動的リスク測定

金融数学において、条件付きリスク測度は、将来のある時点で測定された金融リスク（特に下落リスク）のランダム変数です。リスク測度は、自明なシグマ代数上の条件付きリスク測度と考えることができます。

動的リスク指標は、異なる時点におけるリスク評価がどのように関連しているかという問題を扱うリスク指標である。これは、条件付きリスク指標のシーケンスとして解釈することができる。^[1]

動的リスク測定に対する別のアプローチがノヴァックによって提案されている。^[2]

ある最終時点におけるポートフォリオの 収益を、一様に制限されたランダム変数、すなわちポートフォリオのペイオフとして考える。マッピングは、ランダムポートフォリオ収益に対して以下の特性を持つ場合、条件付きリスク尺度である：^{[3] [4]}${\displaystyle T}$${\displaystyle X\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$${\displaystyle \rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)}$${\displaystyle X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$

条件付き現金不変性

${\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}}$^{[説明が必要]}

単調性

${\displaystyle \mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {then} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$^{[説明が必要]}

正規化

${\displaystyle \rho_{t}(0)=0}$^{[説明が必要]}

条件付き凸リスク測度である場合、次の特性も持ちます。

条件付き凸性

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$^{[説明が必要]}

条件付きコヒーレントリスク尺度は、さらに以下の条件を満たす条件付き凸リスク尺度です。

条件付き正の同質性

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)}$^{[説明が必要]}

条件付きリスク尺度に関連付けられた 時点の受け入れセットは${\displaystyle t}$

${\displaystyle A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X)\leq 0{\text{ as}}\}}$。

時間に受容集合が与えられている場合、対応する条件付きリスク尺度は ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}}$

ここで は必須の最小値である。^[5]${\displaystyle {\text{ess}}\inf }$

条件付きリスク測度は、任意の に対して が であり、が上の指示関数である場合、正則であるといわれる。任意の正規化された条件付き凸リスク測度は正則である。^[3]${\displaystyle \rho_{t}}$${\displaystyle X\in L_{T}^{\infty}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)}$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

これを金融的に解釈すると、ある将来のノード (つまり) における条件付きリスクは、そのノードの可能な状態にのみ依存することになります。二項モデルでは、これは問題のポイントから分岐するサブツリーのリスクを計算することに似ています。 ${\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]}$

動的リスク尺度が時間的に一貫しているのは、次の場合のみである。^[6]${\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$

動的スーパーヘッジ価格には、という形式の条件付きリスク尺度が含まれます 。これは時間的に一貫したリスク尺度であることが示されています。 ${\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$