ホーヴィッツ・トンプソン推定量

統計学において、ダニエル・G・ホーヴィッツとドノバン・J・トンプソンにちなんで名付けられたホーヴィッツ・トンプソン推定量^{[ 1 ]}は、収集されたデータと対象母集団の標本分布の違いを考慮するために逆確率重み付けを適用することにより、層化標本における擬似母集団の合計^{[ 2 ]}と平均を推定する方法である。ホーヴィッツ・トンプソン推定量は調査分析で頻繁に適用され、欠損データや不均等な選択確率の多くの原因を考慮するために使用できる。

正式には、${\displaystyle Y_{i},i=1,2,\ldots ,n}$独立したサンプルである${\displaystyle n}$の${\displaystyle N\geq n}$全体平均の明確な層 ${\displaystyle \mu }$さらに、$\displaystyle \pi _{i}}$は、超集団から無作為に抽出された個体が、${\displaystyle i}$第 1 層。合計の Horvitz–Thompson 推定量は次の式で与えられる。^{[ 3 ] : 51}

${\displaystyle {\hat {Y}}_{\mathrm {HT} }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}},}$

そして、平均値のHorvitz–Thompson推定値は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{\mathrm {HT} }={\frac {1}{N}}{\hat {Y}}_{HT}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}.}$

ベイズ確率論的枠組みにおいて$\displaystyle \pi _{i}}$対象集団の中で、${\displaystyle i}$層。したがって、${\displaystyle Y_{i}/\pi _{i}}$これは、${\displaystyle i}$番目の層。Horvitz–Thompson推定量は、平均の重み付きブートストラップ再サンプリング推定値の極限として表現することもできます。また、多重代入アプローチの特殊なケースと見なすこともできます。^{[ 4 ]}

事後層別化研究デザインの場合、推定値は${\displaystyle \pi }$そして${\displaystyle \mu }$は個別のステップで行われます。このような場合、分散を計算すると、$\displaystyle {\hat {\mu }}_{HT}}$これは単純ではありません。ブートストラップやジャックナイフなどのリサンプリング手法を適用することで、Horvitz–Thompson推定量の分散の一貫した推定値を得ることができます。^{[ 5 ]} Rの「survey」パッケージは、Horvitz–Thompson推定量を使用して事後層化データの分析を実行します。^{[ 6 ]}

この証明では、サンプルをランダムな部分集合として表現することが有用である。$${\displaystyle S\subseteq \{1,\ldots ,N\}}$$サイズの${\displaystyle n}$すると、指標確率変数を定義できる。${\displaystyle I_{j}=\mathbf {1} [j\in S]}$各${\displaystyle j}$で${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}$サンプル中に存在するかどうか。サンプル中のどの観測値についても、期待値は包含確率の定義となることに注意してください。 ${\displaystyle \pi _{i}=\operatorname {\mathbb {E} } \left(I_{i}\right)=\Pr(i\in S)}$[ ^{a ]​}

推定量の期待値を取ることで、以下のように不偏性を証明できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left({\hat {\mu }}_{\mathrm {HT} }\right)&=\operatorname {\mathbb {E} } \left({\frac {1}{N}}\sum _{i\in S}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}I_{j}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}\operatorname {\mathbb {E} } \left(I_{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {Y_{j}}{\pi _{j}}}\pi _{j}\\[6pt]&={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}Y_{j}\end{aligned}}}$

ハンセン・ハーウィッツ（1943）法は、サイズに比例した包含確率（IPPS）サンプリング手順に関連するホーヴィッツ・トンプソン（1952）法よりも劣ることが知られている。^{[ 7 ]}

• R 用調査パッケージのウェブサイト