傾向スコアマッチング

観察データの統計分析において、傾向スコアマッチング( PSM ) は、治療を受けることを予測する共変量を考慮して、治療、ポリシー、またはその他の介入の効果を推定する統計マッチング手法です。PSM は、治療を受けたユニットと受けなかったユニットの結果を単純に比較して得られる治療効果の推定値に見られる交絡変数によるバイアスを軽減しようとします。

ポール・R・ローゼンバウムとドナルド・ルービンは1983年にこの手法を導入し、傾向スコアを、観察された共変量のセットを与えられた場合に、単位（例：人、教室、学校）が治療に割り当てられる条件付き確率として定義しました。^[1]

バイアスの可能性が生じるのは、治療を受けたグループと治療を受けなかったグループの間の治療結果（平均治療効果など）の差が、治療そのものではなく、治療を予測する要因によって引き起こされる可能性があるためです。ランダム化実験では、ランダム化によって治療効果を偏りなく推定できます。各共変量について、ランダム化は、大数の法則により、治療グループが平均してバランスが取れていることを意味します。残念ながら、観察研究では、研究対象者への治療の割り当ては通常ランダムではありません。マッチングは、治療を受けたユニットのサンプルを、治療を受けなかったユニットのサンプルとすべての観察された共変量で比較できるようにすることで、治療割り当てバイアスを減らし、ランダム化を模倣しようとします。

「傾向」は、共変量値に基づいて、ユニットが処理される可能性を表します。処理と共変量の交絡が強くなるほど、つまり、単純な処理効果の分析における偏りが強くなるほど、共変量によってユニットが処理されるかどうかをより正確に予測できるようになります。処理とコントロールの両方で同様の傾向スコアを持つユニットを持つことで、このような交絡は軽減されます。

たとえば、喫煙がどのような結果をもたらすかを知りたいとします。人々を無作為に「喫煙」という治療に割り当てるのは非倫理的であるため、観察研究が必要です。喫煙者と非喫煙者を単純に比較して推定される治療効果は、喫煙を予測する要因 (性別や年齢など) によって偏ります。PSM は、治療を受けるグループと治療を受けないグループを制御変数に関して比較可能にすることで、これらの偏りを制御しようとします。

PSM は、通常ロジスティック回帰から得られる観測予測子に基づいて、グループ メンバーシップの予測確率 (例: 治療グループとコントロール グループ) を使用し、反事実グループを作成します。傾向スコアは、単独で、または他のマッチング変数や共変量とともに、マッチングまたは共変量として使用できます。

1.ロジスティック回帰などを使用して傾向スコアを推定する:

• 従属変数:ユニットが参加した場合 (つまり、治療グループのメンバーである場合)、Z = 1。ユニットが参加しなかった場合 (つまり、コントロール グループのメンバーである場合)、Z = 0。
• 適切な交絡因子（治療と結果の両方に関連すると仮定される変数）を選択する
• 傾向スコアの推定値を取得します。予測確率pまたは対数オッズlog[ p /(1−  p )]。

2. 次のいずれかの方法を使用して、傾向スコアに基づいて各参加者を 1 人以上の非参加者とマッチングします。

• 最近傍マッチング
• 最適な完全マッチング: 各参加者を固有の非参加者とマッチングし、参加者とマッチングされた非参加者間の傾向スコアの合計距離を最小化します。この方法は、他のマッチング手法と組み合わせることができます。
• キャリパーマッチング: 処理されたユニットの傾向スコアの特定の幅内の比較ユニットがマッチングされます。幅は通常、傾向スコアの標準偏差の一部です。
• 半径のマッチング: 特定の半径内のすべてのマッチングが使用され、処理ユニット間で再利用されます。
• カーネルマッチング: 半径マッチングと同じですが、コントロール観測値は、処理観測値の傾向スコアとコントロール マッチ傾向スコア間の距離の関数として重み付けされます。1 つの例は、Epanechnikov カーネルです。半径マッチングは、均一カーネルが使用される特殊なケースです。

• PSMと組み合わせたマハラノビス計量マッチング
• 階層化マッチング
• 差分の差分マッチング（カーネルとローカル線形重み）
• 完全一致

3. 傾向スコアの層内で、共変量が治療群と比較群間でバランスが取れていることを確認します。

• 標準化された差やグラフを使用して分布を調べる
• 共変量がバランスしていない場合は、手順1または2に戻り、手順を変更します。

4. 新しいサンプルに基づいて効果を推定する

• 通常、参加者と非参加者の間の試合内結果の平均差の加重平均。
• 各参加者に複数の非参加者が一致する場合は、非独立マッチングサンプルに適した分析を使用する

基本的なケース^[1]は、 N 個 の独立した同一分布のランダム変数被験者を伴う 2 つの処置 (番号 1 と 0) です。各被験者i は処置に対して で反応し、対照に対して で反応します。推定される量は平均処置効果です。変数 は、被験者i が処置 ( ) を受けたか対照 ( ) を受けたかを示します。をi番目の被験者の観察された処置前測定値 (または共変量) のベクトルとします。 の観察は処置の割り当て前に行われますが、 の特徴には、処置の割り当てを決定するために使用された特徴のすべて (またはいずれか) が含まれていない可能性があります。単位の番号付け (つまり、i  = 1、...、  N ) には、 に含まれる情報を超える情報は含まれないと想定されています。次のセクションでは、 iインデックスを省略しながらも、一部の被験者の確率的動作について説明します。 ${\displaystyle r_{1i}}$${\displaystyle r_{0i}}$${\displaystyle E[r_{1}]-E[r_{0}]}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle Z_{i}=1}$${\displaystyle Z_{i}=0}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

ある被験者が共変量X（すなわち条件付きで交絡がない）のベクトルと、それぞれ対照群と治療群における潜在的な結果r ₀とr _{1を持っているとします。潜在的な結果が背景変数}Xを条件として治療（Z ）から独立している場合、治療の割り当ては強く無視できると言われています。これは次のように簡潔に書くことができます。

${\displaystyle r_{0},r_{1}\perp Z\mid X}$

ここで は統計的独立性を表す。^[1]${\displaystyle \perp}$

バランススコアb ( X )は観測された共変量Xの関数であり、b ( X )が与えられた場合のXの条件付き分布は、処理済みユニット（ Z  = 1）とコントロールユニット（Z = 0）で同じになります 。

${\displaystyle Z\perp X\mid b(X).}$

最も単純な関数は です。 ${\displaystyle b(X)=X}$

傾向スコアは、観測された共変量セットを前提として、特定の処理に割り当てられるユニット (例: 人、教室、学校) の条件付き確率です。傾向スコアは、これらの共変量に基づいてグループを等しくすることで 交絡を減らすために使用されます。

バイナリ治療指標 Z、応答変数r、および背景で観測された共変量Xがあるとします。傾向スコアは、背景変数が与えられた場合の治療の条件付き確率として定義されます。

${\displaystyle e(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \Pr(Z=1\mid X=x).}$

因果推論と調査方法論の文脈では、傾向スコアは、共変量セットを使用して（ロジスティック回帰、ランダムフォレストなどの方法を介して）推定されます。これらの傾向スコアは、逆確率加重法で使用される重みの推定値として使用されます。

以下は1983年にローゼンバウムとルービンによって初めて提示され、証明されたものである: ^[1]

• 傾向スコアはバランススコアです。${\displaystyle e(x)}$
• 傾向スコアよりも「細かい」スコアはバランススコアです（つまり、何らかの関数）。傾向スコアは、（おそらく）多次元オブジェクト（X _i）を 1 つの次元に変換する（もちろん、他の次元も存在しますが）ため、最も粗いバランススコア関数であり、 は最も細かいものです。${\displaystyle e(X)=f(b(X))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b(X)=X}$
• Xが与えられた場合、処理の割り当てが強く無視できる場合、次のようになります。

• また、バランス関数を考慮すると、これは無視できるほど大きい。具体的には、傾向スコアを考慮すると、次のようになります。

${\displaystyle (r_{0},r_{1})\perp Z\mid e(X).}$

• バランススコアの任意の値について、同じバランススコアの値を持つ被験者に基づく、手元にあるサンプルの処理平均とコントロール平均の差 (つまり: )は、平均処理効果の不偏推定値として機能します。${\displaystyle {\bar {r}}_{1}-{\bar {r}}_{0}}$${\displaystyle E[r_{1}]-E[r_{0}]}$

• バランススコアのサンプル推定値を使用すると、  Xのサンプルバランスを生成できます。

Zの値を、Xの分布に影響を与える母集団のパラメータとして考えると、バランススコアはZの十分な統計量として機能します。さらに、上記の定理は、 ZをXのパラメータとして考えると、傾向スコアが最小限の十分な統計量であることを示しています。最後に、治療割り当てZ がX を前提として強く無視できる場合、傾向スコアはの結合分布の最小限の十分な統計量です。 ${\displaystyle (r_{0},r_{1})}$

ジュディア・パールは、交絡変数の存在を検出するバックドア基準と呼ばれる簡単なグラフィカルテストが存在することを示しました。治療の効果を推定するには、背景変数Xがグラフ内のすべてのバックドアパスをブロックする必要があります。このブロックは、交絡変数を回帰のコントロールとして追加するか、交絡変数を一致させることによって行うことができます。^[2]

PSM はモデルの「不均衡、非効率性、モデル依存性、バイアス」を増加させることが示されていますが、これは他のほとんどのマッチング方法では当てはまりません。^[3]マッチングの使用に関する洞察は依然として有効ですが、他のマッチング方法にも適用する必要があります。傾向スコアは、重み付けや二重に堅牢な推定においても他の生産的な用途があります。

他のマッチング手順と同様に、PSM は観察データから平均治療効果を推定します。PSM の導入時の重要な利点は、単一のスコアに対して共変量の線形結合を使用することで、多数の観察を失うことなく、多数の共変量で治療グループとコントロール グループのバランスをとることができることです。治療とコントロールのユニットが多数の共変量で 1 つずつバランスをとると、「次元問題」を克服するために多数の観察が必要になります。この問題では、新しいバランスをとる共変量を導入すると、サンプル内の最小限必要な観察数が幾何級数的に増加します。

PSM の欠点の 1 つは、観察された（および観察可能な）共変量のみを考慮し、潜在的な特性を考慮しないことです。治療と結果の割り当てに影響を与えるが観察できない要因は、マッチング手順では考慮されません。^[4]この手順では観察された変数のみを制御するため、潜在変数による隠れたバイアスは、マッチング後も残る可能性があります。^[5]もう 1 つの問題は、PSM では大規模なサンプルが必要であり、治療グループとコントロール グループの間にかなりの重複があることです。

マッチングに関する一般的な懸念は、ジュディア・パール氏によっても提起されており、パール氏は、観察変数のマッチングによって、潜在する観察されない交絡因子によるバイアスが解き放たれる可能性があるため、隠れたバイアスが実際に増加する可能性があると主張している。同様に、パール氏は、バイアスの削減は、治療、結果、観察された共変量と観察されない共変量の間の質的な因果関係をモデル化することによってのみ（漸近的に）保証できると主張している。^[6]交絡は、実験者が独立変数と従属変数の間の観察された関係に対する代替の非因果的説明を制御できない場合に発生する。そのような制御は、パール氏の「バックドア基準」を満たすはずである。^[2]

• RMatchIt :傾向スコアマッチングは、^{[7] [8]} optmatch、^[9]またはその他のパッケージの一部として利用できます。
• SAS：PSMatch手順とOneToManyMTCH傾向スコアに基づくマクロマッチ観測。^[10]
• Stata :傾向スコアマッチングを実装するコマンドはいくつかあり、^[11]ユーザーが作成したコマンドも含まれるpsmatch2。^[12] Stataバージョン13以降では、組み込みコマンドも提供されるteffects psmatch。^[13]
• SPSS : 傾向スコア マッチングのダイアログ ボックスは、IBM SPSS Statistics メニュー (データ/傾向スコア マッチング) から使用できます。このダイアログ ボックスでは、一致許容値の設定、サンプル抽出時のケース順序のランダム化、完全一致の優先順位付け、置換ありまたは置換なしのサンプリング、ランダム シードの設定、処理速度の向上とメモリ使用量の最小化によるパフォーマンスの最大化を行うことができます。
• Python : PsmPy、Python での傾向スコアマッチングのライブラリ

• ルービン因果モデル
• 無視可能性
• ヘックマン訂正
• マッチング（統計）