ユークリッド平面上のすべての三角形の性質
正弦定理の要素がラベル付けされた 2 つの三角形。α 、 β 、 γは 、それぞれ大文字の A 、 B 、 C の頂点に関連付けられた角度です 。小文字の a 、 b 、 c は 、それらの反対側の辺の長さです ( a は α の反対側にある など)。
三角法 において 、 正弦法則 、 正弦法則 、 正弦公式 、または 正弦定理は、 三角形 の辺の 長さとその角度の 正弦 を 関連付ける 方程式 です 。この法則によれば、
a 、 b 、 および c は三角形の辺の長さ、 α 、 β 、および γ は対角 (図 2 を参照)、 R は 三角形の 外接 円の半径です。方程式の最後の部分が使用されない場合は、 逆数 を使用して法則が記述されることがあります 。
正弦法則は、2 つの角度と 1 つの 辺
がわかっている場合に三角形の残りの辺を計算するために使用できます。この手法は、 三角測量と呼ばれます。また、2 つの辺と、囲まれていない角度の 1 つがわかっている場合にも使用できます。このような場合、三角形はこのデータによって一意に決定されず ( あいまいなケース と呼ばれる )、この手法では囲まれた角度に対して 2 つの可能な値が得られます。
1つの
罪
α
=
b
罪
β
=
c
罪
γ
= 2 R 、
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}
罪
α
1つの
=
罪
β
b
=
罪
γ
c
。
{\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}
正弦定理は、 不等辺三角形 の長さと角度を求めるために一般的に適用される 2 つの三角法則のうちの 1 つであり、もう 1 つは 余弦定理 です。
正弦定理は、一定の曲率を持つ表面上の高次元に一般化することができます。 [1]
歴史
ペルシャの数学者 ナスィルッディーン・アルトゥースィーは 、すべての平面三角形に当てはまる正弦法則を初めて述べ、証明した人物です。彼は次のように述べています。
平面三角形では、辺の比は、その辺に対向する角度の正弦の比に等しくなります。つまり、三角形 ABC では、AB : AC = Sin(∠ACB) : Sin(∠ABC) となります。
アル＝トゥーシは正弦定理を用いて、2つの角度と1つの辺が分かっているか、2つの辺とそれらの1つに対向する角度が与えられている三角形を解くことができた。2つの辺と内角を持つ三角形については、彼はそれを直角三角形に分割して解いた。3つの辺が与えられている場合は、垂直線を下ろし、ユークリッドの 『原論』 の命題II-13を使用した。アル＝トゥーシは、2つの弧の和または差がそれらの正弦の比とともに与えられれば、弧を計算できるという重要な結果を確立した。 [2]
Ubiratàn D'Ambrosio と Helaine Selin によると 、球面サインの法則は 10 世紀に発見されました。それは、 アブ・マフムード・コジャンディ 、 アブ・アル・ワファ・ブジャニ 、 ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ 、 アブ・ナスル・マンスール によるものとさまざまに考えられています 。 [3]
11世紀の イブン・ムアード・アル・ジャヤーニー の『 球面の未知の弧についての書』には球面正弦法則が記されている。 [4] 平面正弦法則はその後13世紀に ナスィール・アッディーン・アル・トゥーシー によって述べられた。彼は著書 『扇形図形について』 の中で平面三角形と球面三角形の正弦法則を述べ、この法則の証明を示した。 [5]
グレン・ヴァン・ブルメレン によれば 、「正弦定理は、 レギオモンタヌス の第4巻における直角三角形の解法の基礎であり、これらの解法は、今度は一般三角形の解法の基礎となっている。」 [6] レギオモンタヌスは15世紀のドイツの数学者であった。
証拠 長さa の辺を 底辺として、三角形の 高さは b sin γ または c sin β として計算できます 。これら 2 つの式を等しくすると次の式が得られ
、 三角形の底辺として
長さ bの辺または長さ c の辺を
選択した場合にも同様の式が得られます。
罪 β
b
=
罪 γ
c
、
{\displaystyle {\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,,}
三角形の解の曖昧なケース 正弦定理を使用して三角形の辺を求める場合、提供されたデータから 2 つの別々の三角形を作成できるというあいまいなケースが発生します (つまり、三角形に対して 2 つの異なる解が考えられます)。以下に示すケースでは、三角形 ABC と ABC′ がそれです。
一般的な三角形が与えられた場合、ケースが曖昧になるためには次の条件を満たす必要があります。
三角形についてわかっている唯一の情報は、角度 α と辺 a と c です。 角度 α は鋭角 です (つまり、 α < 90°)。 辺 a は辺 c よりも短い(つまり、 a < c )。 辺 a は 角度 βからの高さ h よりも長く 、ここで h = c sin α (つまり、 a > h )です。 上記の条件がすべて真である場合、角度 β と β′ のそれぞれは有効な三角形を生成し、次の両方の条件が真であることを意味します。
γ
′
= アークサイン
c 罪
α
1つの
または
γ
= π − アークサイン
c 罪
α
1つの
。
{\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{または}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}
そこから、必要に応じて 対応する β と b または β′ と b′ を見つけることができます。ここで、 b は頂点 A と C で囲まれた辺であり 、 b′ は A と C′ で囲まれた辺です 。
例 以下は、正弦定理を使用して問題を解決する方法の例です。
例1 例1 与えられた値: 辺 a = 20 、辺 c = 24 、角度 γ = 40° 。角度 α が求められます。
正弦定理を用いると、次の結論が導かれる。
罪 α
20
=
罪 （
40
∘
）
24
。
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha}{20}}={\frac {\sin(40^{\circ})}{24}}.}
α = アークサイン
（
20 罪 （
40
∘
）
24
）
≈
32.39
∘
。
{\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
潜在的な解 α = 147.61°は、必然的に α + β + γ > 180° となるため除外されることに注意してください 。
例2 例2 三角形の2辺 a と bの長さが x に等しく 、3辺目の長さが cで、長さ a 、 b 、 c の辺に対向する角度が それぞれ
α 、 β 、 γ である場合、
α
=
β
=
180
∘
−
γ
2
=
90
∘
−
γ
2
sin
α
=
sin
β
=
sin
(
90
∘
−
γ
2
)
=
cos
(
γ
2
)
c
sin
γ
=
a
sin
α
=
x
cos
(
γ
2
)
c
cos
(
γ
2
)
sin
γ
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}
外接円との関係 この等式では、
3つの分数の共通値は実際には 三角形の 外接円の 直径である。この結果は プトレマイオス にまで遡る 。 [7] [8]
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}
証拠 外接直径に等しい正弦定理の比を導出します。三角形 ADB は、直径 d の外接円の中心を通ることに注意してください 。 図に示すように、 が内接する円があり 、円の中心 O を 通る別の内接する円があるとします 。 の 中心角 は であり 、 したがって タレスの定理 により となります 。 は直角三角形であるため、
は 三角形の外接円の半径です。 [8] 角 と は 同じ円上にあり、 同じ 弦 c を 囲みます。 したがって 、 内接角定理 により となります。 したがって、
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
∠
A
O
D
{\displaystyle \angle AOD}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
∠
A
B
D
=
90
∘
{\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
sin
δ
=
opposite
hypotenuse
=
c
2
R
,
{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}
R
=
d
2
{\textstyle R={\frac {d}{2}}}
γ
{\displaystyle {\gamma }}
δ
{\displaystyle {\delta }}
γ
=
δ
{\displaystyle {\gamma }={\delta }}
sin
δ
=
sin
γ
=
c
2
R
.
{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}
利回りの再調整
2
R
=
c
sin
γ
.
{\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}
他のポイントで
作成するプロセスを繰り返すと、
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}
三角形の面積との関係 三角形の面積は で与えられ 、 は長さ a と b の辺で囲まれた角度です 。この式に正弦定理を代入すると次のようになります。
T
=
1
2
a
b
sin
θ
{\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
T
=
1
2
a
b
⋅
c
2
R
.
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}
外接 半径として [9]
R
{\displaystyle R}
T
=
a
b
c
4
R
.
{\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}
この等式は、 T が三角形の面積、 sが 半周長 で
あること を意味することも示せる。
a
b
c
2
T
=
a
b
c
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
2
a
b
c
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
.
{\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}
上記の 2 番目の等式は、 面積に関する
ヘロンの公式に簡単に簡略化されます。
正弦定理は三角形の面積を求める次の公式を導くのにも使える。角度の正弦の半和を と表すと 、 [ 10]
S
=
1
2
(
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
)
{\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}
T
=
4
R
2
S
(
S
−
sin
A
)
(
S
−
sin
B
)
(
S
−
sin
C
)
{\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}
ここで、 外接円の半径は です 。
R
{\displaystyle R}
2
R
=
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
球面正弦法則 球面正弦法則は、球面上の三角形（その辺は 大円 の弧である）を扱います。
球の半径が 1 であるとします。 a 、 b 、 c を三角形の辺である大円弧の長さとします。単位球なので、 a 、 b 、 c は 、それらの円弧によって囲まれる球の中心の角度 (ラジアン単位) です。 A 、 B 、 C を それぞれの辺の反対側の角度とします。これらは、 3 つの大円の平面間の
二面角です。
すると、球面正弦法則は次のようになります。
sin
A
sin
a
=
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}
ベクトル証明 原点から三角形の頂点に向かって引かれた3 つの単位ベクトル OA 、 OB 、 OC を持つ単位球面を考えます。したがって、角度 α 、 β 、 γ は 、それぞれ角度 a 、 b 、 c です。弧 BC は 、中心で大きさ a の角度を張ります。 OA が z 軸 に沿っており、 OB が xz 平面にあり、 z 軸と 角度 c を なす直交座標基底を導入します。ベクトル OC は xy 平面で ON に投影され、 ON と x 軸の間の角度は A です 。したがって、3 つのベクトルは次の成分を持ちます。
O
A
=
(
0
0
1
)
,
O
B
=
(
sin
c
0
cos
c
)
,
O
C
=
(
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}
スカラー 三重積 OA ⋅ ( OB × OC ) は、球面三角形 OA 、 OB 、 OC の頂点の位置ベクトルによって形成される 平行六面体 の体積です。この体積は 、 OA 、 OB 、 OC を表すために使用される特定の座標系に対して不変です。 スカラー三重積 OA ⋅ ( OB × OC ) の値は、 OA 、 OB 、 OC を行とする 3 × 3 行列式です。 z 軸が OA に沿う場合、 この 行列 式 の 平方
は、 OB に沿う z 軸
でこの計算を繰り返すと、 ( sin c sin a sin B ) 2となり、 OC に沿う z 軸では、 (sin a sin b sin C ) 2 と なります 。これらの式を等しくし、全体を (sin a sin b sin c ) 2 で割ると、次の式 が得られます
。
ここで、 V は球面三角形の頂点の位置ベクトルによって形成される 平行六面体 の体積です 。したがって、結果は次のようになります。
(
O
A
⋅
(
O
B
×
O
C
)
)
2
=
(
det
(
O
A
O
B
O
C
)
)
2
=
|
0
0
1
sin
c
0
cos
c
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
|
2
=
(
sin
b
sin
c
sin
A
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}
sin
2
A
sin
2
a
=
sin
2
B
sin
2
b
=
sin
2
C
sin
2
c
=
V
2
sin
2
(
a
)
sin
2
(
b
)
sin
2
(
c
)
,
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}
小さな球面三角形の場合、球の半径が三角形の辺よりもはるかに大きいとき、この式が極限で平面式になることは容易にわかります。これは
sin b と sin c
についても同様だからです 。
lim
a
→
0
sin
a
a
=
1
{\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}
幾何学的証明 次のような単位球を考えます。
O
A
=
O
B
=
O
C
=
1
{\displaystyle OA=OB=OC=1}
点 と点を 次のように構築する
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
∠
A
D
O
=
∠
A
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}
点を 次のように構築する
A
′
{\displaystyle A'}
∠
A
′
D
O
=
∠
A
′
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}
したがって 、
∠
A
D
A
′
=
B
{\displaystyle \angle ADA'=B}
∠
A
E
A
′
=
C
{\displaystyle \angle AEA'=C}
は平面 へ の投影である ことに注目してください 。したがって
A
′
{\displaystyle A'}
A
{\displaystyle A}
O
B
C
{\displaystyle OBC}
∠
A
A
′
D
=
∠
A
A
′
E
=
90
∘
{\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}
基本的な三角法によれば、次のようになります。
A
D
=
sin
c
A
E
=
sin
b
{\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}
しかし
A
A
′
=
A
D
sin
B
=
A
E
sin
C
{\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}
これらを組み合わせると次のようになります。
sin
c
sin
B
=
sin
b
sin
C
⇒
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}
同様の推論を適用すると、球面正弦法則が得られます。
sin
A
sin
a
=
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
その他の証拠 球面余弦定理 から、純粋に代数的な証明を構築できます 。 の恒等式 と 球面余弦定理からの
明示的な表現から
、右辺は の巡回置換に対して不変であるため、 球面正弦定理が直ちに得られます。
sin
2
A
=
1
−
cos
2
A
{\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}
cos
A
{\displaystyle \cos A}
sin
2
A
=
1
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
sin
b
sin
c
)
2
=
(
1
−
cos
2
b
)
(
1
−
cos
2
c
)
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
)
2
sin
2
b
sin
2
c
sin
A
sin
a
=
[
1
−
cos
2
a
−
cos
2
b
−
cos
2
c
+
2
cos
a
cos
b
cos
c
]
1
/
2
sin
a
sin
b
sin
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\;b,\;c}
上記の幾何学的証明で使用した図は、Banerjee [11]によって使用され、またBanerjee [11] でも提供されており（この論文の図3を参照）、初等線型代数と射影行列を使用して正弦定理を導出しています。
双曲的なケース 双曲幾何学において曲率が−1のとき、 正弦定理は 次のようになる。
sin
A
sinh
a
=
sin
B
sinh
b
=
sin
C
sinh
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}
Bが 直角である
特別な場合には、
sin
C
=
sinh
c
sinh
b
{\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}
これは、角度の正弦を対辺を斜辺で割ったものとして表すユークリッド幾何学の公式に類似しています。
一定曲率の曲面の場合 実パラメータにも依存する一般化正弦関数を定義します 。
κ
{\displaystyle \kappa }
sin
κ
(
x
)
=
x
−
κ
3
!
x
3
+
κ
2
5
!
x
5
−
κ
3
7
!
x
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
κ
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
.
{\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}
定曲率正弦法則は 次のように表される [1]。
κ
{\displaystyle \kappa }
sin
A
sin
κ
a
=
sin
B
sin
κ
b
=
sin
C
sin
κ
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}
、、 を 代入すると 、 それぞれ 、、、および が得られ 、これらは、上で説明した正弦定理のユークリッド、球面、双曲の場合である。 [1]
κ
=
0
{\displaystyle \kappa =0}
κ
=
1
{\displaystyle \kappa =1}
κ
=
−
1
{\displaystyle \kappa =-1}
sin
0
(
x
)
=
x
{\displaystyle \sin _{0}(x)=x}
sin
1
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}
sin
−
1
(
x
)
=
sinh
x
{\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}
が一定曲率の空間にある 半径の円の円周を表す とします 。すると となります 。したがって、正弦定理は次のようにも表すことができます。
p
κ
(
r
)
{\displaystyle p_{\kappa }(r)}
r
{\displaystyle r}
κ
{\displaystyle \kappa }
p
κ
(
r
)
=
2
π
sin
κ
(
r
)
{\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}
sin
A
p
κ
(
a
)
=
sin
B
p
κ
(
b
)
=
sin
C
p
κ
(
c
)
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}
この公式は János Bolyai によって発見されました。 [12]
高次元 四 面体 には4つの三角形の 面 がある。四面体の 頂点 を共有する3つの面の 法線ベクトルの 極正弦 （ psin ） の 絶対値を 4番目の面の面積で割った値は、頂点の選択には依存しない。 [13]
|
psin
(
b
,
c
,
d
)
|
A
r
e
a
a
=
|
psin
(
a
,
c
,
d
)
|
A
r
e
a
b
=
|
psin
(
a
,
b
,
d
)
|
A
r
e
a
c
=
|
psin
(
a
,
b
,
c
)
|
A
r
e
a
d
=
(
3
V
o
l
u
m
e
t
e
t
r
a
h
e
d
r
o
n
)
2
2
A
r
e
a
a
A
r
e
a
b
A
r
e
a
c
A
r
e
a
d
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}
より一般的には、 n 次元 ユークリッド空間 における n 次元 単体 （すなわち、 三角形 （ n = 2 ）、 四面体 （ n = 3 ）、 五面体 （ n = 4 ）など）の場合、頂点で交わる面の法線ベクトルの極正弦の絶対値を、頂点の反対側の面の超面積で割った値は、頂点の選択とは無関係である。n 次元単体の超体積を V 、その（n − 1）次元面の超面積の積を P と書くと 、 公 比 は 次 の よう に なる 。
|
psin
(
b
,
…
,
z
)
|
A
r
e
a
a
=
⋯
=
|
psin
(
a
,
…
,
y
)
|
A
r
e
a
z
=
(
n
V
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
P
.
{\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}
参照
参考文献
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外部リンク
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.svg/500px-Law_of_sines_(example_01).svg.png)
.svg/500px-Law_of_sines_(example_02).svg.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c04742b006ecbfdbe47aa89107f544c1941a5c)
.svg/500px-Sinelaw_radius_(Greek_angles).svg.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0791f9e5aaf7e592ffdd98ae27e4b34555d1a68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\ det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\ cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cea5e52de68d1a8f7e1580b11fc867bdd7daf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e3a1ba99b4e218fe49d60329e8dc43b300c769)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {面積} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {面積} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d } )\right|}{\mathrm {面積} _{c}}}={\frac {\left|\演算子名 {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {面積} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {体積} _{\ mathrm {四面体} })^{2}}{2~\mathrm {面積} _{a}\mathrm {面積} _{b}\mathrm {面積} _{c}\mathrm {エリア} _{d}}}\,.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847a5b9caece041bf05089e9474acadfc0194ae3)
