表現可能な関数

数学、特に圏論において、表現可能な関手とは、任意の圏から集合の圏への特定の関手である。このような関手は、既知の構造（集合と関数）の観点から抽象圏の表現を与え、集合の圏に関する知識を他の設定で可能な限り利用できるようにする。

別の観点から見ると、カテゴリCの表現可能関数は、 Cで与えられる関数です。その理論は、半集合における上集合の広範な一般化であり、米田の表現可能性定理は、群論におけるケイリーの定理を一般化します。

C を局所的に小さなカテゴリとし、Set を集合のカテゴリとします。Cの各オブジェクトAに対して、オブジェクトX を集合 Hom( A , X ) にマップするhom 関数をHom( A ,–) とします。

関数F  : C → Set は、 Cの何らかのオブジェクトAに対してHom( A ,–) と自然に同型である場合に表現可能と呼ばれます。Fの表現は、 ( A , Φ) のペアで、

Φ : ホム( A ,–) → F

は自然な同型です。

CからSetへの反変関手 Gは、関手G  : C ^op → Setと同じもので、一般に前層と呼ばれます。前層は、 Cの何らかのオブジェクトAに対する反変 hom 関手 Hom(–, A )と自然に同型である場合に表現可能です。

米田の補題によれば、Hom( A ,–)からFへの自然変換はF ( A )の元と1対1に対応する。自然変換Φ:Hom( A ,–) → Fが与えられたとき、対応する元u∈F ( A )は次のように与えられる。

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

逆に、任意の元u∈F(A)が与えられたとき、自然変換Φ : Hom ( A ,–)→ Fを次のように 定義することができる。

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

ここで、f はHom ( A , X )の要素です。F の表現を得るために、uによって誘導される自然変換が同型になるかどうかを知る必要があります。これにより、次の定義が導かれます。

関手F  : C → Setの普遍元とは、 CのオブジェクトAと要素u ∈ F ( A ) からなるペア ( A , u ) であり、 CのオブジェクトXと要素v ∈ F ( X )からなるすべてのペア ( X , v ) に対して、 ( Ff )( u ) = vとなる一意の射f  : A → Xが存在することです。

普遍元は、一点集合 {•} から関手Fへの普遍射として、またはFの元のカテゴリ内の初期オブジェクトとして見ることができます。

元u ∈ F ( A ) によって誘導される自然変換は、 ( A、u ) がFの普遍元である場合に限り同型です。したがって、 Fの表現はFの普遍元と 1 対 1 に対応していると結論付けられます。このため、普遍元 ( A、u )を表現と呼ぶのが一般的です。

• スキーム Aによって表される関数は、幾何学的オブジェクトの族を記述できる場合があります。たとえば、与えられた代数多様体またはスキームX上の階数kのベクトル束は、高次元空間のk平面のグラスマン多様体Aの代数射に対応します。また、特定の種類のサブスキームはヒルベルト スキームによって表されます。${\displaystyle X\to A}$
• C を、連続関数のホモトピー類によって与えられる射を持つCW 複体のカテゴリとします。各自然数nに対して、各 CW 複体にn^番目のコホモロジー群(整数係数を持つ) を割り当てる反変関手H ⁿ  : C → Abがあります。これを忘却関手と組み合わせると、 CからSetへの反変関手が得られます。代数位相幾何学におけるブラウンの表現可能性定理によれば、この関手は、アイレンバーグ–マクレーン空間と呼ばれるCW 複体K ( Z、n )によって表現されます。
• 各集合をその冪集合に、各関数をその逆像写像に写像する反変関数P  : Set → Setを考えます。この関数を表すには、ペア ( A , u ) が必要です。ここで、 Aは集合で、u はAのサブセット、つまりP ( A )の要素であり、すべての集合Xに対して、ホム集合 Hom( X , A ) はΦ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ) を介してP ( X )と同型です。A = {0,1}、u = {1}とします。サブセットS ⊆ Xが与えられた場合、 XからAへの対応する関数はSの特性関数です。
• Setへの忘却関数は、多くの場合表現可能です。特に、A が生成元uを持つ単一集合上の自由オブジェクトである場合、忘却関数は ( A , u )で表現されます。
  • 群のカテゴリ上の忘却関手Grp → Setは( Z ,1)で表される。
  • 環のカテゴリ上の忘却関手Ring → Setは、整数係数を持つ1変数の多項式環である( Z [ x ], x )で表されます。
  • 実ベクトル空間のカテゴリ上の忘却関手Vect → Setは( R ,1)で表される。
  • 位相空間のカテゴリ上の忘却関手Top → Setは、一意の元を持つ任意のシングルトン位相空間によって表されます。
• 群Gは、 • で表記される 1 つのオブジェクトを持つカテゴリ (群であっても) と見なすことができます。 GからSetへの関数は、 G集合に対応します。 GからSetへの唯一の hom 関数 Hom(•,–) は、左乗算の作用を持つ標準的なG集合Gに対応します。群論からの標準的な議論は、GからSetへの関数が表現可能であるのは、対応するG集合が単純に推移的である場合 (つまり、Gトーサーまたはヒープ)の場合のみであることを示しています。表現を選択することは、ヒープに対する恒等式を選択することです。
• R を単位元を持つ可換環とし、 R - Mod をR -加群の圏とする。MとN がR上のユニタリ加群であれば、共変関手B : R - Mod → Setが存在し、これは各R -加群PにR -双線型写像M × N → Pの集合を割り当て、各R -加群準同型f  : P → Qに各双線型写像g  : M × N → Pを双線型写像f ∘ g  : M × N → Qに送る関数B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ) を割り当てる。関手B はR -加群M ⊗ _R Nによって表される。^[1]

複素ヒルベルト空間 H上の線型関数、つまり線型関数を考えます。リースの表現定理によれば、Fが連続であれば、F が内積関数 に等しいという意味で、つまり に対してとなるという意味で、 F を表す唯一の要素が存在します。 ${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$${\displaystyle a\in H}$${\displaystyle \langle a,-\rangle }$${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$${\displaystyle v\in H}$

たとえば、2乗可積分関数空間 上の連続線形関数はすべて、一意の関数 に対して の形式で表現できます。超関数の理論では、テスト関数 の空間上のより一般的な連続関数を考慮します。 このような超関数は、関数によって必ずしも表現できるわけではありませんが、直感的には一般化された関数として考えることができます。 たとえば、ディラックのデルタ関数は、各テスト関数 に対してによって定義される超関数であり、 の近くにある無限に高くて細いバンプ関数によって「表現される」と考えることができます。 ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$${\displaystyle a(x)\in H}$${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F(v)=v(0)}$${\displaystyle v(x)\in C}$${\displaystyle x=0}$

したがって、関数はその値によってではなく、内積を介して他の関数に与える影響によって決定される可能性があります。同様に、カテゴリ内のオブジェクトA は、その内部機能によってではなく、点の関数、つまり射を介して他のオブジェクトとの関係によって特徴付けられる場合があります。表現不可能な関数が超関数によって記述されるのと同じように、表現不可能な関数は、スタックなどのより複雑な構造によって記述される場合があります。 ${\displaystyle a(x)}$

関数の表現は、同型性が一意である限り一意である。つまり、( A ₁ ,Φ ₁ )と( A ₂ ,Φ ₂ )が同じ関数を表す場合、同型性 φ : A ₁ → A ₂が一意に 存在し、

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$

Hom( A ₂ ,–)からHom( A ₁ ,–)への自然同型として。この事実は米田の補題から容易に導かれる。

普遍元で述べると、( A ₁ , u ₁ )と( A ₂ , u _{2 )が同じ関数を表す場合、唯一の同型φ:} A ₁ → A ₂が存在し、

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

表現可能な関数は、自然に Hom 関数と同型であるため、それらの特性を共有します。特に、(共変) 表現可能な関数はすべての限界を保存します。したがって、何らかの限界を保存できない関数は表現可能ではありません。

反変表現可能関数は余極限を極限にします。

左随伴関数F  : Set → Cを持つ任意の関手K  : C → Setは ( FX , η _X (•))で表されます。ここで、 X = {•} は単一集合であり、 η は随伴関数の単位です。

逆に、Kがペア ( A、u ) で表され、 Aのすべての小さな余累乗がCに存在する場合、Kには各セットI をAのI番目の余累乗に送信する左随伴Fがあります。

したがって、C がすべて小さな余べきを持つカテゴリである場合、関数K  : C → Set は、左随伴関数を持つ場合にのみ表現可能です。

普遍射と随伴関数のカテゴリカルな概念は、どちらも表現可能な関数を使用して表現できます。

G  : D → C を関数とし、 X を C の対象とする。すると、 ( A , φ) がXからG への普遍射となるのは、 ( A ,φ) がDからSetへの関数 Hom _C ( X , G –)の表現である場合に限る。したがって、G が左随伴F を持つのは、 Hom _C ( X , G –) がCのすべてのXに対して表現可能である場合に限る。自然同型 Φ _X  : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) は随伴性をもたらす。つまり、

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY) )}$

はすべてのXとYに対して一対一です。

双対的な命題も真である。F  : C → Dを関手とし、Y をDの対象とする。すると、 ( A ,φ) がFからYへの普遍射となるのは、 ( A ,φ) がCからSetへの関手 Hom _D ( F –, Y )の表現である場合に限る。したがって、F が右随伴G を持つのは、 Hom _D ( F –, Y ) がDのすべてのYに対して表現可能である場合に限る。^[2]

• サブオブジェクト分類子
• 密度定理

• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8。