逆確率重み付け

逆確率加重は、データが収集された母集団以外の母集団に関連する量を推定する統計的手法です。異なるサンプリング母集団と目標推論の母集団（目標母集団）を持つ研究デザインが一般的に適用されています。^[1]コスト、時間、倫理的懸念など、研究者が目標母集団から直接サンプリングすることを妨げる要因がある場合があります。^{[2]この問題の解決策は、}層別サンプリングなどの代替設計戦略を使用することです。加重は、正しく適用された場合、効率を向上させ、加重されていない推定値のバイアスを減らす可能性があります。

非常に初期の加重推定量の一つは、平均値のHorvitz–Thompson 推定量です。 ^[3]標本抽出母集団が対象母集団から抽出される標本抽出確率がわかっている場合、この確率の逆数が観測値の重み付けに使用されます。このアプローチは、さまざまなフレームワークの下で統計の多くの側面に一般化されています。特に、統計の大部分は加重尤度、加重推定方程式、加重確率密度から導出されています。これらの応用により、周辺構造モデル、標準化死亡比、粗大化または集計データに対するEM アルゴリズムなど、他の統計や推定量の理論が体系化されました。

逆確率加重は、欠損データのある被験者を一次分析に含めることができない場合に、欠損データを考慮するためにも使用されます。^{[4]サンプリング確率、つまり因子が別の測定で測定される確率を推定することで、逆確率加重を使用して、}欠損データ の程度が大きいために代表性が低い被験者の重みを高めることができます。

逆確率重み付け推定量は、研究者が制御された実験を実施できないが、モデル化するための観察データがある場合に因果関係を証明するために使用できます。治療はランダムに割り当てられていないと想定されるため、目標は、母集団のすべての被験者にいずれかの治療が割り当てられた場合の反事実的または潜在的な結果を推定することです。

観測データが未知の分布Pから iid（独立かつ同一分布）に抽出されたと仮定する。ここで${\displaystyle \{{\bigl (}X_{i},A_{i},Y_{i}{\bigr )}\}_{i=1}^{n}}$

• ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p}}$共変量
• ${\displaystyle A\in \{0,1\}}$2つの治療法が考えられます。
• ${\displaystyle Y\in \mathbb {R} }$応答
• 治療がランダムに割り当てられるとは想定していません。

目標は、被験者に治療 が割り当てられた場合、観察される潜在的な結果 を推定することです。次に、母集団のすべての患者にいずれかの治療 が割り当てられた場合の平均結果を比較します。観測データ を使用してを推定します。 ${\displaystyle Y^{*}{\bigl (}a{\bigr )}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mu_{a}=\mathbb{E}Y^{*}(a)}$${\displaystyle \mu_{a}}$${\displaystyle \{{\bigl (}X_{i},A_{i},Y_{i}{\bigr )}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle {\hat {\mu}}_{a,n}^{IPWE}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}{\frac {\mathbf {1} _{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$

1. ${\displaystyle \mu _{a}=\mathbb {E} \left[{\frac {\mathbf {1} _{A=a}Y}{p(A|X)}}\right]}$ どこ${\displaystyle p(a|x)={\frac {P(A=a,X=x)}{P(X=x)}}}$
2. 傾向モデル（多くの場合ロジスティック回帰モデル）を構築または使用する${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(a|x)}$${\displaystyle p(a|x)}$
3. ${\displaystyle {\hat {\mu}}_{a,n}^{IPWE}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}1_{A_{i}=a}}{n{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$

各治療グループの平均を計算し、統計的 t 検定または ANOVA 検定を使用してグループ平均間の差を判断し、治療効果の統計的有意性を決定できます。

共変量、アクション、レスポンスの結合確率モデルを思い出してください。と がそれぞれととして知られている場合、レスポンスは分布を持ちます。 ${\displaystyle (X,A,Y)\sim P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Y(X=x,A=a)=Y(x,a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y(x,a)\sim {\frac {P(x,a,\cdot )}{\int P(x,a,y)\,dy}}.\end{aligned}}}$

我々は以下の仮定を立てます。

• （A1）一貫性：${\displaystyle Y=Y^{*}(A)}$
• （A2）測定されていない交絡因子はありません。 より正式には、各境界付き測定可能な関数およびについて、これは治療の割り当てが共変量データのみに基づいており、潜在的な結果とは無関係であることを意味します。${\displaystyle \{Y^{*}(0),Y^{*}(1)\}\perp A|X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \mathbb {E} _{(A,Y)}\left[f(Y(X,a))\,g(A)\,|\,X\right]=\mathbb {E} _{Y}\left[f(Y(X,a))\,|\,X\right]\,\mathbb {E} _{A}\left[g(A)\,|\,X\right].\end{aligned}}}$$
• （A3）陽性：すべておよびに対して。${\displaystyle P(A=a|X=x)=\mathbb {E} _{A}[\mathbf {1} (A=a)\,|\,X=x]>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

仮定（A1）-（A3）の下で、次の等式を導出します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[Y^{*}(a)\right]=\mathbb {E} _{(X,Y)}\left[Y(X,a)\right]=\mathbb {E} _{(X,A,Y)}\left[{\frac {Y\mathbf {1} (A=a)}{P(A=a|X)}}\right].\qquad \cdots \cdots (*)\end{aligned}}}$

最初の等式は定義と（A1）から導かれます。2番目の等式については、まず反復期待値を使用して次のように書きます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{(X,Y)}\left[Y(X,a)\right]=\mathbb {E} _{X}\left[\mathbb {E} _{Y}\left[Y(X,a)\,|\,X\right]\right].\end{aligned}}}$

（A3）によれば、ほぼ確実である。次に（A2）を用いると、 ${\displaystyle \mathbb {E} _{A}[\mathbf {1} (A=a)\,|\,X]>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{Y}\left[Y(X,a)\,|\,X\right]&={\frac {\mathbb {E} _{Y}\left[Y(X,a)\,|\,X\right]\,\mathbb {E} _{A}[\mathbf {1} (A=a)\,|\,X]}{\mathbb {E} _{A}[\mathbf {1} (A=a)\,|\,X]}}\\&={\frac {\mathbb {E} _{(A,Y)}\left[Y(X,a)\mathbf {1} (A=a)\,|\,X\right]}{\mathbb {E} [\mathbf {1} (A=a)\,|\,X]}}\qquad \cdots \cdots (A2)\\&=\mathbb {E} _{(A,Y)}\left[{\frac {Y(X,a)\mathbf {1} (A=a)}{\mathbb {E} [\mathbf {1} (A=a)\,|\,X]}}\,{\bigg |}\,X\right].\qquad \cdots \cdots ({\text{denominator is a function of X}})\end{aligned}}}$

したがって、最後の式を について積分し、の 2 番目の等式がほぼ確実に得られることに留意してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y(X,a)\mathbf {1} (A=a)=Y(X,A)\mathbf {1} (A=a)=Y\,\mathbf {1} (A=a)}$${\displaystyle (*)}$

逆確率加重推定量（IPWE）は、推定された傾向の一部が0または1に近すぎる場合、不安定になることが知られています。このような場合、IPWEは大きな重みを持つ少数の被験者によって支配される可能性があります。この問題に対処するために、ラオブラックウェル化を使用した平滑化IPW推定量が提案されており、これによりIPWEの分散が最大7倍削減され、推定量がモデルの誤指定から保護されます。^[5]

代替推定法として、回帰ベースの推定法と逆確率加重推定法の両方の特性を組み合わせた拡張逆確率加重推定法 (AIPWE) があります。この方法は、傾向モデルまたは結果モデルのいずれかが正しく指定されていればよく、両方を指定する必要がないため、「二重に堅牢な」方法です。この方法は、IPWE を拡張して変動性を減らし、推定効率を向上させます。このモデルは、逆確率加重推定法 (IPWE) と同じ仮定に基づいています。^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\frac {Y_{i}1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}-{\frac {1_{A_{i}=a}-{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}Y_{i}+(1-{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}){\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\Biggl (}Y_{i}-{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}\end{aligned}}}$

以下の表記を使用します。

1. ${\displaystyle 1_{A_{i}=a}}$被験者 i が治療グループ a の一部であるかどうかを示す指標関数です(またはそうではありません)。
2. ある被験者 i について、共変量と治療に基づいて結果を予測するための回帰推定量を構築します。たとえば、通常の最小二乗回帰を使用します。${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(x,a)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
3. 傾向（確率）推定を構築します。たとえば、ロジスティック回帰を使用します。${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$
4. AIPWEで組み合わせて取得${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a,n}^{AIPWE}}$

後の式の並べ替えにより、基本的な考え方が明らかになります。つまり、推定量はモデルを使用して予測される平均結果に基づいています (つまり、)。ただし、モデルに偏りがある場合、モデルの残差は (完全な治療グループ a で) 0 付近にはなりません。この潜在的な偏りを修正するには、結果の真の値 (Y) (つまり、 ) からモデルの平均残差 (Q) という余分な項を追加します。Y の欠損値があるため、各残差の相対的な重要性を高めるために重み付けを行います (これらの重みは、各被験者の観察結果を見る逆傾向、つまり確率に基づいています) ( ^[7]の 10 ページを参照)。 ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\Biggl (}{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1_{A_{i}=a}}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}{\Biggl (}Y_{i}-{\hat {Q}}_{n}(X_{i},a){\Biggr )}}$

このような推定量の「二重に堅牢な」利点は、推定量が偏りのない（または、あるいはその両方）ためには、2 つのモデルのうち 1 つが正しく指定されていれば十分であるという事実から生まれます。これは、結果モデルが適切に指定されていれば、その残差は 0 付近になるからです（各残差が得る重みに関係なく）。一方、モデルが偏りがあっても重み付けモデルが適切に指定されていれば、重み付け平均残差によって偏りが適切に推定（および補正）されます。^{[7] [8] [9]}${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(X_{i},a)}$${\displaystyle {\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}$

二重ロバスト推定量のバイアスは2次バイアスと呼ばれ、差と差の積に依存します。この特性により、「十分に大きい」サンプルサイズがある場合、機械学習推定量（パラメトリックモデルの代わりに）を使用することで、二重ロバスト推定量の全体的なバイアスを下げることができます。 ^[10]${\displaystyle {\frac {1}{{\hat {p}}_{n}(A_{i}|X_{i})}}-{\frac {1}{{p}_{n}(A_{i}|X_{i})}}}$${\displaystyle {\hat {Q}}_{n}(X_{i},a)-Q_{n}(X_{i},a)}$

• 傾向スコアマッチング