効果の大きさ

統計学において、効果サイズとは、母集団内の2つの変数の関係の強さを測る値、またはその量のサンプルに基づく推定値である。これは、データのサンプルから計算された統計の値、仮想母集団のパラメータの値、または統計またはパラメータが効果サイズの値にどのようにつながるかを操作化する方程式を指す場合がある。^[1]効果サイズの例としては、2つの変数間の相関、 ^[2]回帰分析における回帰係数、平均差、または特定のイベント（心臓発作など）の発生リスクなどが挙げられる。効果サイズは、統計的仮説検定を補完するツールであり、新しい実験に必要なサンプルサイズを評価する検出力分析において重要な役割を果たしている。 ^{[3]効果サイズは、複数の研究のデータに基づいて複合効果サイズを提供することを目的とする}メタ分析において基本的なものである。効果サイズに関するデータ分析方法のクラスターは、推定統計と呼ばれている。

効果サイズは、統計的主張の強さを評価する際に不可欠な要素であり、MAGIC 基準の最初の項目 (大きさ) です。効果サイズの標準偏差は、測定にどの程度の不確実性が含まれているかを示すため、非常に重要です。標準偏差が大きすぎると、測定はほぼ無意味になります。複数の効果サイズを組み合わせることを目的とするメタ分析では、効果サイズの不確実性を使用して効果サイズを重み付けし、大規模な研究が小規模な研究よりも重要であると見なされます。効果サイズの不確実性は、効果サイズの種類ごとに計算方法が異なりますが、通常は、研究のサンプルサイズ ( N )、または各グループの観察数 ( n ) がわかれば十分です。

多くの分野で実証的な研究結果を発表する際には、効果サイズまたはその推定値（効果推定値[EE]、効果の推定値）を報告することが良い方法とみなされています。^{[4] [5]効果サイズの報告は、}統計的有意性 とは対照的に、研究結果の重要性の解釈を容易にします。^{[6]効果サイズは、}社会科学と医学研究（治療効果の大きさが重要） で特に顕著です。

効果サイズは、相対的または絶対的に測定できます。相対的効果サイズでは、オッズ比や相対リスクのように、2 つのグループが直接比較されます。絶対的効果サイズでは、絶対値が大きいほど、効果が強いことを示します。多くの種類の測定は、絶対的または相対的に表現でき、異なる情報を伝えるため、これらを組み合わせて使用​​できます。心理学研究コミュニティの著名なタスク フォースは、次の推奨事項を発表しました。

主要アウトカムには常に効果サイズを提示してください...測定単位が実用的なレベルで意味がある場合（例：1日に吸うタバコの本数）、標準化された測定（rまたはd）よりも標準化されていない測定（回帰係数または平均差）が好まれます。^[4]

統計的推定と同様に、真の効果サイズは観察された効果サイズと区別されます。たとえば、集団内の疾患リスク (集団効果サイズ) を測定するには、その集団のサンプル内のリスク (サンプル効果サイズ) を測定できます。真の効果サイズと観察された効果サイズを記述する規則は、標準的な統計慣行に従います。一般的な方法の 1 つは、ρ [rho] などのギリシャ文字を使用して集団パラメータを示し、rなどのラテン文字を使用して対応する統計を示すことです。または、統計を示すために集団パラメータの上に「帽子」を置くこともできます。 たとえば、 はパラメータの推定値です。${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle \rho}$

あらゆる統計設定と同様に、効果サイズはサンプリング誤差で推定され、使用される効果サイズ推定量がデータのサンプリング方法と測定方法に適していない限り、バイアスがかかる可能性があります。その一例は出版バイアスで、推定効果サイズが大きいか統計的に有意な場合にのみ科学者が結果を報告する場合に発生します。その結果、多くの研究者が低い統計的検出力で研究を実施した場合、報告された効果サイズは、もしあれば、真の（母集団の）効果よりも大きくなる傾向があります。^[7]効果サイズが歪む可能性がある別の例は、効果サイズの計算が試験全体の平均または集計された応答に基づいている複数試験実験です。^[8]

小規模な研究では、大規模な研究とは異なる、多くの場合はより大きな効果サイズが示されることがあります。この現象は小規模研究効果として知られており、出版バイアスの兆候となる可能性があります。^[9]

サンプルベースの効果サイズは、仮説検定で使用される検定統計量とは区別されます。つまり、観察された関係の大きさが偶然によるものかどうかを反映する有意水準を割り当てるのではなく、たとえば見かけの関係の強さ (大きさ) を推定します。効果サイズは有意水準を直接決定しません (あるいはその逆)。十分に大きなサンプル サイズが与えられれば、母集団効果サイズが正確に 0 でない限り、非ヌル統計比較では常に統計的に有意な結果が示されます (その場合でも、使用されるタイプ I の誤りの率で統計的に有意性が示されます)。たとえば、サンプル サイズが 1000 の場合、サンプルのピアソン相関係数が 0.01 は統計的に有意です。この分析から有意なp値のみを報告すると、相関が 0.01 では特定のアプリケーションで重要でないほど小さい場合、誤解を招く可能性があります。

効果サイズという用語は、効果の標準化された尺度（r、コーエンのd、オッズ比など）を指す場合もあれば、標準化されていない尺度（グループ平均間の差や標準化されていない回帰係数など）を指す場合もあります。標準化された効果サイズの尺度は、通常、次の場合に使用されます。

• 研究対象変数の指標に本質的な意味がない（例えば、任意の尺度による性格検査のスコア）
• 複数の研究の結果が統合され、
• 一部またはすべての研究が異なる尺度を使用している、または
• 集団内の変動性に対する効果の大きさを伝えることが望ましい。

メタ分析では、標準化された効果サイズが、さまざまな研究に対して計算され、全体的な要約に組み合わされる共通の尺度として使用されます。

効果サイズを小さい、中程度、大きいのいずれと解釈すべきかは、その実質的な文脈と操作上の定義によって決まる。コーエンの従来の基準である小さい、中程度、大きい^[10]は、多くの分野でほぼ普遍的であるが、コーエン^[10]は次のように警告している。

「『小規模』、『中規模』、『大規模』という用語は、相互に相対的であるだけでなく、行動科学の分野、さらには特定の調査で採用されている特定の内容や研究方法にも相対的です。...この相対性を考慮すると、行動科学のような多様な研究分野での検出力分析に使用するために、これらの用語に従来の操作上の定義を提供することには、一定のリスクが伴います。それでも、ES 指数を推定するためのより優れた基準がない場合のみ使用することが推奨される共通の従来の参照枠を提供することで、失うものよりも得られるものの方が多いという信念のもと、このリスクは受け入れられています。」(p. 25)

2つのサンプルレイアウトでは、Sawilowsky ^[11]は、Cohenの警告を念頭に置いて「応用文献の現在の研究結果に基づくと、効果サイズの経験則を改訂することが適切と思われる」と結論付け、非常に小さい、非常に大きい、巨大なを含むように説明を拡張しました。他のレイアウトでも、同様の事実上の標準を開発することができます。

レンス^[12]は、「中程度の」効果サイズについて、「機器の精度や信頼性、被験者の狭さや多様性に関係なく、同じnを選択することになる。明らかに、ここでは重要な考慮事項が無視されている。研究者は、結果を意味のある文脈に根付かせたり、知識への貢献を定量化したりすることで、結果の実質的な重要性を解釈するべきであり、コーエンの効果サイズの説明は出発点として役立つだろう」と指摘した。^[6]同様に、米国教育省が後援した報告書では、「コーエンの一般的な小、中、大の効果サイズの値を、彼の規範的な値が適用されない領域で効果サイズを特徴付けるために無差別に広く使用することは、同様に不適切であり、誤解を招く」と述べている。^[13]

彼らは、「適切な基準とは、同等のサンプルを対象とした同等の介入から得られる同等の結果尺度に対する効果サイズの分布に基づくものである」と示唆した。したがって、ほとんどの介入が小さい分野の研究で小さな効果（コーエンの基準による）が得られた場合、これらの新しい基準ではそれを「大きい」と呼ぶことになる。関連する点として、アベルソンのパラドックスとサウィロウスキーのパラドックスを参照のこと。^{[14] [15] [16]}

効果サイズの測定法には、約 50 ～ 100 種類が知られています。効果サイズの多くは 2 つの分布の分離を推定するものであるため、異なるタイプの効果サイズは他のタイプに変換でき、数学的に関連しています。たとえば、相関係数は Cohen の d に変換でき、その逆も可能です。

これらの効果サイズは、実験モデルによって「説明」または「考慮」される実験内の分散の量を推定します (説明される分散)。

ピアソンの相関係数は、カール・ピアソンによって導入され、しばしばrと表記され、対になった定量的データが利用可能な場合の効果量として広く使用されている。例えば、出生体重と寿命の関係を研究する場合などである。相関係数は、データが2値の場合にも使用できる。ピアソンのrは、-1から1までの範囲で変化し、-1は完全な負の線形関係、1は完全な正の線形関係、0は2つの変数の間に線形関係がないことを示す。コーエンは社会科学について次のガイドラインを示している。^{[10] [17]}

関連する効果サイズはr ²、つまり決定係数（ R ²または「r 2 乗」とも呼ばれる）で、ピアソン相関rの 2 乗として計算されます。ペアデータの場合、これは 2 つの変数が共有する分散の割合の尺度であり、0 から 1 の範囲で変化します。たとえば、rが 0.21 の場合、決定係数は 0.0441 であり、これはいずれかの変数の分散の 4.4% が他の変数と共有されることを意味します。r 2^は常に正であるため、2 つの変数間の相関の方向は示しません。

イータ二乗は、他の予測変数を制御しながら、予測変数によって従属変数で説明される分散の比率を表すもので、r ²に似ています。イータ二乗は、母集団のモデルによって説明される分散の偏りのある推定値です（サンプルの効果サイズのみを推定します）。この推定は、変数を追加するたびにη ²の値が自動的に増加するという弱点をr ²と共有しています。さらに、母集団ではなくサンプルの説明される分散を測定するため、サンプルが大きくなるにつれてバイアスは小さくなりますが、常に効果サイズを過大評価することになります。 $${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {SS_{\text{治療}}}{SS_{\text{合計}}}}.}$$

母集団で説明される分散のより偏りの少ない推定値はω2である[ ^{18 ]} $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {{\text{SS}}_{\text{treatment}}-df_{\text{treatment}}\cdot {\text{MS}}_{\text{error}}}{{\text{SS}}_{\text{total}}+{\text{MS}}_{\text{error}}}}.}$$

この形式の式は、すべてのセルでサンプルサイズが等しい被験者間分析に限定されます。^[18] ω ²はバイアスが少ないため（バイアスがないわけではありませんが）、η ²よりも好ましいですが、複雑な分析では計算が不便になることがあります。被験者間および被験者内分析、反復測定、混合設計、およびランダム化ブロック設計実験用の推定量の一般化された形式が公開されています。^[19]さらに、最大3つの独立変数を含む設計で個々の因子と複合因子の部分ω ^{2 を}計算する方法が公開されています。^[19]

Cohen のf ^{2 は、} ANOVAまたは多重回帰のF 検定のコンテキストで使用されるいくつかの効果サイズ測定の 1 つです。そのバイアスの量 (ANOVA の効果サイズの過大評価) は、説明される分散の基礎となる測定のバイアス (例: R ²、η ²、ω ² ) に依存します。

多重回帰のf 2 効果サイズの尺度は次のように定義されます。 ここ^で、 R 2^は多重相関の二乗です。 $${\displaystyle f^{2}={R^{2} \over 1-R^{2}}}$$

同様に、f ^{2 は}次のように定義される。 または、 これらの効果サイズ尺度によって記述されるモデルの場合。^[20]$${\displaystyle f^{2}={\eta ^{2} \over 1-\eta ^{2}}}$$$${\displaystyle f^{2}={\omega ^{2} \over 1-\omega ^{2}}}$$

逐次多重回帰分析およびPLSモデリング^[21]で一般的な効果サイズ指標は、次のように定義されます。 ここで、 R ² _Aは1つ以上の独立変数Aのセットによって説明される分散であり、R ² _ABはAと別の1つ以上の独立変数Bのセットによって説明される複合分散です。慣例により、、、のf 2^効果サイズはそれぞれ小さい、中程度、大きいと呼ばれます。^[10]${\displaystyle f^{2}}$$${\displaystyle f^{2}={R_{AB}^{2}-R_{A}^{2} \over 1-R_{AB}^{2}}}$$${\displaystyle 0.1^{2}}$${\displaystyle 0.25^{2}}$${\displaystyle 0.4^{2}}$

Cohen の法則は、次の式を使用して、逆方向に作用する因子分散分析 (ANOVA) でも見つけることができます。 ${\displaystyle {\hat {f}}}$$${\displaystyle {\hat {f}}_{\text{effect}}={\sqrt {(F_{\text{effect}}df_{\text{effect}}/N)}}.}$$

ANOVA のバランスのとれた設計 (グループ間でサンプル サイズが同等) では、対応する母集団パラメータは、 μ _{j が} 合計K グループのうちの j 番目のグループ内の^母集団平均、σ が各グループ内の同等の母集団標準偏差を表します。SSはANOVA の平方和です。 ${\displaystyle f^{2}}$$${\displaystyle {SS(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})} \over {K\times \sigma ^{2}},}$$

相関差の測定に使われるもう一つの指標はコーエンのqです。これは2つのフィッシャー変換されたピアソン回帰係数の差です。記号で表すと、 $${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{1}}{1-r_{1}}}-{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+r_{2}}{1-r_{2}}}}$$

ここで、r ₁とr ₂は比較される回帰です。q の期待値は0で、その分散は N ₁とN _{2 は} それぞれ最初の回帰と 2 番目の回帰のデータ ポイントの数です。 $${\displaystyle \operatorname {var} (q)={\frac {1}{N_{1}-3}}+{\frac {1}{N_{2}-3}}}$$

2 つのグループの比較に関する生の効果サイズは、本質的に 2 つの平均値の差として計算されます。ただし、解釈を容易にするために、効果サイズを標準化するのが一般的です。統計標準化のさまざまな規則を以下に示します。

平均に基づく（集団）効果サイズθは、通常、2つの集団間の標準化平均差（SMD）を考慮します^{[22] ：78} ここで、μ1_は一方の集団の平均、μ2_はもう一方の集団の平均、σはどちらか一方または両方の集団に基づく 標準偏差です。$${\displaystyle \theta ={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }},}$$

実際の設定では、母集団の値は通常は不明であり、サンプル統計から推定する必要があります。平均に基づく効果サイズのいくつかのバージョンは、どの統計が使用されるかによって異なります。

この効果サイズの形式はt検定統計量の計算に似ていますが、 t検定統計量には という係数が含まれるという重要な違いがあります。つまり、特定の効果サイズでは、有意水準はサンプル サイズとともに増加します。t検定統計量とは異なり、効果サイズは母集団パラメータを推定することを目的としており、サンプル サイズの影響を受けません。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

SMD値が0.2～0.5の場合は小さい、0.5～0.8の場合は中、0.8を超える場合は大きいとみなされます。^[23]

コーエンのdは、2つの平均値の差をデータの標準偏差で割った値として定義されます。 $${\displaystyle d={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s}}.}$$

ジェイコブ・コーエンは、プールされた標準偏差sを（ 2つの独立したサンプルについて）次のように定義しました。^{[10] ：67} ここで、一方のグループの分散は次のように定義され 、もう一方のグループについても同様です。 $${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$$$${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}(x_{1,i}-{\bar {x}}_{1})^{2},}$$

以下の表には、d = 0.01から2.0の大きさの記述子が含まれています。これは、当初コーエン（彼は、これらの値が事実上の標準になることに警告し、解釈の柔軟性を促しました）によって提案され、サウィロウスキーによって拡張されました。^[11]

他の著者は、分母に「-2」が付かない「コーエンのd 」を参照する際に、標準偏差のわずかに異なる計算方法を選択している^{[24] [25] 。14} この「コーエンのd 」 の定義は、ヘッジスとオルキンによって最大尤度推定量と呼ばれており、 ^{[22]ヘッジスの}g とはスケーリング係数によって関連している（以下を参照）。 $${\displaystyle s={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}$$

2つの対になったサンプルで、差スコアの分布を調べます。その場合、sは差スコアの分布の標準偏差です。これにより 、 2つのグループの平均の差を検定するt統計量とCohenのdの間に次の関係が作成されます。 $${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\text{SE}}}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\frac {\text{SD}}{\sqrt {N}}}}={\frac {{\sqrt {N}}({\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2})}{SD}}}$$$${\displaystyle d={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{\text{SD}}}={\frac {t}{\sqrt {N}}}}$$

コーエンのdは、統計的検定のサンプルサイズを推定する際によく使用されます。コーエンのdが低いほど、より大きなサンプルサイズが必要であることを示し、逆もまた同様です。これは、望ましい有意水準と統計的検出力の追加パラメータと併せて後で決定できます。^[26]

コーエンは、対になったサンプルについて、計算されたdは実際にはd'であり、検定力を得るための正しい答えを提供しないこと、そして提供された表の値を調べる前に、次の式のようにrを補正する必要があることを示唆している。^[27] $${\displaystyle d={\frac {d'}{\sqrt {1-r}}}.}$$

1976年にジーン・V・グラスは、第2群の標準偏差のみを用いた効果量の推定法を提案した^{[22] ：78} $${\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s_{2}}}}$$

2 番目のグループは対照群とみなすことができ、グラスは、複数の治療法を対照群と比較する場合は、平均が等しく分散が異なる場合でも効果サイズに差が出ないように、対照群から計算された標準偏差のみを使用する方がよいと主張しました。

母集団の分散が等しいという正しい仮定の下では、σのプールされた推定値はより正確になります。

1981年にラリー・ヘッジスが提案したヘッジスのg ^[28]は、 標準化差に基づく他の尺度と同様である^{[22] 。79} ここで、プールされた標準偏差は次のように計算される。 $${\displaystyle g={\frac {{\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2}}{s^{*}}}}$$${\displaystyle s^{*}}$$${\displaystyle s^{*}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$

しかし、母集団効果サイズθの推定値としてはバイアスがかかっています。それでも、このバイアスは係数を掛けることで近似的に補正できます。Hedges とOlkinは、このバイアスの少ない推定値をdと呼んでいますが、^[22]これはCohenのdと同じではありません。補正係数J ()の正確な形式はガンマ関数を含みます^{[22] : 104} Hedgesのgのマルチレベル変種もあり、例えばクラスターランダム化比較試験（CRT）で使用されます。^[29] CRTでは、学校や教室などのクラスターをさまざまな条件にランダム化し、教育研究で頻繁に使用されます。 $${\displaystyle g^{*}=J(n_{1}+n_{2}-2)\,\,g\,\approx \,\left(1-{\frac {3}{4(n_{1}+n_{2})-9}}\right)\,\,g}$$${\displaystyle g^{*}}$ $${\displaystyle J(a)={\frac {\Gamma (a/2)}{{\sqrt {a/2\,}}\,\Gamma ((a-1)/2)}}.}$$

多重比較（例えば、 ANOVA ）のための同様の効果サイズ推定量はΨ二乗平均平方根標準化効果である：^[20] ここでkは比較におけるグループの数である。 $${\displaystyle \Psi ={\sqrt {{\frac {1}{k-1}}\cdot \sum _{j=1}^{k}\left({\frac {\mu _{j}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}}$$

これは本質的に、 dまたはgと同様に、二乗平均平方根で調整されたモデル全体の総合的な差を表します。

さらに、多因子設計の一般化も提供されている。^[20]

データがガウス分布している場合、スケールされたHedgesのg、は非心パラメータと自由度( n ₁ + n ₂ − 2)を持つ非心t分布に従います。同様に、スケールされたGlassのΔは自由度 n ₂ − 1で分布します。${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\,g}$ ${\textstyle {\sqrt {n_{1}n_{2}/(n_{1}+n_{2})}}\theta }$

分布から、効果サイズの 期待値と分散を計算することができます。

場合によっては、分散の大規模サンプル近似が使用される。ヘッジスの不偏推定量の分散に関する1つの提案は^{[22]である ：86} $${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}(g^{*})={\frac {n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}}+{\frac {(g^{*})^{2}}{2(n_{1}+n_{2})}}.}$$

マハラノビス距離（D）は、変数間の関係を考慮したコーエンのdの多変量一般化である。^[30]

カイ二乗検定_でよく使われる関連性の尺度は、ファイ係数とクラメールのV（クラメールのファイとも呼ばれ、φcと表記される）である。ファイは、点双列相関係数およびコーエンのdと関連しており、2つの変数（2×2）間の関係の程度を推定する。^[31]クラメールのVは、2つ以上のレベルを持つ変数で使用されることがある。

ファイは、カイ二乗統計量をサンプルサイズで割った値の平方根を求めることで計算できます。

同様に、クラメールの V は、カイ二乗統計量の平方根をサンプルサイズと最小次元の長さ ( kは行数rまたは列数 cのうち小さい方) で割って計算されます。

φc_は2つの離散変数の相互相関であり^{[32] 、} rまたはcの任意の値に対して計算できます。ただし、カイ2乗値はセルの数とともに増加する傾向があるため、rとcの差が大きいほど、有意な相関の強い証拠がなくてもVが1に近づく可能性が高くなります。

カイ二乗検定に使用される効果サイズの別の尺度は、コーエンのオメガ（）です。これは次のように定義されます。 ここで、p _{0 i}はH ₀におけるi^番目のセルの割合、p _{1 i}はH ₁におけるi^番目のセルの割合、m はセルの数です。 ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}{\frac {(p_{1i}-p_{0i})^{2}}{p_{0i}}}}}}$$

コーエンは、「行動科学のための統計的検出力分析」 （1988 年、224 ～ 225 ページ）で、オメガを解釈するための一般的なガイドラインを示しています（下の表を参照）。ただし、オメガは「特定の実質的なコンテキストでは不適切である可能性がある」ため、代わりにコンテキストに関連した判断を使用するよう警告しています。

オッズ比(OR) も、役に立つ効果サイズです。これは、研究課題が 2 つの2 値変数間の関連の度合いに焦点を当てている場合に適しています。たとえば、スペリング能力の調査を考えてみましょう。コントロール グループでは、不合格者 1 人に対して合格者 2 人なので、合格のオッズは 2 対 1 (または 2/1 = 2) です。治療グループでは、不合格者 1 人に対して合格者 6 人なので、合格のオッズは 6 対 1 (または 6/1 = 6) です。治療グループの合格のオッズはコントロール グループの 3 倍高い (6 を 2 で割ると 3 になるため) ことに着目することで、効果サイズを計算できます。したがって、オッズ比は 3 です。オッズ比の統計は Cohen のdとは異なる尺度であるため、この「3」は Cohen のd 3 と比較することはできません。

相対リスク( RR) はリスク比とも呼ばれ、あるイベントのリスク (確率) を独立変数と比較したものです。効果サイズのこの尺度は、オッズではなく確率を比較する点でオッズ比と異なりますが、確率が小さい場合は漸近的にオッズ比に近づきます。上記の例を使用すると、コントロール グループと処理グループの合格確率は、それぞれ 2/3 (または 0.67) と 6/7 (または 0.86) です。効果サイズは、確率を使用して、上記と同じように計算できます。したがって、相対リスクは 1.28 です。かなり大きな合格確率が使用されたため、相対リスクとオッズ比の間には大きな差があります。イベントとして (合格ではなく)不合格(より小さな確率) が使用されていた場合、効果サイズの 2 つの尺度の差はそれほど大きくなかったでしょう。

どちらの指標も有用ではあるが、統計的な用途は異なる。医学研究では、オッズ比は症例対照研究でよく使われるが、これは確率ではなくオッズが通常推定されるためである。^{[33]相対リスクは}ランダム化比較試験やコホート研究 でよく使われるが、相対リスクは介入の効果を過大評価する一因となる。^[34]

リスク差（RD）は絶対リスク低減とも呼ばれ、2つのグループ間でのイベントのリスク（確率）の差です。RDは実験的介入がイベントや結果の確率をどの程度変えるかを示すため、実験研究で有用な指標です。上記の例を使用すると、コントロールグループと治療グループの合格確率はそれぞれ2/3（または0.67）と6/7（または0.86）であり、RD効果サイズは0.86-0.67 = 0.19（または19％）です。RDは介入の有効性を評価するための優れた指標です。^[34]

2 つの独立した比率を比較する際の検出力分析で使用される 1 つの尺度は、Cohen の hです。これは次のように定義されます。 ここで、p ₁とp _{2 は}比較される 2 つのサンプルの比率であり、arcsin は逆正弦変換です。 $${\displaystyle h=2(\arcsin {\sqrt {p_{1}}}-\arcsin {\sqrt {p_{2}}})}$$

統計学に携わっていない人々に効果サイズの意味をより簡単に説明するために、共通言語効果サイズは、その名前が示すように、平易な英語で伝えるために考案されました。これは2つのグループ間の違いを説明するために使用され、1992年にケネス・マグロウとSPウォンによって提案され、命名されました。^[35]彼らは、共通言語効果サイズの母集団値を説明する際に、次のような例（男性と女性の身長について）を使用しました。「若い成人男性と女性をランダムに組み合わせた場合、男性が女性より背が高い確率は0.92です。または、もっと簡単に言えば、若い成人の間でブラインドデートを100回行うと、92回は男性が女性より背が高いでしょう」^[35]。

クリフのデルタまたはは、もともと順序データで使用するためにノーマン・クリフによって開発されたもので、 ^{[36] [疑わしい–議論する]、}ある分布の値が2番目の分布の値よりも大きい頻度を測る尺度です。重要なのは、2つの分布の形状や広がりについていかなる仮定も必要としないことです。 ${\displaystyle d}$

サンプル推定値は次のように求められます。 ここで、2 つの分布はそれぞれサイズがとで、項目がそれぞれ と であり、 はアイバーソン ブラケットであり、内容が真の場合は 1、偽の場合は 0 になります。 ${\displaystyle d}$$${\displaystyle d={\frac {\sum _{i,j}[x_{i}>x_{j}]-[x_{i}<x_{j}]}{mn}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle d}$はマン・ホイットニーのU統計量と線形関係にあるが、その符号には差の方向が表れている。マン・ホイットニーのU統計量を考えると、次の式が得られる。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle d={\frac {2U}{mn}}-1}$$

標準化効果サイズの信頼区間、特にコーエンの信頼区間と信頼区間は、非心度パラメータ( ncp ) の信頼区間の計算に依存します。 ncpの信頼区間を構築する一般的な方法は、観測統計量を裾の四分位数α /2 と (1 −  α /2) に適合させるための臨界ncp値を見つけることです。 SAS および R パッケージ MBESS は、 ncpの臨界値を見つけるための関数を提供します。 ${\displaystyle {d}}$${\displaystyle f^{2}}$

単一グループの場合、M はサンプル平均、μ は母集団平均、SD はサンプルの標準偏差、σ は母集団の標準偏差、nはグループのサンプル サイズを表します。t値は、平均とベースラインμベース_ラインの差に関する仮説をテストするために使用されます 。通常、μ_{ベースライン}は 0 です。2 つの関連グループの場合、単一グループはサンプルのペアの差によって構成されますが、SDとσ は、元の 2 つのグループ内ではなく、サンプルと母集団の差の標準偏差を表します。 および Cohen の $${\displaystyle t:={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{\text{SE}}}={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{{\text{SD}}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\sqrt {n}}\left({\frac {M-\mu }{\sigma }}\right)+{\sqrt {n}}\left({\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}\right)}{\frac {\text{SD}}{\sigma }}}}$$ $${\displaystyle ncp={\sqrt {n}}\left({\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}\right)}$$$${\displaystyle d:={\frac {M-\mu _{\text{baseline}}}{\text{SD}}}}$$

の点推定値である $${\displaystyle {\frac {\mu -\mu _{\text{baseline}}}{\sigma }}.}$$

それで、

${\displaystyle {\tilde {d}}={\frac {ncp}{\sqrt {n}}}.}$

n ₁またはn _{2 は}それぞれのサンプルサイズです。 $${\displaystyle t:={\frac {M_{1}-M_{2}}{{\text{SD}}_{\text{within}}/{\sqrt {\frac {2*n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}},}$$

ここで $${\displaystyle {\text{SD}}_{\text{within}}:={\sqrt {\frac {{\text{SS}}_{\text{within}}}{{\text{df}}_{\text{within}}}}}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1){\text{SD}}_{1}^{2}+(n_{2}-1){\text{SD}}_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}.}$$ $${\displaystyle ncp={\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}{\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }}}$$

そしてコーエンの 推定値は$${\displaystyle d:={\frac {M_{1}-M_{2}}{SD_{\text{within}}}}}$$${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\sigma }}.}$

それで、 $${\displaystyle {\tilde {d}}={\frac {ncp}{\sqrt {\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}}.}$$

一元配置分散分析検定では、非心 F 分布が適用されます。一方、母集団の標準偏差が与えられている場合は、同じ検定問題で非心カイ二乗分布が適用されます。 ${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle F:={\frac {{\frac {{\text{SS}}_{\text{between}}}{\sigma ^{2}}}/{\text{df}}_{\text{between}}}{{\frac {{\text{SS}}_{\text{within}}}{\sigma ^{2}}}/{\text{df}}_{\text{within}}}}}$$

i番目のグループX _{i , j}内のj番目のサンプルごとに、 $${\displaystyle M_{i}(X_{i,j}):={\frac {\sum _{w=1}^{n_{i}}X_{i,w}}{n_{i}}};\;\mu _{i}(X_{i,j}):=\mu _{i}.}$$

その間、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{SS}}_{\text{between}}/\sigma ^{2}&={\frac {{\text{SS}}\left(M_{i}(X_{i,j});i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)}{\sigma ^{2}}}\\&={\text{SS}}\left({\frac {M_{i}(X_{i,j}-\mu _{i})}{\sigma }}+{\frac {\mu _{i}}{\sigma }};i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)\\&\sim \chi ^{2}\left({\text{df}}=K-1,\;ncp=SS\left({\frac {\mu _{i}(X_{i,j})}{\sigma }};i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

したがって、Fとncp ( s )は等しい ${\displaystyle \chi ^{2}}$$${\displaystyle {\text{SS}}\left(\mu _{i}(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right).}$$

同じサイズのK 個の独立したグループの場合、合計サンプルサイズはN  :=  n · Kです。 ${\displaystyle n:=n_{1}=n_{2}=\cdots =n_{K}}$$${\displaystyle {\text{Cohens }}{\tilde {f}}^{2}:={\frac {{\text{SS}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{K})}{K\cdot \sigma ^{2}}}={\frac {{\text{SS}}\left(\mu _{i}(X_{i,j})/\sigma ;i=1,2,\dots ,K,\;j=1,2,\dots ,n_{i}\right)}{n\cdot K}}={\frac {ncp}{n\cdot K}}={\frac {ncp}{N}}.}$$

独立したグループのペアに対するt検定は、一元配置分散分析の特殊なケースです。Fの非心度パラメータは、対応する t の非心度パラメータと比較できないことに注意してください。実際には、、およびです。 ${\displaystyle ncp_{F}}$${\displaystyle ncp_{t}}$${\displaystyle ncp_{F}=ncp_{t}^{2}}$${\displaystyle {\tilde {f}}=\left|{\frac {\tilde {d}}{2}}\right|}$

• 推定統計
• 統計的有意性
• Z係数、効果の大きさの代替指標

• Aaron, B.、Kromrey, JD、Ferron, JM (1998 年 11 月)。r ベースと d ベースの効果サイズ指数の等式化: 一般的に推奨される公式の問題点。フロリダ州オーランドのフロリダ教育研究協会年次会議で発表された論文。(ERIC 文書複製サービス番号 ED433353)
• Bonett, DG (2008). 「標準化された平均の線形対比の信頼区間」.心理学的方法. 13 (2): 99–109. doi :10.1037/1082-989x.13.2.99. PMID  18557680.
• Bonett, DG (2009). 「望ましい精度で平均の標準化線形対比を推定する」.心理学的方法. 14 (1): 1–5. doi :10.1037/a0014270. PMID  19271844.
• Brooks, ME; Dalal, DK; Nolan , KP (2013)。「共通言語の効果サイズは従来の効果サイズよりも理解しやすいか？」応用心理学ジャーナル。99 (2): 332–340。doi :10.1037/a0034745。PMID  24188393。
• Cumming, G.; Finch, S. (2001). 「中心分布と非中心分布に基づく信頼区間の理解、使用、計算に関する入門書」.教育および心理測定. 61 (4): 530–572. doi :10.1177/0013164401614002. S2CID  120672914.
• Kelley, K (2007). 「標準化された効果サイズの信頼区間: 理論、応用、実装」.統計ソフトウェアジャーナル. 20 (8): 1–24. doi : 10.18637/jss.v020.i08 .
• Lipsey, MW, & Wilson, DB (2001).実践的メタ分析. Sage: Thousand Oaks, CA.

ウィキバーシティには効果サイズに関する学習リソースがあります

さらなる説明

• 効果サイズ (ES)
• EffectSizeFAQ.com
• EstimationStats.com 効果サイズ プロットを生成するための Web アプリ。
• 効果の大きさの測定
• ViSta による効果サイズ測定の計算と解釈 2014-12-27 にWayback Machineでアーカイブ
• 統計計算のための R プロジェクト用の effsize パッケージ