クラス内相関

統計学において、級内相関係数（ICC ） [ ^{1]は、グループに編成された単位に対して定量的な測定を行う際に使用できる}記述統計です。これは、同じグループ内の単位が互いにどの程度似ているかを説明します。これは相関の一種と見なされますが、他のほとんどの相関指標とは異なり、対になった観測値として構造化されたデータではなく、グループとして構造化されたデータに対して機能します。

クラス内相関は、一定の血縁度を持つ個人（例：実の兄弟）が量的形質に関して互いにどの程度似ているかを定量化するためによく使用されます（遺伝率を参照）。もう 1 つの重要な用途は、同じ量を異なる観察者が測定した場合の量的測定の一貫性または再現性の評価です。

クラス内相関に関する最も初期の研究は、対になった測定のケースに焦点を当てており、最初に提案されたクラス内相関 (ICC) 統計は、クラス間相関(ピアソン相関) の修正版でした。

N個のデータ値（x _{n ,1}、  x _{n ,2}）（n  = 1、...、N ）のペアからなるデータセットを考える。ロナルド・フィッシャー^[3]によって最初に提案されたクラス内相関rは^[2]である。

${\displaystyle r={\frac {1}{Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}}),}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{2N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}\right\}}.}$

この統計量のその後のバージョン^[3]では、 s ^2を 計算するための分母に自由度2 N −1を使用し、rを 計算するための分母に自由度N −1を使用したため、s ^2は不偏になり、sが既知 であればrは不偏になります。

この ICC とクラス間 (ピアソン) 相関の主な違いは、データがプールされて平均と分散が推定されることです。その理由は、クラス内相関が求められる設定では、ペアは順序付けられていないと見なされるためです。たとえば、双子の類似性を研究している場合、通常、双子ペア内の 2 人の値を順序付ける意味のある方法はありません。クラス間相関と同様に、ペア データのクラス内相関は、区間 [-1, +1] に限定されます。

クラス内相関は、2つ以上の値を持つグループを持つデータセットに対しても定義されます。3つの値からなるグループの場合、次のように定義されます^[3]

${\displaystyle r={\frac {1}{3Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}\left\{(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}})+(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})+(x_{n,2}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})\right\},}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{3N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}+x_{n,3}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{3N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,3}-{\bar {x}})^{2}\right\}}.}$

グループあたりの項目数が増えると、この式内の積の項の数も増えます。次の同等の形式は計算が簡単です。

${\displaystyle r={\frac {K}{K-1}}\cdot {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}}-{\frac {1}{K-1}},}$

ここで、Kはグループあたりのデータ値の数、n^番目のグループの標本平均です。^[3]この形式は通常、ハリスに起因します。^[4]左項は非負であるため、クラス内相関は次式を満たす必要があります。 ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$

${\displaystyle r\geq {\frac {-1}{K-1}}.}$

Kが大きい場合、このICCはほぼ

${\displaystyle {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}},}$

これは、グループ間の差異による総分散の割合として解釈できます。ロナルド・フィッシャーは、彼の古典的な著書「研究者のための統計的手法」の中で、クラス内相関に1章を割いています。^[3]

完全にノイズである母集団のデータの場合、フィッシャーの式は 0 を中心に分布する ICC 値、つまり負の値になることもあります。これは、フィッシャーが式を偏りのないように設計したためであり、そのため推定値は過大評価される場合もあれば、過小評価される場合もあります。母集団内の基礎値が小さいか 0 の場合、サンプルから計算された ICC は負の値になることがあります。

ロナルド・フィッシャーに始まり、クラス内相関は分散分析（ANOVA）の枠組みで検討され、最近ではランダム効果モデルの枠組みでも検討されています。多くのICC推定量が提案されています。推定量のほとんどはランダム効果モデルの観点から定義できます。

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{j}+\varepsilon _{ij},}$

ここで、Y _ijはj^番目のグループのi^番目の観測値、μは観測されていない全体平均、α _jはグループj内のすべての値に共通する観測されていないランダム効果、ε _{ij は}観測されていないノイズ項です。^[5]識別されるモデルでは、α _jとε _{ij は}期待値がゼロで、互いに相関がないと仮定されます。また、α _{j は}同一分布であると仮定され、ε _{ijは同一分布であると仮定されます。α j}の分散は σで表されます。²
_αε _ijの分散はσで表される。^2ε
_​。

この枠組みにおける人口ICCは^[6]

${\displaystyle {\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\alpha }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2}}}.}$

このフレームワークでは、ICC は同じグループからの 2 つの観測値の 相関関係です。

この ANOVA フレームワークの利点は、異なるグループが異なる数のデータ値を持つことができることです。これは、以前の ICC 統計では扱いにくいことです。この ICC は常に非負であるため、「グループ間」の総分散の割合として解釈できます。この ICC は共変量効果を考慮して一般化することができ、その場合、ICC は共変量調整されたデータ値のクラス内類似性を捉えていると解釈されます。^[8]

この式は負になることは決してありません (Fisher の元の式とは異なります)。そのため、ICC が 0 である母集団からのサンプルでは、​​サンプル内の ICC は母集団の ICC よりも高くなります。

これまでにさまざまなICC統計が提案されてきたが、それらはすべて同じ母数パラメータを推定するわけではない。同じデータに対して著しく異なる結果を生み出す可能性があるため、どのICC統計が特定の用途に適しているかについては、かなりの議論があった。^{[9] [10]}

代数形式の観点から見ると、フィッシャーの元の ICC は、ピアソンの相関係数に最も似ている ICC です。2 つの統計量の重要な違いの 1 つは、ICC ではデータがプールされた平均と標準偏差を使用して中心化およびスケーリングされるのに対し、ピアソンの相関では各変数が自身の平均と標準偏差によって中心化およびスケーリングされることです。ICC のこのプールされたスケーリングは、すべての測定値が同じ量であるため (異なるグループのユニットではありますが) 理にかなっています。たとえば、各「ペア」が 2 つのユニットのそれぞれに対して行われた単一の測定値 (一卵性双生児の各体重測定など) であるペア データ セットでは、1 つのユニットに対する 2 つの異なる測定値 (各個人の身長と体重の測定など) ではなく、ICC はピアソンの相関よりも自然な関連性の尺度です。

ピアソン相関の重要な特性は、比較する 2 つの変数に別々の線形変換を適用しても不変であることです。したがって、 XとYを相関させている場合(たとえば、Y  = 2 X + 1)、 XとY 間のピアソン相関は1 で、完全な相関です。この特性は ICC には当てはまりません。グループ内の各値にどの変換を適用するかを決定する基準がないためです。ただし、すべてのグループのすべてのデータに同じ線形変換を適用した場合、ICC は変化しません。

ICCは、複数の観察者が同じ量を測定した結果の一貫性、つまり適合性を評価するために使用されます。^[11] たとえば、数人の医師に癌の進行の兆候を調べるためにCTスキャンの結果を採点するよう依頼した場合、スコアが互いにどの程度一貫しているかを尋ねることができます。真実がわかっている場合（たとえば、CTスキャンがその後探索手術を受けた患者のものであった場合）、焦点は通常、医師のスコアが真実とどの程度一致しているかにあります。真実がわからない場合は、スコア間の類似性のみを検討できます。この問題の重要な側面は、観察者間変動と観察者内変動の両方があることです。観察者間変動とは、観察者間の体系的な違いを指します。たとえば、ある医師は、患者を他の医師よりも一貫して高いリスクレベルで採点する場合があります。観察者内変動とは、特定の患者に対する特定の観察者のスコアの、体系的な違いの一部ではない偏差を指します。

ICC は、交換可能な測定値、つまりグループ内の測定値を意味のある順序で並べる方法がないグループ化されたデータに適用するように構築されています。観察者間の適合性を評価する際に、同じ観察者が調査対象の各要素を評価すると、観察者間に系統的な差異が存在する可能性が高くなり、交換可能性の概念と矛盾します。系統的な差異が存在する状況で ICC を使用すると、結果は観察者内および観察者間の変動の複合的な測定値になります。交換可能性が妥当に保持されると推定される 1 つの状況は、採点対象の標本 (たとえば血液標本) が複数のアリコートに分割され、アリコートが同じ機器で別々に測定される場合です。この場合、サンプルの実行順序による影響が存在しない限り、交換可能性が保持されます。

クラス内相関係数は観察者内変動と観察者間変動の複合値を示すため、観察者が交換可能でない場合、その結果の解釈が難しいと考えられることがあります。交換不可能な観察者間の一致を測るより適切な指標として、コーエンのカッパ統計量、フライスのカッパ、一致相関係数^[12]などの代替指標が提案されています。

ICC はオープンソースソフトウェアパッケージRでサポートされています(psy または irr パッケージの関数「icc」を使用するか、psych パッケージの関数「ICC」を介して)。rptR パッケージ^[13]は、混合モデルフレームワークでガウス分布、二項分布、ポアソン分布データの ICC と再現性を推定する方法を提供します。特に、このパッケージでは調整済み ICC (つまり、他の変数を制御) の推定が可能で、パラメトリックブートストラップに基づく信頼区間と残差の順列に基づく有意性を計算します。市販のソフトウェアも ICC をサポートしており、たとえばStataやSPSS ^{[14]などがあります。}

3 つのモデルは次のとおりです。

• 一元配置ランダム効果: 各被験者はランダムに選択された k 人の評価者によって測定されます。
• 双方向ランダム: k 人の評価者がランダムに選択され、各被験者は同じ k 人の評価者セットによって測定されます。
• 双方向混合: k 人の固定評価者が定義されます。各被験者は k 人の評価者によって評価されます。

測定回数:

• 単一の測定: 実験では複数の測​​定が行われますが、信頼性は単一の評価者による単一の測定が実行される状況に適用されます。
• 平均測定: 信頼性は、各被験者について k 人の評価者の測定が平均化されるコンテキストに適用されます。

一貫性または絶対的な同意:

• 絶対的一致: 2 人の評価者間の一致が重要であり、両方の評価者の系統的誤差とランダム残差誤差が含まれます。
• 一貫性: 同じ評価者による繰り返し測定の場合、評価者の系統的誤差はキャンセルされ、ランダム残差誤差のみが保持されます。

一元配置ランダム効果モデルでは、評価者間分散と残差分散を分離する方法がないため、一貫性 ICC を推定することはできません。

単一測定ICCの3つのモデルの概要と再分析、およびそれらの使用のための代替レシピは、Liljequistら（2019）によっても発表されています。^[18]

Cicchetti（1994）^[19]は、カッパまたはICC評価者間合意尺度 の解釈に関して、よく引用される以下のガイドラインを示しています。

• 0.40 未満 - 不良。
• 0.40 ～ 0.59 の場合 — 良好。
• 0.60 ～ 0.74 であれば良好です。
• 0.75 ～ 1.00 の場合 — 優秀。

KooとLi（2016）は異なるガイドラインを示している：^[20]

• 0.50未満: 悪い
• 0.50～0.75: 中程度
• 0.75～0.90: 良好
• 0.90以上: 優秀

• 相関比
• デザイン効果
• 効果サイズ#イータ平方 (η2)

• クラス内相関係数の2つの指標の比較

• AgreeStat 360: クラウドベースの評価者間信頼性分析、Cohen のカッパ、Gwet の AC1/AC2、Krippendorff のアルファ、Brennan-Prediger、Fleiss の一般化カッパ、クラス内相関係数
• さまざまなタイプのICCを計算できる便利なオンラインツール