スペクトルリスク測定

スペクトルリスク指標は、結果の加重平均として与えられるリスク指標であり、悪い結果には通常、より大きな重みが付けられます。スペクトルリスク指標はポートフォリオの収益の関数であり、準備金として保持する通貨（通常は通貨）の量を出力します。スペクトルリスク指標は常に一貫したリスク指標ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。スペクトル指標の利点は、ポートフォリオの収益の可能性に与えられる重みを通じて、リスク回避、特に効用関数に関連付けることができることです。^[1]

ポートフォリオ （ポートフォリオのペイオフを表す）を考えてみましょう。すると、スペクトルリスク測度は、非負、非増加、右連続、積分可能な関数で、次 のように定義されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (p)dp=1}$

${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p)F_{X}^{-1}(p)dp}$

ここでXの累積分布関数である。^{[2] [3]}${\displaystyle F_{X}}$

順序統計量によって与えられる対応する報酬を伴う等確率の結果がある場合。 とします。によって定義される尺度は 、条件を満たす 場合のリスクのスペクトル尺度です。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{1:S},...X_{S:S}}$${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$${\displaystyle M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:S}}$${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} ^{S}}$

1. 非負性:すべての に対して、${\displaystyle \phi _{s}\geq 0}$${\displaystyle s=1,\dots ,S}$
2. 正規化: 、${\displaystyle \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1}$
3. 単調性：は非増加である、つまり、かつである。^[4]${\displaystyle \phi _{s}}$${\displaystyle \phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2}}}$${\displaystyle {s_{1}}<{s_{2}}}$${\displaystyle {s_{1}},{s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}}$

スペクトルリスク尺度も首尾一貫しています。すべてのスペクトルリスク尺度は以下を満たします。 ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} }$

1. 正の同次性:すべてのポートフォリオXと正の値に対して、${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \rho (\lambda X)=\lambda \rho (X)}$
2. 変換不変性: すべてのポートフォリオXおよびに対して、${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a}$
3. 単調性:となるすべてのポートフォリオXとYについて、${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)}$
4. 劣加法性: すべてのポートフォリオXとYについて、${\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)}$
5. 法則不変性:累積分布関数がそれぞれ とであるすべてのポートフォリオXとYについて、の場合、 ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle F_{Y}}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}}$${\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)}$
6. 共単調加法性: 任意の共単調ランダム変数 X と Y に対して、。任意のに対してXと Y が共単調であることに注意。 [ 2 ^]${\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0}$

いくつかのテキスト^{[ which? ]}では、入力Xはポートフォリオのペイオフではなく損失として解釈されます。この場合、変換不変性プロパティは によって与えられ、単調性プロパティは上記の代わりに によって与えられます。 ${\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)+a}$${\displaystyle X\geq Y\implies \rho (X)\geq \rho (Y)}$

• 予想される不足額はリスクのスペクトル的な尺度です。
• 期待値は、当然ながらリスクのスペクトル尺度です。

• 歪みリスク測定