Loading article…
数学やコンピュータサイエンスにおいて、数学的対象の正準形式、標準形式、または標準形式とは、その対象を数式として表現する標準的な方法のことです。多くの場合、それは対象を最も単純に表現し、一意に識別できるようにする形式です。「正準形式」と「標準形式」の区別は、分野によって異なります。ほとんどの分野では、正準形式はすべての対象に対して一意の表現を指定しますが、標準形式は一意性を要求することなく、単にその形式を指定します。[ 1 ]
10進数表現における正の整数の標準形とは、ゼロで始まらない有限個の数字列のことである。より一般的には、同値関係が定義されている対象のクラスに対して、標準形とは、各クラスから特定の対象を選択することである。例えば、次のようになる。
コンピュータ科学、特にコンピュータ代数では、コンピュータで数学的対象を表現する場合、同じ対象を表現する方法が多数存在します。この文脈では、標準形とは、すべての対象が一意の表現を持つような表現のことです（標準化とは、表現を標準形に変換するプロセスです）。[ 2 ]したがって、2 つの対象が等しいかどうかは、それらの標準形の等価性をテストすることで簡単にテストできます。
この利点にもかかわらず、標準形は（変数の順序付けなど）恣意的な選択に依存することが多く、独立した計算結果となる2つのオブジェクトの等価性をテストする際に困難が生じます。そのため、数式処理においては、標準形はより弱い概念となります。標準形とは、ゼロが一意に表現されるような表現のことです。これにより、2つのオブジェクトの差を標準形にすることで等価性をテストできます。
標準形とは、自然な（標準的な）方法で定義された微分形式を意味することもある。
同値関係Rを持つ対象の集合Sが与えられたとき、Sのいくつかの対象を「標準形」であると指定することで、標準形が与えられます。これにより、検討対象のすべての対象は、標準形にあるちょうど1つの対象と等価になります。言い換えれば、Sの標準形は、同値類を一度だけ表します。2つの対象が等価かどうかを判定するには、それらの標準形上で等価性を判定すれば十分です。このように、標準形は分類定理を提供するだけでなく、すべてのクラスを分類するだけでなく、クラス内の各対象に対して明確な（標準的な）代表を与えるという、それ以上の役割を果たします。
形式的には、集合S上の同値関係Rに関する正規化とは、すべてのs , s 1 , s 2 ∈ Sに対して次の写像c : S → Sである。
性質3は冗長である。性質2を性質1に適用することで導かれる。
実務上、標準形を認識できることはしばしば有利です。また、アルゴリズム上の実務上の問題として、S内の与えられたオブジェクトsからその標準形s * へどのように変換するかという問題もあります。標準形は一般的に、同値類の操作をより効率的にするために用いられます。例えば、モジュラー算術では、剰余類の標準形は通常、その剰余類の中で最小の非負整数として取られます。クラスに対する演算は、これらの代表元を結合し、その結果を最小の非負剰余に還元することによって行われます。一意性の要件は、より細かい同値関係まで形式が一意であることを許容する場合もあります。例えば、項の自然な順序付けがない場合、項の並べ替えを許容するなどです。
標準形は、単なる慣習である場合もあれば、深い定理である場合もある。例えば、多項式は慣習的に項を降べきの順に並べて表記される。x² + x + 30 と書く方が、x + 30 + x² と書くよりも一般的だが、どちらの形式も同じ多項式を表している。対照的に、行列のジョルダン標準形の存在は深い定理である。
OEDとLSJによると、 canonicalという用語は、古代ギリシャ語のkanonikós（κανονικός、「規則的な、規則に従った」）から派生したもので、 kanṓn（κᾰνών 、「棒、規則」）に由来する。規範、標準、または原型という意味は、多くの分野で使用されてきた。数学での使用例は、1738年のローガンの手紙に見られる。[ 3 ]ドイツ語のkanonische Formは、1846年のアイゼンシュタインの論文に見られる。[ 4 ]同年後半、リシュロは論文でNormalformという用語を使用し、 [ 5 ] 1851年にはシルベスターが次のように書いている。[ 6 ]
「それでは、代数関数を最も単純で対称的な形式、あるいは私の尊敬する友人であるエルミート氏が適切に提案しているように、正準形式に還元する方法について述べていきます。」
同じ時期に、ヘッセ(「正規形」)、[ 7 ]エルミート(「正規形」)、[ 8 ]ボルハルト(「正規形」)、[ 9 ]およびケイリー(「正規形」) によって使用が証明されています。[ 10 ]
1865年、『科学・文学・芸術辞典』は、正典形式を次のように定義している。
「数学において、 は、一般性を失うことなく、同じクラスのすべての関数を還元できる形式、通常は最も単純な形式または最も対称的な形式を指す。」
注: このセクションでは、「ある同値関係 Eまで」とは、一般に標準形が一意ではないが、1 つのオブジェクトが 2 つの異なる標準形を持つ場合、それらは E と同値であることを意味します。
標準形式は、非常に大きな数を簡潔かつ分かりやすい方法で記述するために多くの数学者や科学者によって使用されており、その中でも最も有名なのが科学的記数法である。[ 11 ]
解析幾何学において：
対照的に、方程式を表すには別の形式もあります。例えば、直線の式は、点傾き形式や傾き切片形式の線形方程式として表すことができます。
凸多面体は、次のような標準形に変換できます。
すべての微分可能多様体は余接束を持つ。この余接束には、正準1形式と呼ばれる特定の微分形式を常に付与することができる。この形式によって余接束はシンプレクティック多様体の構造を持ち、多様体上のベクトル場をオイラー・ラグランジュ方程式またはハミルトン力学によって積分することができる。このような積分可能な微分方程式系は、積分可能系と呼ばれる。
ある式をある形式から別の形式へ記号的に操作することを、その式の「書き換え」と呼びます。一般的な式の書き換えの抽象的な性質は、式を有効に操作するための規則の集合を研究することによって調べることができます。これらは「書き換え規則」であり、抽象的な書き換えシステムの不可欠な部分です。よくある質問は、一般的な式を単一の共通形式、つまり正規形に変換できるかどうかです。異なる書き換えのシーケンスが同じ形式になる場合、その形式を正規形と呼び、書き換えを合流式と呼びます。正規形を常に得られるとは限りません。
グラフ理論は数学の一分野であり、グラフの正準化とは、与えられたグラフGの正準形式を見つける問題です。正準形式とは、 Gと同型なラベル付きグラフCanon( G )であり、 Gと同型なすべてのグラフはGと同じ正準形式を持ちます。したがって、グラフの正準化問題の解から、グラフの同型性の問題も解くことができます。2 つのグラフGとH が同型であるかどうかをテストするには、それらの正準形式 Canon( G ) と Canon( H ) を計算し、これら 2 つの正準形式が同一であるかどうかをテストします。
コンピューティングにおいて、データを何らかの正規形式に変換することは、一般的にデータ正規化と呼ばれます。
例えば、データベース正規化とは、冗長性と依存性を最小限に抑えるために、リレーショナルデータベースのフィールドとテーブルを整理するプロセスである。[ 13 ]
ソフトウェアセキュリティの分野では、悪意のある入力がチェックされないまま放置されることが一般的な脆弱性です（コードインジェクションを参照）。この問題の対策は、適切な入力検証を行うことです。入力検証を行う前に、通常はエンコード（HTMLエンコードなど）を削除し、入力データを単一の共通文字セットにすることで、入力を正規化します。
信号処理（音声や画像処理を含む）や機械学習に関連するその他の形式のデータは、値の範囲を限定するために正規化されることがある。
コンテンツ管理においては、データベースの正規化全般やソフトウェア開発と同様に、単一の情報源（SSOT）という概念が適用可能です。優れたコンテンツ管理システムは、トランスクルージョンなどの論理的な方法でSSOTを取得できます。
{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）