ムーアプレーン

数学において、ムーア平面はニーミツキー平面（またはネミツキー平面、ネミツキーの接円板位相）とも呼ばれる位相空間である。これは正規ではない完全に正則な ハウスドルフ空間（つまり、チコノフ空間）である。距離化できないムーア空間の一例である。ロバート・リー・ムーアとヴィクトル・ウラジミロヴィチ・ネミツキーにちなんで名付けられた。

が（閉じた）上半平面である場合、次のように 局所基底をとることによってトポロジーを定義できます。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\geq 0\}}$${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)}$

• の点における局所基底の要素は、内に収まるほど小さい平面上の開円板です。${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y>0}$${\displaystyle \ガンマ}$
• 点における局所基底の要素は、A がpでx軸に接する上半平面上の開いた円板である集合です。${\displaystyle p=(x,0)}$${\displaystyle \{p\}\cup A}$

つまり、局所基底は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {B}}(p,q)={\begin{cases}\{U_{\epsilon }(p,q):=\{(x,y):(xp)^{2}+(yq)^{2}}},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(xp)^{2}+(y-\epsilon )^{2}}},&{\mbox{if }}q=0.\end{cases}}}$

したがって、が継承するサブスペース トポロジは、ユークリッド平面の標準トポロジから継承されるサブスペース トポロジと同じです。 ${\displaystyle \Gamma \backslash \{(x,0)|x\in \mathbb {R} \}}$

• ムーア平面は分離可能であり、つまり可算な稠密な部分集合を持ちます。${\displaystyle \ガンマ}$
• ムーア平面は完全に正規なハウスドルフ空間（つまりチコノフ空間）ですが、正規ではありません。
• の部分空間は、その部分空間位相として離散位相を持ちます。したがって、ムーア平面は、可分空間の部分空間が必ずしも可分である必要はないことを示しています。${\displaystyle \{(x,0)\in \Gamma |x\in R\}}$${\displaystyle \ガンマ}$
• ムーア平面は第一に可算ですが、第二に可算でもリンデレフでもありません。
• ムーア平面は局所的にコンパクトではありません。
• ムーア平面は可算メタコンパクトだが、メタコンパクトではない。

この空間が正規ではないという事実は、次の数え上げの議論によって証明できます (これは、ソルゲンフライ平面が正規ではないという議論と非常によく似ています)。 ${\displaystyle \ガンマ}$

1. 一方、有理座標を持つ点の可算集合は において稠密です。したがって、すべての連続関数はへの制限によって決定され、上には最大で 個の連続実数値関数が存在します。${\displaystyle S:=\{(p,q)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :q>0\}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle f:\Gamma \to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|S|}=2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \ガンマ}$
2. 一方、実数直線は多くの点を持つの閉じた離散部分空間です。したがって、 Lからへの連続関数は多数存在します。これらの関数のすべてが 上の連続関数に拡張できるわけではありません 。${\displaystyle L:=\{(p,0):p\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}>2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ガンマ}$
3. したがって、は正規ではありません。なぜなら、 Tietze 拡張定理により、正規空間の閉じた部分空間上で定義されたすべての連続関数は、空間全体の連続関数に拡張できるからです。${\displaystyle \ガンマ}$

実際、X が非可算な閉じた離散部分空間を持つ可分位相空間である場合、 X は正規になりません。

• ハリネズミスペース

• スティーブン・ウィラード著『一般位相幾何学』（1970年）アディソン・ウェズリーISBN  0-201-08707-3。
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446 （例82）
• 「ニーミツキ平面」。PlanetMath。