ドント法

ドント方式^{[ a ]}は、ジェファーソン方式または最大除数方式とも呼ばれ、連邦州間の議会の議席配分、または政党間の比例代表制における議席配分方法である。これは最高平均方式のクラスに属する。理想的な比例代表制と比較すると、ドント方式は、選挙区の規模が小さい場合、政治的分断をいくらか軽減し^{[ 1 ]} 、小政党よりも大政党を優遇する^{[ 2 ] 。}

この方法は、1792年にアメリカ合衆国国務長官、後に大統領となるトーマス・ジェファーソンによって初めて記述された。その後、1878年にベルギーの弁護士ヴィクトル・ドントによって独自に再発明されたため、2つの異なる名称が存在する。

比例代表制は、政党に得票数にほぼ比例して議席を割り当てることを目的としています。たとえば、ある政党が3分の1の票を獲得した場合、議席の約3分の1を獲得するはずです。一般に、このような分割によって議席数が小数になるため、正確な比例は不可能です。その結果、ドント方式を含むいくつかの方法が考案され、政党の議席配分が整数値となり、可能な限り比例するようにしています。^{[ 3 ]} これらの方法はすべて比例に近似しますが、それぞれ異なる種類の不均衡を最小化することによってそうしています。ドント方式は、最大の議席対得票比率を最小化します。^{[ 4 ]}不均衡の他のより一般的な概念に基づく実証研究は、ドント方式が比例代表制の方法の中で最も比例性が低いものの1つであることを示しています。ドント方式は、戦略的投票により、小政党よりも大政党や連立政党を優遇します。^{[ 5 ] [ 2 ] [ 6 ] [ 7 ]}それに対し、サント＝ラゲ方式は、大政党への不均衡な偏りを軽減し、一般的に、異なる規模の政党間で議席と得票数の比率がより均等になる。^{[ 5 ]}

ドント方式の公理的性質が研究され、ドント方式は連立を促すことで政治的分断を減らす一貫性のある単調な方法であることが証明された。 ^{[ 1 ] [ 8 ]}同数の票を獲得した政党を平等に扱う場合、その方法は一貫性があると言える。単調性とは、議会の規模が拡大しても、どの州や政党にも与えられる議席数が減少しないことを意味する。

すべての投票が集計された後、各政党の連続商が計算されます。商が最も大きい政党が1議席を獲得し、その商が再計算されます。必要な議席数が埋まるまで、これが繰り返されます。商の式は次のとおりです。^{[ 9 ] [ 3 ]}

$${\displaystyle {\text{quot}}={\frac {V}{s+1}}}$$

どこ：

• Vは政党が獲得した総票数であり、
• sは、その政党にこれまでに割り当てられた議席数であり、当初はすべての政党でゼロである。

選挙区で各政党に投じられた総票数は、まず1で割り、次に2で割り、次に3で割り、選挙区または選挙区に割り当てられる総議席数まで割ります。政党がp個、議席数がs個あるとします。すると、 p行s列の数字のグリッドが作成され、i行j列のエントリは、i番目の政党が獲得した票数をjで割った値になります。s個の当選エントリは、グリッド全体でs個の最も高い数値です。各政党には、その行の当選エントリの数と同じ数の議席が割り当てられます。

あるいは、この手順を逆にする方法として、まず各政党に「多すぎる議席」を割り当てる下院議席配分を行い、次に最も過剰に議席を占めている政党から議員を一人ずつ削除していくという方法もある。

この例では、23万人の有権者が4つの政党間で8議席の配分を決定します。8議席が割り当てられるため、各政党の総得票数は1で割り、次に2、3、4で割ります（必要に応じて5、6、7などで割ります）。上位8つの項目（太字で表示）は10万から2万5千までの範囲です。それぞれの項目に対応する政党が1議席を獲得します。第1ラウンドでは、表に示されている商は、計算式から導き出されたものであり、投票用紙に記入された票数と正確に一致することに注意してください。

この例では、政党B、C、Dが政党Aに対抗する連立政権を結成しましたが、連立政権が政党Aより3万票多く獲得したため、政党Aは4議席ではなく3議席を獲得しました。

下の図は、計算方法を簡単に示しています。各政党の得票数を、連続する列で1、2、3、または4で割り、その結果から上位8つの値を選択します。各行の上位値の数が、獲得議席数となります。

比較のために、「真の比率」の列には、獲得票数に比例して計算された、議席の正確な分数が表示されています。（例：100,000/230,000 × 8 = 3.48）最大政党が最小政党よりもわずかに優遇されていることが明らかです。    

ドント法は、すべての政党の中で最大の議席対得票率を最小化することによって比例性を近似する。^{[ 12 ]}

この比率は、優位性比率とも呼ばれる。一方、平均議席数対投票数比率は、ウェブスター／サント＝ラゲ法によって最適化される。

パーティー用${\displaystyle p\in \{1,\dots ,P\}}$、 どこ${\displaystyle P}$はパーティの総数であり、優位比率は

$${\displaystyle a_{p}={\frac {s_{p}}{v_{p}}},}$$

どこ

• ${\displaystyle s_{p}}$– 政党の議席シェア${\displaystyle p}$、${\displaystyle s_{p}\in [0,1],\;\sum _{p}s_{p}=1}$、
• ${\displaystyle v_{p}}$– 政党の得票率${\displaystyle p}$、${\displaystyle v_{p}\in [0,1],\;\sum _{p}v_{p}=1}$。

最大の優位性比率、

$${\displaystyle \delta =\max _{p}a_{p},}$$

過剰に代表されている政党が、最も過剰に代表されている政党であることを捉えている。

ドント方式では、この比率が可能な限り最小値になるように座席を割り当てます。

$${\displaystyle \delta ^{*}=\min _{\mathbf {s} \in {\mathcal {S}}}\max _{p}a_{p},}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {s} =\{s_{1},\dots ,s_{P}\}}$これは、許可されているすべての座席割り当てのセットからの座席割り当てです。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$このおかげで、Juraj Medzihorsky ^{[ 4 ]}が示し​​たように、ドント法は投票を比例的に代表される投票と残余投票に分割します。残余投票の全体的な割合は

$${\displaystyle \pi ^{*}=1-{\frac {1}{\delta ^{*}}}.}$$

パーティpの残差は

$${\displaystyle r_{p}=v_{p}-(1-\pi ^{*})s_{p},\;r_{p}\in [0,v_{p}],\sum _{p}\,r_{p}=\pi ^{*}.}$$

例として、上記の4つの政党の例を続けて説明します。4つの政党の優位性比率は、Aが1.2、Bが1.1、Cが1、Dが0です。最大の優位性比率の逆数は1/1.15 = 0.87 = 1 − π ^*です。総投票数に対する残余票の割合は、Aが0%、Bが2.2%、Cが2.2%、Dが8.7%です。それらの合計は13%、つまり1 − 0.87 = 0.13です。投票を代表票と残余票に分解したものが下の表に示されています。

ジェファーソン法とドント法は同等である。常に同じ結果が得られるが、計算結果の提示方法が異なる。

この方法は、1792年に米国国務長官で後の大統領となるトーマス・ジェファーソンが、最初の米国国勢調査に基づく米国下院の議席配分に関するジョージ・ワシントンへの手紙の中で初めて説明されました。^{[ 1 ]}

代表者については、余りや分数なしに正確に割り切れるような共通の比率や除数は存在しません。したがって、代表者は、最も近い比率で割り切れるように分割する必要があり、分数は無視しなければならないと答えます。

ワシントンは、北部諸州の議席数を増やす下院議席配分の新案を導入する法案に対し、初めて拒否権を行使した。^{[ 13 ]}拒否権行使から10日後、議会は後にジェファーソン方式として知られる新たな議席配分方式を可決した。この方式は、 1842年まで各州への下院議席の比例配分を実現するために使用された。^{[ 14 ]}

また、ヨーロッパでも 1878 年にベルギーの数学者ヴィクトル ドントによって独自に発明されました。彼は1882 年にブリュッセルで出版された著書『Système pratique et raisonné de représentation proportnelle 』の中で次のように書いています。

複数の数値に個別の要素を比例配分するには、これらの数値を共通の除数で割り、その合計が配分対象の要素の数に等しくなるような商を求める必要がある。

この制度は、人口に基づいて州に議席を配分する場合と、選挙結果に基づいて政党に議席を配分する場合の両方に利用できる。これらの作業は数学的に等価であり、州を政党に、人口を投票数に置き換えるだけである。一部の国では、ジェファーソン制度は、それを導入した地元の政治家や専門家の名前で知られている。例えば、イスラエルではバデル＝オファー制度として知られている。

ジェファーソン方式では、最大剰余法と同様に、割当数（除数と呼ばれる）を使用します。除数は、結果として得られる商が、小数部分の剰余を無視して、必要な合計値になるように必要に応じて選択されます。つまり、剰余を調べる必要がないような数を選択します。割当数の範囲内の任意の数でこれを実現できます。範囲内の最大値は、常にドント方式で議席を割り当てる際に使用される最小値と同じであり（ジェファーソン方式ではなくドント方式が使用される場合）、範囲内の最小値は、ドント方式の計算で議席を割り当てる次の数よりも大きい最小の数になります。

上記の政党名簿の例に当てはめると、この範囲は整数で20,001から25,000までとなります。より正確には、20,000 < n ≤ 25,000を満たす任意の数nを使用できます。

ドント方式は、より大きな政党に多くの議席を割り当てることで、政治的分断を軽減する。この効果は選挙区の規模が小さい場合に最も顕著であり、全国的な名簿に基づいて選出される多数の議員で構成される議会においては、ある比例代表制方式を採用するか別の方式を採用するかによる影響はごくわずかである。

政治的分断を減らすための別のアプローチは選挙閾値であり、その閾値に達しないリストには、本来であれば議席を獲得するのに十分な票を獲得していたとしても、議席は割り当てられません。閾値を用いたドント方式を採用している国の例としては、アルバニア（単独政党の場合は3%、2つ以上の政党の連立の場合は5%、無所属の場合は1%）、デンマーク（2%）、東ティモール、スペイン、セルビア、モンテネグロ（3%）、イスラエル（3.25%）、スロベニアとブルガリア（4%）、クロアチア、フィジー、ルーマニア、ロシア、タンザニア（5%）、トルコ（7%）、ポーランド（5%、または連立の場合は8%。ただし少数民族政党には適用されない）^{[ 15 ]} 、ハンガリー（単独政党の場合は5%、2党連立の場合は10%、3つ以上の政党の連立の場合は15%）、ベルギー（地域ベースで5%）などがあります。オランダでは、政党は厳密に比例した議席を1つ獲得するのに十分な票を獲得しなければなりません（これは通常のドント方式では必要ないことに注意）。下院の150議席では、実質的な閾値は0.67%になります。エストニアでは、選挙区で単純な割当数を獲得した候補者は当選したとみなされますが、第2ラウンド（地区レベル）と第3ラウンド（全国、修正ドント方式）の集計では、全国で5%以上の票を獲得した候補者リストにのみ議席が与えられます。この投票閾値は議席配分のプロセスを簡素化し、少数の票しか獲得できない可能性のある政党が選挙に参加することを抑制します。当然ながら、投票閾値が高いほど、議会で代表される政党の数は少なくなります。^{[ 16 ]}

この方法は自然な閾値を生み出す可能性がある。^{[ 17 ] [ 18 ]}これはドント方式で割り当てられる議席数に依存する。フィンランドの議会選挙では公式の閾値はないが、実質的な閾値は1議席獲得である。国は代表者の数が異なる選挙区に分割されているため、各選挙区で異なる自然な閾値が存在する。代表者33人の最大の選挙区であるウーシマーの自然な閾値は3%であり、代表者6人の最小の選挙区である南サヴォの自然な閾値は14%である。^{[ 19 ]}これは小さな選挙区では大政党に有利である。クロアチアでは、政党と連立政党の公式の閾値は5%である。しかし、国はそれぞれ14人の選出された代表者を持つ10の投票区に分割されているため、「落選リスト」（少なくとも5%を獲得しなかったリスト）の票数に応じて閾値が高くなることがある。この方法で多くの票が失われた場合、5%を獲得したリストでも議席を獲得できますが、閾値を超えない政党への票が少ない場合、実際の（「自然な」）閾値は7.15%に近くなります。一部のシステムでは、閾値を超えるために政党がリストをまとめて単一の「カルテル」にすることができますが、一部のシステムでは、そのようなカルテルに対して別の閾値が設定されています。小政党は、選挙閾値を超えて連立政権を樹立するために、選挙前に連立を組むことがよくあります。オランダでは、カルテル（リスト結合）（2017年に廃止されるまで）は閾値を超えるために使用できませんでしたが、残りの議席の配分に影響を与えます。したがって、小政党はカルテルを使用して、大政党に近い機会を得ることができます。

フランスの市町村選挙および地方選挙では、ドント方式を用いて議席数を割り当てますが、一定の割合（市町村選挙では50%、地方選挙では25%）が自動的に最多得票リストに割り当てられ、そのリストが実質的な過半数を確保できるようにします。これは「多数決ボーナス」（prime à la majorité）と呼ばれ、残りの議席のみが比例配分されます（すでに多数決ボーナスを受け取ったリストにも）。イタリアの地方選挙でも同様のシステムが採用されており、選出された市長と関係のある政党または政党連合が自動的に議席の60%を獲得しますが、フランスのモデルとは異なり、残りの議席が再び最大政党に分配されることはありません。

In some cases such as the Czech regional elections, the first divisor (when the party has no seats so far, which is normally 1) is raised to create an effective threshold, favoring larger parties and eliminating small ones. In the Czech case, it is set to 1.42 (approximately ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, termed the Koudelka coefficient after the politician who introduced it).

In 1989 and 1992, ACT Legislative Assembly elections were conducted by the Australian Electoral Commission using a modified d'Hondt electoral system. The electoral system consisted of the d'Hondt system, the Australian Senate system of proportional representation, and various methods for preferential voting for candidates and parties, both within and across party lines.^[20] The process involves 8 stages of scrutiny. ABC elections analyst Antony Green has described the modified d'Hondt system used in the ACT as a "monster ... that few understood, even electoral officials who had to wrestle with its intricacies while spending several weeks counting the votes".^[21] It was replaced with the Hare-Clark system from 1995 onward.

Because of the strong seat bias in D'Hondt, some systems allow parties to associate their lists together into a single electoral alliance in order to overcome the threshold and win more (or any) seats. Some systems set a separate threshold for such alliances. In a system of proportional representation where the country is divided in multiple electoral district (such as Belgium) the threshold to obtain one seat can be very high (5% of votes in a district since 2003), which also favors larger parties.

ドント法は、オーランド、アルバニア、アンゴラ、アルゼンチン、アルメニア、アルバ、オーストリア、ベルギー、ボリビア、ブラジル、ブルンジ、カンボジア、カーボベルデ、チリ、コロンビア、クロアチア、ドミニカ共和国、東ティモール、エストニア、フィジー、フィンランド、グリーンランド、グアテマラ、ハンガリー（混合方式）、アイスランド、イスラエル、イタリア（混合方式）、日本、ルクセンブルク、モルドバ、モナコ、モンテネグロ、モザンビーク、オランダ、ニカラグア、北マケドニア、パラグアイ、ペルー、ポーランド、ポルトガル、ルーマニア、サンマリノ、セルビア、スロベニア、スペイン、スイス、トルコ、ウルグアイ、ベネズエラとウェールズ^{[ 23 ]}。デンマークでは、ドント方式がフォルケティングの議席の一部を選出するために使用され、ドント方式の不均衡はサント＝ラゲ方式による議席均等化によって修正される。^{[ 24 ]}ドント方式は、スコットランド議会とロンドン議会の「トップアップ」議席に使用され、一部の国では欧州議会選挙に使用され、 1997年憲法時代にはタイの政党リスト議席の配分に使用された。 ^{[ 25 ]}この方式は、実際には、多数の役職（副議長、委員会委員長と副委員長、代表団長と副委員長）の政治グループ間の配分にも使用されている。欧州議会や北アイルランド議会の閣僚の配分にも使用されている。^{[ 26 ]}また、ドイツとオーストリアの労働評議会選挙の結果を計算するためにも使用されている。^{[ 27 ]}