クラスターサンプリング

統計学において、クラスター サンプリングとは、統計的母集団において相互に同質でありながら内部的に異質なグループが見られる場合に用いられるサンプリング計画であり、マーケティング調査でよく使用されます。

このサンプリング計画では、全母集団がこれらのグループ (クラスターと呼ばれる) に分割され、グループの単純ランダム サンプルが選択されます。次に、各クラスターの要素がサンプリングされます。各サンプル クラスターのすべての要素がサンプリングされる場合、これは「1 段階」クラスター サンプリング計画と呼ばれます。各グループ内で要素の単純ランダム サブサンプルが選択される場合、これは「2 段階」クラスター サンプリング計画と呼ばれます。クラスター サンプリングの一般的な目的は、必要な精度を前提として、インタビューの総数とコストを削減することです。固定サンプル サイズの場合、母集団の変動のほとんどがグループ間ではなくグループ内に内部的に存在する場合、予想されるランダム エラーは小さくなります。

クラスター内の母集団は、理想的には可能な限り異質である必要がありますが、クラスター間には同質性が必要です。各クラスターは、全母集団の小規模な代表である必要があります。クラスターは相互に排他的で、集合的に網羅的である必要があります。次に、関連するクラスターに対してランダム サンプリング手法を使用して、調査に含めるクラスターを選択します。1 段階のクラスター サンプリングでは、選択した各クラスターのすべての要素がサンプリングされます。2 段階のクラスター サンプリングでは、選択した各クラスターの要素にランダム サンプリング手法が適用されます。

クラスター サンプリングと層別サンプリングの主な違いは、クラスター サンプリングではクラスターがサンプリング単位として扱われるため、サンプリングはクラスターの母集団に対して行われる (少なくとも最初の段階では) ことです。層別サンプリングでは、サンプリングは各層内の要素に対して行われます。層別サンプリングでは、各層からランダム サンプルが抽出されますが、クラスター サンプリングでは選択されたクラスターのみがサンプリングされます。クラスター サンプリングの一般的な目的は、サンプリングの効率性を高めることでコストを削減することです。これは、精度を高めることが目的である層別サンプリングとは対照的です。

クラスターから要素を選択する際に少なくとも 2 つの段階を踏む 多段階クラスター サンプリングもあります。

推定パラメータを変更せずに、クラスターがほぼ同じサイズであれば、クラスター サンプリングは偏りがありません。この場合、パラメータは選択されたすべてのクラスターを組み合わせて計算されます。クラスターのサイズが異なる場合は、いくつかのオプションがあります。

1 つの方法は、クラスターをサンプリングしてから、そのクラスター内のすべての要素を調査することです。もう 1 つの方法は、選択した各クラスター内から固定された割合のユニット (コストを考慮して 5% または 50% または別の数値) をサンプリングする 2 段階方式です。これらのオプションから抽出されたサンプルに頼ると、偏りのない推定値が得られます。ただし、サンプル サイズは事前に固定されなくなります。これにより、推定値の標準誤差の式がより複雑になり、調査計画の観点の問題も生じます (検出力分析とコスト推定は特定のサンプル サイズに関係することが多いため)。

3 つ目の解決策は、サイズに比例した確率のサンプリングを使用することです。このサンプリング計画では、クラスターを選択する確率はそのサイズに比例するため、大きなクラスターは小さなクラスターよりも選択される確率が高くなります。ここでの利点は、クラスターがサイズに比例した確率で選択される場合、サンプリングされた各クラスターで同じ数のインタビューが実行され、サンプリングされた各ユニットの選択確率が同じになることです。

クラスター サンプリングの例としては、エリア サンプリングまたは地理的クラスター サンプリングがあります。各クラスターは、エリア サンプリング フレーム内の地理的領域です。地理的に分散した集団を調査するには費用がかかる可能性があるため、ローカル エリア内の複数の回答者をクラスターにグループ化すると、単純なランダム サンプリングよりも経済的な結果が得られます。通常、推定値で同等の精度を達成するには、サンプル サイズ全体を増やす必要がありますが、コスト削減によってサンプル サイズを増やすことが実現可能になる場合があります。

人口調査を組織化するには、通常、最初のステップは、フィールドワーク組織のために全体の地理的領域を調査地域または国勢調査地区に分割することです。調査地域は、多くの種類の調査におけるクラスターサンプリングの第一段階の単位としても役立ちます。人口調査が古くなっている場合、個人リストを社会経済調査のサンプリングフレームとして直接使用しないでください。国勢調査全体を更新することは経済的に実行不可能です。良い代替案としては、都市郊外などの非常に動的な地域では一部の更新を行い、古い調査地域を維持し、サンプルの調査地域を選択し、選択した調査地域の個人または世帯のリストのみを更新することが考えられます。^[1]

クラスターサンプリングは、戦争、飢餓、自然災害などの場合に死亡率が低いことを推定するために使用されます。^[2]

個体群から魚の単純無作為標本を採取することはほぼ不可能であり、そのためには個体を個別に無作為に捕獲する必要がある。 ^{[3]これは、}漁具が魚をグループ（またはクラスター）で捕獲するためである。

商業漁業のサンプリングでは、海上での操業コストが大きすぎるため、漁獲物を個別にランダムに選択することができません。そのため、観察結果は船舶または漁獲行程ごとにさらに分類されます。

世界銀行は、非公式セクターが公式記録に記録されておらず、単純な無作為抽出法で調査するには費用がかかりすぎるため、適応型クラスター抽出法を適用して、開発途上国の非公式企業を費用効率よく調査してきました。^[4]このアプローチは、適応型クラスター抽出法を使用して運営されている非公式企業の母集団の推定値を生成し、第2段階でそれらの企業の特徴に関する無作為抽出を行うという2段階の抽出法に従います。

• 他のサンプリング プランよりも安価になる場合があります (例: 旅費や管理コストが少なくなります)。
• 実現可能性: このサンプリング計画では、大規模な集団を考慮に入れています。これらのグループは非常に小さいため、他のサンプリング計画を展開すると、非常にコストがかかります。
• 経済性: この方法では、通常の 2 つの主要な費用の懸念事項、つまり移動とリスト作成が大幅に削減されます。たとえば、都市内のすべての世帯に関する調査情報を収集するには非常にコストがかかりますが、都市のさまざまなブロックに関する情報を収集する方が経済的です。この場合、移動とリスト作成の労力が大幅に削減されます。
• 変動性の低減:クラスター内の被験者間でクラス内相関が負になるというまれなケースでは、クラスター サンプリングによって生成された推定値は、単純なランダム サンプルから取得されたデータよりも正確な推定値を生成します(つまり、設計効果が1 より大きくなります)。これは一般的なシナリオではありません。

主な用途: すべての要素のサンプリング フレームが利用できない場合は、クラスター サンプリングのみに頼ることができます。

• より高いサンプリング誤差。これは設計効果によって表現されます。設計効果とは、クラスター研究のサンプルから作成された推定値の分散と、同様に信頼性が高く、ランダムにサンプリングされたクラスター化されていない研究の被験者のサンプルから得られた推定値の分散の比率です。^{[5]クラスター内の被験者間のクラス}内相関が大きいほど、設計効果は悪くなります（つまり、1から大きくなるほど、推定値の分散の予想される増加が大きくなります）。言い換えると、クラスター間の異質性が高く、クラスター内の被験者間の同質性が高いほど、推定値の精度は低くなります。これは、このような場合、できるだけ多くのクラスターをサンプリングし、各クラスター内の被験者の小さなサンプルで間に合わせる方がよいためです（つまり、2段階クラスターサンプリング）。
• 複雑さ。クラスター サンプリングはより洗練されており、計画方法と分析方法 (つまり、パラメーター、信頼区間などの推定時に被験者の重みを考慮する) にさらに注意が必要です。

2 段階クラスターサンプリングは、多段階サンプリングの単純なケースであり、第 1 段階でクラスターサンプルを選択し、次にサンプリングされたすべてのクラスターから要素のサンプルを選択することにより得られます。合計N個のクラスターの母集団を考えます。第 1 段階では、通常のクラスターサンプリング方法を使用してn個のクラスターが選択されます。第 2 段階では、通常、単純ランダムサンプリングが使用されます。 ^[6]これはすべてのクラスターで個別に使用され、異なるクラスターから選択される要素の数は必ずしも等しくありません。クラスターの合計数N、選択されたクラスターの数n、および選択されたクラスターからの要素の数は、調査設計者が事前に決定する必要があります。2 段階クラスターサンプリングは、調査コストを最小限に抑えると同時に、関心のある推定値に関連する不確実性を制御することを目的としています。^[7]この方法は、健康科学や社会科学で使用できます。たとえば、研究者は 2 段階クラスターサンプリングを使用して、死亡率調査を実施するイラク人口の代表的なサンプルを生成しました。^[8]この方法でのサンプリングは他の方法よりも速く、信頼性も高いため、現在ではこの方法が頻繁に使用されています。

クラスターサンプリング法は、少数のクラスターを扱う場合、大きな偏りにつながる可能性があります。たとえば、州や都市レベルでクラスター化する必要がある場合がありますが、これらの単位は小さく、数が固定されている可能性があります。パネルデータのミクロ計量経済学の手法では、短いパネルが使用されることが多く、これはクラスターあたりの観測値が少なく、クラスターの数が多いことに似ています。小さなクラスターの問題は、付随的なパラメータの問題と見なすことができます。^[9]点推定値は十分に正確に推定できますが、クラスターあたりの観測値が十分に多い場合は、漸近線が機能するためにクラスターの数が必要です。クラスターの数が少ない場合、推定された共分散行列は下方に偏る可能性があります。^[10]${\displaystyle G\rightarrow \infty }$

クラスター数が少ないと、シリアル相関がある場合や、モールトンのコンテキストのようにクラス内相関がある場合にリスクがあります。クラスター数が少ないと、ランダムショックが発生したときに観測間のシリアル相関を過小評価したり、モールトン設定でクラス内相関を過小評価したりする傾向があります。^[11]いくつかの研究では、シリアル相関の結果と小規模クラスターの問題が強調されています。^{[12] [13]}

モールトン因子の枠組みでは、小規模クラスターの問題をモールトン因子の式から直感的に説明できます。簡単にするために、クラスターあたりの観測数はnに固定されていると仮定します。以下では、 はクラスタリングに合わせて調整された共分散行列、はクラスタリングに合わせて調整されていない共分散行列、 ρ はクラス内相関を表します。 ${\displaystyle V_{c}(\beta )}$${\displaystyle V(\beta )}$

${\displaystyle {\frac {V_{c}({\hat {\beta }})}{V({\hat {\beta }})}}=1+(n-1)\rho }$

左側の比率は、調整されていないシナリオが精度をどれだけ過大評価しているかを示しています。したがって、数値が高いということは、推定された共分散行列の強い下方バイアスを意味します。小さなクラスターの問題は、nが大きいと解釈できます。データが固定されていてクラスターの数が少ない場合、クラスター内のデータ数は多くなる可能性があります。したがって、クラスターの数が少ない場合、推論は正しいカバレッジを持たないことになります。^[11]

小規模クラスター問題に対する解決策はいくつか提案されている。バイアス補正されたクラスターロバスト分散行列を使用したり、T分布調整を行ったり、パーセンタイルtやワイルドブートストラップなどの漸近的改良を加えたブートストラップ法を使用したりすることで、有限サンプル推論を改善できる。^[10] Cameron、Gelbach、Miller（2008）はさまざまな方法のマイクロシミュレーションを提供し、少数のクラスターに対してワイルドブートストラップがうまく機能することを発見した。^[14]

• 多段階サンプリング
• サンプリング（統計）
• 単純ランダムサンプリング
• 層別抽出法