均一化可能な空間

数学において、位相空間 Xが均一化可能であるとは、 X上にXの位相を誘導する均一構造が存在する場合である。同様に、Xが均一化可能であるのは、 （均一構造によって誘導される位相を備えた）均一空間に 同相である場合に限る。

任意の(擬似)距離化可能空間は均一化可能です。なぜなら、(擬似) 距離の一様性は (擬似) 距離位相を誘導するからです。逆は成り立ちません。均一化可能空間であっても (擬似) 距離化可能でない空間が存在します。しかし、均一化可能空間の位相は常に擬似距離の族によって誘導できることは事実です。実際、これは集合X上の任意の一様性が擬似距離の族によって 定義できるためです。

空間が均一化可能であることを示すことは、距離化可能であることを示すよりもはるかに簡単です。実際、均一化可能性は共通の分離公理と同等です。

位相空間が均一化可能であるのは、それが完全に正則である場合のみです。

位相空間X上に一様構造を構築する一つの方法は、 X上の実数値連続関数の族であるC ( X )によって誘導されるX上の初期一様性を取ることである。これは、そのような関数がすべて一様連続であるX上の最も粗い一様性である。この一様性のサブベースは、すべての側近の集合によって与えられる。

${\displaystyle D_{f,\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:|f(x)-f(y)|<\varepsilon \}}$

ここでf∈C ( X )かつε >0である。

上記の一様性によって生成される一様位相は、族C ( X ) によって誘導される初期位相です。一般に、この位相はX上の与えられた位相よりも粗くなります。2 つの位相は、 Xが完全に正則である場合にのみ一致します。

均一化可能な空間Xが与えられたとき、 Xの位相と両立する最も微細な均一性がX上に存在し、これを微細均一性または普遍均一性と呼びます。均一空間は、その均一位相によって生成される微細な均一性を持つ場合、 微細であると言われます。

微細一様性は、普遍的性質によって特徴付けられます。微細空間Xから一様空間Yへの任意の連続関数fは一様連続です。これは、任意の完全正則空間XにX上の微細一様性を割り当てる関数F  : CReg → Uniが、その基礎となる完全正則空間に一様空間を送る忘却関数の左随伴であることを意味します。

明示的には、完全に正則な空間X上の細かい一様性は、X × X (積位相)の対角線のすべての開近傍Dによって生成され、 D = D ₁かつとなる対角線の開近傍のシーケンスD ₁、D ₂、…が存在するようになります。 ${\displaystyle D_{n}\circ D_{n}\subseteq D_{n-1}}$

C ( X )によって誘導される完全正規空間X上の一様性(前のセクションを参照)は、必ずしも微細一様性とは限りません。

• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。マサチューセッツ州レディング:アディソンウェスレー。ISBN 0-486-43479-6。