式を比率平均の場合（すなわち、総数の推定値を母集団規模の推定値で割ることによって平均を推定する場合）に拡張した。それは次の通りである。[ 32 ]： 4

デフP1rk＆Lee=（1−ρ^y、P2）（1+cvw2）+ρ^y、P2cvP2cvw2{\displaystyle {\text{Deff}}_{Park\&Lee}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+{\frac {{\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}{cv_{P}^{2}}}cv_{w}^{2}}

どこ：

ParkとLeeの公式は、Kishの公式と完全に一致する。ρ^y、P2=0{\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}^{2}=0}両方の式はyの平均の設計効果に関連していますが、スペンサーのデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}人口総数の推定に関連する。

一般的に、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}合計 (Y^{\displaystyle {\hat {Y}}}）は、デフ{\displaystyle {\text{Deff}}}比率の平均については（Y¯^{\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}}） いつρy、P{\displaystyle \rho _{y,P}}小さい。そして一般的に、ρy、P{\displaystyle \rho _{y,P}}両方の設計効果の効率に影響を与える。[ 4 ]： 8

クラスターサンプリング

クラスターサンプリングを用いて収集されたデータについては、以下の構造を想定する。

  • nk{\displaystyle n_{k}}各クラスターの観測値とK個のクラスター、合計n=∑nk{\displaystyle n=\sum n_{k}}観察結果。
  • 観測値はブロック対角相関行列を持ち、同じクラスターからの観測値のペアごとにクラス内相関が次の値で相関している。ρ{\displaystyle \rho }、一方、差分クラスターからのすべてのペアは無相関である。[ 33 ]つまり、すべての観測値のペアについて、私{\displaystyle i}そしてj{\displaystyle j}同じクラスターに属している場合k{\displaystyle k}そうすればcov（y私、yj）=ρσ2{\displaystyle cov(y_{i},y_{j})=\rho \sigma ^{2}}2つの異なるクラスターに属する2つの項目は相関関係がありません。cov（y私、yj）=0{\displaystyle cov(y_{i},y_{j})=0}。
  • どのクラスターに属する要素も、同じ分散を持つと仮定する。変数（y私）=σh2=σ2{\displaystyle {\text{var}}(y_{i})=\sigma _{h}^{2}=\sigma ^{2}}。

クラスターのサイズがすべて同じ場合n*{\displaystyle n^{*}}1965年にKishによって提案され（後に他の研究者によって再検討された）設計効果D effは、次のように表される。 [ 1 ] : 162 [ 13 ] : 399 [ 4 ] : 9 [ 34 ] [ 35 ] [ 14 ] : 241

デフ=1+（n*−1）ρ。{\displaystyle {\text{Deff}}=1+(n^{*}-1)\rho .}

また、次のように表記されることもあります。デフC{\displaystyle {\text{Deff}}_{C}}[ 30 ] : 2124​

さまざまな論文では、クラスターサイズが等しくない場合、上記の式も使用されます。n*{\displaystyle n^{*}}平均クラスターサイズ（これは、b¯{\displaystyle {\bar {b}}}) [ 36 ] [ 28 ] : 105このような場合、キッシュの式（平均クラスター重みを使用）は、正確な設計効果の保守的な（上限）値として機能します。[ 28 ] : 106

不均等なクラスターサイズに対応する代替式が存在する。[ 1 ]： 193追跡調査では、さまざまな仮定の下で平均クラスターサイズを使用することの感度について議論した。[ 37 ]

複雑なデザインに対するデザイン効果

不均等な選択確率×クラスターサンプリング

1987年の論文で、Kishは、不均等な選択確率を考慮した重み付けとクラスターサンプリングの両方の効果を組み込んだ複合デザイン効果を提案した。[ 36 ] : 16 [ 28 ] : 105 [ 38 ] : 4 [ 32 ] : 2

デフキッシュ=n∑h=1H（nhwh2）（∑h=1Hnhwh）2（1+（n*−1）ρ）=デフk×デフC{\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{\left(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h}\right)^{2}}}\left(1+(n^{*}-1)\rho \right)={\text{Deff}}_{k}\times {\text{Deff}}_{C}}

上記では、この記事で使用されているものと同様の表記法を使用しています（1987年の元の出版物では異なる表記法が使用されていました）。[ j ]この式のモデルに基づく正当化は、Gabler らによって提供されました。[ 28 ]

層化サンプリングは不均等な選択確率を伴い、クラスターサンプリングは不均等な選択確率を伴います。

2000年に、LiuとAragonは、層化サンプリングにおける異なる層に対する不均等な選択確率設計効果の分解を提案した。[ 39 ] 2002年に、Liuらは、各層内に不均等な選択確率重みのセットがある層化サンプルを考慮するようにその研究を拡張した。クラスターサンプリングは、全体的または層ごとに行われる。[ 30 ]同様の研究は、2003年にParkらによっても行われた。[ 40 ]

Chen-Rust Deff: 層別化を伴う2段階および3段階設計に対する設計効果

チェン・ラストデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}ギャブラーら[ 28 ]が提案した、キッシュの1987年の設計効果の公式のモデルに基づく正当化を拡張し、第1段階で層化を伴う2段階設計と、層化のない3段階設計に適用する[ 41 ] 。修正された公式は、調査ウェイトと母集団のクラスター内相関を使用して全体的な設計効果を定義する。これらの公式により、さまざまなソースからの設計効果を洞察力のある解釈が可能になり、完了した調査のクラスター内相関を推定したり、将来の調査の設計効果を予測したりすることができる。

HenryのDeff：単段サンプルにおけるキャリブレーション重み付けのための設計効果尺度

ヘンリーのデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}[ 26 ]は、単一ステージサンプリングおよびキャリブレーション重み調整のための拡張モデル支援重み設計効果尺度を提案しており、y私=α+βx私+ϵ私{\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\epsilon _{i}}、 どこx私{\displaystyle x_{i}}は共変量のベクトルであり、モデル誤差は独立しており、母集団合計の推定値は、Särndal、Swensson、および Wretman (1992) の一般回帰推定値 (GREG) です。[ 3 ]新しい尺度は、非エプセムサンプリング設計、キャリブレーション調整による不均等な重み、および分析変数とキャリブレーションで使用される補助変数との相関の複合効果を考慮しています。

LohrのDef：クラスターサンプルにおける回帰傾きのデザイン効果

ローアのデフ{\displaystyle {\text{Deff}}}[ 42 ]は、ランダム係数回帰モデルを使用したクラスターサンプリングのコンテキストにおける通常の最小二乗法に関するものです。Lohrは、回帰傾きのGLS推定量の設計効果が1未満となる条件を示しており、これは効率性が高いことを示しています。しかし、GLS推定量の設計効果は、モデルの仕様に非常に敏感です。基礎となるランダム係数モデルがランダム切片モデルとして誤って指定されている場合、設計効果は著しく過小評価される可能性があります。対照的に、回帰傾きのOLS推定量と設計ベースの観点から計算された設計効果は、分散構造の誤った指定に対して頑健であり、モデルの仕様が正確でない可能性がある状況でより信頼性が高くなります。

用途

Deff{\displaystyle Deff}将来のデータ収集の計画時や診断ツールとして使用できる可能性がある。[ 14 ]： 85

  • 将来のデータ収集を計画する際-Deff{\displaystyle Deff}サンプリング効率を評価するために使用できます。たとえば、サンプリング設計の決定により分散が「過剰」に増加する可能性がある場合、または代替の（経済的に実行可能な）設計の方が効率的である場合などです。これはサンプルサイズ（全体、層ごと、クラスターごとなど）にも影響します。サンプルサイズを計画する際には、サンプリング分散に対するサンプリング設計の影響から面接者の影響（測定誤差）を分離するために、設計効果を補正する作業が行われる場合があります。[ 43 ]
  • 診断ツールとして-Deff{\displaystyle Deff}事後重み付け分析における潜在的な問題（例えば、無回答調整によるもの）を評価するのに役立つ可能性がある。[ 8 ]例えば、Deff{\displaystyle Deff}値が特に高い場合は、サンプリングまたは重み付けスキームに問題があることを示している可能性があります。これは、重みに対して何らかの操作 (たとえば、重みのトリミング) を実行する際にも役立ち、デザイン効果を使用して、操作が有効サンプルサイズに与える影響を評価できます。[ 44 ]また、データまたはその分析の明らかな問題 (たとえば、間違いから外れ値の存在まで) を特定する際にも役立ちます。[ 9 ] : 191一部の文献では、Deff>1.5{\displaystyle Deff>1.5}設計効果値が「高すぎる」という普遍的な経験則はないため、注意が必要になる可能性が高い。 [ 13 ]： 396Deff{\displaystyle Deff}価値観はしばしば文脈に依存する。

母集団がほぼ独立同分布（IID）である場合、またはデータの標本設計が単純無作為標本として抽出された場合は、設計効果を考慮する必要はありません。また、標本サイズが比較的小さい場合（少なくとも実用上の理由から部分的に）、あまり有用ではありません。

キッシュは当初、デザイン効果がデータの基礎となる分布、サンプリング確率、それらの相関、および関心のある統計量にできるだけ依存しないようにすることを望んでいたが、その後の研究により、これらがデザイン効果に影響を与えることが示された。したがって、どのデザイン効果を採用するかを決定する際には、これらの特性を慎重に検討する必要がある。Deff{\displaystyle Deff}使用する計算方法とその使用法。[ 4 ]： 13 [ 32 ]： 6

信頼区間を構築する際に、設計効果が適用されることはまれです。理想的には、特定のパラメータの推定量について、復元抽出による単純無作為抽出（SRS）の分散と設計効果（分散を変化させるサンプリング設計のすべての要素を考慮）の両方を決定で​​きることが望ましいです。このようなシナリオでは、基本分散と設計効果を乗算して、特定の設計に対する推定量の分散を計算できます。[ 1 ]： 259この計算された値は、信頼区間を形成するために使用できます。しかし、実際のアプリケーションでは、両方の値を同時に推定することはまれです。その結果、他の方法が好まれます。たとえば、テイラー線形化は、加重平均の分散に基づいて信頼区間を構築するために利用されます。より広義には、複製重みとしても知られるブートストラップ法が、さまざまな加重統計量に適用されます。

ソフトウェア実装

キッシュのデザイン効果は、様々な統計ソフトウェアパッケージに実装されている。

  • Python : balanceパッケージのdesign_effect。[ 45 ]
  • R : surveyパッケージのsurveysummary。[ 46 ]これは他のRパッケージ（例：pewmethods [ 47 ]およびsamplesize4surveys [ 48 ] ）にも実装されています。
  • SAS: Proc Surveymeans を使用する。[ 49 ]
  • Stata: svy: mean コマンドの後に estat 事後推定コマンドを使用する。[ 50 ]
  • スーダン。[ 51 ]
  • WESVAR: 置換ありのKishの設計効果（SRSWR）を計算します。Deft{\displaystyle Deft}[ 52 ]​

注記

  1. ↑つまり、デザイン効果とは、あるデザインを持つ標本から得られた推定値と、単純無作為標本から得られた推定値の2つの推定値の分散の比である。
  2. ↑ある設計における合計値（平均値ではなく）を推定する際の（理論的な）設計効果に関する一般式は、Cochran 1977 [ 3 ] : 54に示されている。
  3. ↑キッシュの本来の意図は器用{\displaystyle {\text{Deft}}}それは「元素の変動性を超えたサンプル設計の効果を表現する」ことだった。Sn2n{\displaystyle {\frac {S_{n}^{2}}{n}}}測定単位とサンプルサイズの両方を邪魔なパラメータとして取り除く」という考え方に基づいて、設計効果を同じ調査内（さらには調査間）の多くの統計量や変数に一般化（関連性を持たせる）することが期待されていました。[ 5 ]： 55しかし、その後の研究で、設計効果は特定のサンプリング設計、結果、および関心のある統計量（例えば、母集団総数と平均）に依存することが示されています。特に、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}特定の結果と特定の設計との関連性に依存します（例：相関関係y私{\displaystyle y_{i}}選択確率p私{\displaystyle p_{i}}) [ 4 ] : 5したがって、現在の文献は、器用{\displaystyle {\text{Deft}}}多くの統計データや成果指標にわたって。
  4. ↑これを簡単に説明すると、サイズの異なるクラスターがあり、そのうちの1つのクラスターのみを（SRSを使用して）サンプリングし、そのクラスター内のすべての要素を測定するとします。これによりEPSEMが得られますが、得られる観測値の数はクラスターのサイズによって異なります。
  5. ↑ より正確に言うと、S私{\displaystyle S_{i}}はクラスターのサイズの尺度です私{\displaystyle i}PPS（サイズに比例した確率）サンプリングの一般的な方法の1つは、各クラスターをそのサイズに比例した選択確率でサンプリングすることです。具体的には次のようになります。P（クラスターの選択 私）=mS私∑U私∈US私{\displaystyle P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}}どこm{\displaystyle m}はサンプリングしたいクラスターの数であり、U{\displaystyle U}は、クラスターをサンプリングするために使用されるフレームです。同じ数のサブサンプリングを行った場合、n¯{\displaystyle {\bar {n}}}各サンプルクラスター内の要素を何らかの等確率法を用いて抽出し、S私{\displaystyle S_{i}}クラスター内の要素数は正しいですか私{\displaystyle i}すると、要素の選択確率はj{\displaystyle j}（いくつかのクラスターで）私{\displaystyle i}）は、すべてのクラスター（つまり、EPSEM）のすべての要素で同じになります。 πj=mS私∑U私∈US私n¯S私=mn¯∑U私∈US私{\displaystyle \pi _{j}={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}}}={\frac {m{\bar {n}}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}}。 もしS私{\displaystyle S_{i}}正しいサイズではないことが判明し、サンプリングレートはn¯S私{\displaystyle {\frac {\bar {n}}{S_{i}}}}それでもEPSEM（等確率選択法）が得られます。サンプルクラスター内のすべてのユニットを列挙（測定）する場合（固定数ではなく）n¯{\displaystyle {\bar {n}}}または一定の割合n¯S私{\displaystyle {\frac {\bar {n}}{S_{i}}}}）、次にクラスター内の各ユニット私{\displaystyle i}クラスターの選択確率があり、異なるクラスターの要素間で選択確率が不均等になります（つまり、πj（私）=mS私∑U私∈US私{\displaystyle \pi _{j}(i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}})
  6. ↑例えば、各クラスターについて私{\displaystyle i}その大きさはS私{\displaystyle S_{i}}サンプルを採取できますm{\displaystyle m}選択確率が以下のクラスター：P（クラスターの選択 私）=mS私∑U私∈US私{\displaystyle P({\text{Selecting cluster }}i)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}}そして、固定数のn¯{\displaystyle {\bar {n}}}各クラスターからの要素。このような場合、実際のクラスターサイズを、例えば、S私*{\displaystyle S_{i}^{*}}すると、各要素の選択確率はj{\displaystyle j}クラスターから取得私{\displaystyle i}、次のようになります。πj（j）=mS私∑U私∈US私n¯S私*{\displaystyle \pi _{j}(j)={\frac {mS_{i}}{\sum _{U_{i}\in U}S_{i}}}{\frac {\bar {n}}{S_{i}^{*}}}}。ただし、各クラスターから以下のレートでサンプリングすれば、サンプリング段階でこの問題を軽減できる可能性があることに注意してください。n¯S私{\displaystyle {\frac {\bar {n}}{S_{i}}}}すると選択確率は EPSEM になります (実際のクラスターサイズはS私*{\displaystyle S_{i}^{*}}そしてそうではないS私{\displaystyle S_{i}})
  7. ↑この式は、層hで等確率のサンプルが選択され、各要素が同じ確率で回答する場合にのみ適用されます。
  8. ↑相対分散と呼ばれる別の用語があることに注意してください。これは分散と平均の比率ですが、Kish の相対分散は分散と平均の二乗の比率です。
  9. ↑文献では、標本サイズと母集団サイズは、 nとNで表される場合もあれば、 mとMで表される場合もあります。この記事では、 nとNを使用しました。
  10. ↑ オリジナルの表記法を用いたキッシュのデザイン効果の式： [ 36 ]： 16
    デフキッシュ=器用2=deftus2（1+L）=（1+ρ（b¯−1））n∑kj2（∑kj）2{\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\text{Deft}}^{2}=deftu_{s}^{2}(1+L)=\left(1+\rho ({\bar {b}}-1)\right){\frac {n\sum {k_{j}^{2}}}{\left(\sum {k_{j}}\right)^{2}}}}

関連項目

参考文献

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