通常の要素

数学では、*-代数の元がその随伴元と交換可能である場合、その元は正規元と呼ばれます。^[1]

を*-代数とする。 と可換な元、すなわち方程式 を満たす元は正規元と呼ばれる。^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a}$

正規元の集合は または で表されます。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle N({\mathcal {A}})}$

特に重要な特殊なケースは、が完全なノルム *-代数であり、C*-恒等式 ( ) を満たす場合であり、これはC*-代数と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

• aa*-代数のすべての自己随伴元は正規である。^[1]
• aa*-代数のすべてのユニタリ元は正規である。^[2]
• がC*-代数で正規元である場合、連続関数計算のスペクトル上の任意の連続関数に対して別の正規元が定義されます。^[3]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)}$

を*-代数とします。すると次のように なります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 元が正規となるのは、によって生成される*-部分代数、つまり を含む最小の *- 代数が可換である場合に限ります。^[2]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$
• すべての要素は、実部と虚部に一意に分解できます。つまり、となる自己随伴要素 が存在し、 は虚数単位を表します。 のとき、 、つまり実部と虚部が交換可能である場合、 は正常です。^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}}$

を*-代数の正規元とします。すると次のようになります。 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 逆変換*が成り立つので、随伴元も正規元である。^[4]${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$

をC*-代数の正規元とします。すると次のようになります。 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 正規分布に従う元に対してはC*-恒等式が成り立つので、これは成り立つ。^[5]${\displaystyle \left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}}$${\displaystyle \left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}}$
• すべての正規元は正規体元である、すなわちスペクトル半径 は のノルムに等しい、すなわち。^[6]これは、前の性質を繰り返し適用することでスペクトル半径の公式から導かれる。 ^[7]${\displaystyle r(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$
• 簡単に言えば、からまでのスペクトル上に連続関数を適用できる連続関数計算を開発することができます。^[3]${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

• 正規行列
• 通常の演算子

• ディクスミア、ジャック (1977)。C *-代数。ジェレット、フランシス訳。アムステルダム/ニューヨーク/オックスフォード: 北ホランド。ISBN 0-7204-0762-1。Les C*-algèbres et leurs représentations (フランス語)の英語翻訳。ゴーティエ・ヴィラール。 1969年。
• ヒューザー、ハロ（1982）。関数分析。翻訳：ホルバート、ジョン。ジョン・ワイリー＆サンズ社。ISBN 0-471-10069-2。
• ヴェルナー、ディルク (2018)。機能分析(ドイツ語) (第 8 版)。スプリンガー。ISBN 978-3-662-55407-4。