細胞代数

抽象代数において、細胞代数は、Aの表現理論 の研究に特に適した、優れた細胞基底を持つ有限次元 の結合代数 Aです。

この記事で議論されている細胞代数は、1996年のグラハムとレーラーの論文で紹介されました。^{[1]しかし、この用語は、1960年代にソビエト連邦で}ワイスファイラーとレーマンによって、コヒーレント代数としても知られるものを説明するために 使用されていました。 ^{[2] [3] [4]}

を単位を持つ固定された可換環とします。ほとんどのアプリケーションではこれは体ですが、定義には必要ありません。を-代数とします。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

のセルデータは、次の要素からなる 組です。${\displaystyle A}$${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$

• 有限の部分順序集合 。${\displaystyle \Lambda}$
• A -を持つ線型反自己同型。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i:A\to A}$${\displaystyle i^{2}=\operatorname {id} _{A}}$
• 空でない有限のインデックスセットごとに。${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle M(\lambda )}$
• 単射写像​

${\displaystyle C:{\dot {\bigcup }}_{\lambda \in \Lambda }M(\lambda )\times M(\lambda )\to A}$

このマップの下の画像は、上部のインデックスと 2 つの下部のインデックスで表記されており、画像の代表的な要素は と表記されます。${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )}$${\displaystyle C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }}$

以下の条件を満たすこと:

1. のイメージはの-ベースです。${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$
2. ${\displaystyle i(C_{\mathfrak {st}}^{\lambda })=C_{\mathfrak {ts}}^{\lambda }}$基底のすべての要素に対して。
3. あらゆるおよびあらゆるに対して、方程式${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )}$${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle aC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }\equiv \sum _{{\mathfrak {u}}\in M(\lambda )}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {ut}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )}$

係数はと にのみ依存し、には依存しません。ここで は、上側インデックスが より小さいすべての基底要素の -スパンを表します。${\displaystyle r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})\in R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle A(<\lambda )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda }$

この定義はもともと、細胞代数を発明したグラハムとレーラーによって与えられたものである。^[1]

を - 代数の反自己同型とします (以降は 単に「反転」と呼びます)。${\displaystyle i:A\to A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i^{2}=\operatorname {id} }$

wrtのセルイデアルは、次の条件が満たされる 両側イデアルです。${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle J\subseteq A}$

1. ${\displaystyle i(J)=J}$。
2. -加群として自由な左イデアルと同型が存在する${\displaystyle \Delta \subseteq J}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \alpha :\Delta \otimes _{R}i(\Delta )\to J}$

およびが次の意味で互換性がある ような双加群の${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \forall x,y\in \Delta :i(\alpha (x\otimes i(y)))=\alpha (y\otimes i(x))}$

wrtのセルチェーンは直接分解として定義されます${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle A=\bigoplus _{k=1}^{m}U_{k}}$

自由部分 加群に${\displaystyle R}$

1. ${\displaystyle i(U_{k})=U_{k}}$
2. ${\displaystyle J_{k}:=\bigoplus _{j=1}^{k}U_{j}}$は、両面的な理想である${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle J_{k}/J_{k-1}}$誘導された退縮に対する理想的な細胞です。${\displaystyle A/J_{k-1}}$

セルチェーンを持つ場合、はセル代数と呼ばれます。2つの定義は同等であることがわかります。 ^[5]すべての基底はセルチェーン（の位相順序ごとに1つ）を生成し、すべての左イデアルの基底を選択すると、 に対応するセル基底を構築できます。 ${\displaystyle (A,i)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Delta /J_{k-1}\subseteq J_{k}/J_{k-1}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle R[x]/(x^{n})}$細胞データは次の ように与えられ、${\displaystyle i=\operatorname {id} }$

• ${\displaystyle \Lambda :=\lbrace 0,\ldots ,n-1\rbrace }$自然な順序とは逆になります。
• ${\displaystyle M(\lambda ):=\lbrace 1\rbrace }$
• ${\displaystyle C_{11}^{\lambda }:=x^{\lambda }}$

2番目の抽象的な定義における細胞鎖は次のように表される。

${\displaystyle 0\subseteq (x^{n-1})\subseteq (x^{n-2})\subseteq \ldots \subseteq (x^{1})\subseteq (x^{0})=R[x]/(x^{n})}$

${\displaystyle R^{\,d\times d}}$細胞データは次の ように与えられ、${\displaystyle i(A)=A^{T}}$

• ${\displaystyle \Lambda :=\lbrace 1\rbrace }$
• ${\displaystyle M(1):=\lbrace 1,\dots ,d\rbrace }$
• 基底には標準行列単位を選択します。つまり、 ( s、t ) 番目の要素が 1 に等しいことを除き、すべての要素が 0 に等しい行列です。${\displaystyle C_{st}^{1}:=E_{st}}$${\displaystyle C_{st}^{1}}$

細胞鎖（そして実際には唯一の細胞鎖）は次のように与えられる。

${\displaystyle 0\subseteq R^{\!d\times d}}$

ある意味では、すべての細胞代数は、行列代数のような部分をposet に従って配置することによって、これら 2 つの極端な状態の間を「補間」します。 ${\displaystyle \Lambda }$

ちょっとした技術的な問題を除けば、有限型の岩堀-ヘッケ代数はすべて、標準基底を として写像する反転に関して細胞的である。^[6]これには、たとえば対称群の整群代数や、他のすべての有限ワイル群が含まれる。 ${\displaystyle T_{w}\mapsto T_{w^{-1}}}$

体上の基本的なブラウアー木代数は、ブラウアー木が直線（任意の数の例外頂点を持つ）である場合に限り、細胞的である。 ^[5]

その他の例としては、q-シューア代数、ブラウアー代数、テンペリー-リープ代数、バーマン-村上-ウェンツル代数、半単純リー代数のベルンシュタイン-ゲルファンド-ゲルファンドカテゴリのブロックなどがある。^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

が細胞状で、がの細胞データであると仮定する。すると、細胞モジュールを、基底と乗法を 持つ自由 - モジュールとして定義する。${\displaystyle A}$${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(\lambda )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lbrace C_{\mathfrak {s}}\mid {\mathfrak {s}}\in M(\lambda )\rbrace }$

${\displaystyle aC_{\mathfrak {s}}:=\sum _{\mathfrak {u}}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {u}}}$

ここで係数は上記と同じです。すると左加群になります。 ${\displaystyle r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})}$${\displaystyle W(\lambda )}$${\displaystyle A}$

これらのモジュールは、対称群とタイプ A の Hecke 代数に対する Specht モジュールを一般化します。

を満たす 標準的な双線型形式が存在する。${\displaystyle \phi _{\lambda }:W(\lambda )\times W(\lambda )\to R}$

${\displaystyle C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }C_{\mathfrak {uv}}^{\lambda }\equiv \phi _{\lambda }(C_{\mathfrak {t}},C_{\mathfrak {u}})C_{\mathfrak {sv}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )}$

すべてのインデックスに対して。 ${\displaystyle s,t,u,v\in M(\lambda )}$

が対称的であることは、次の意味で 確認できる。${\displaystyle \phi _{\lambda }}$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x,y)=\phi _{\lambda }(y,x)}$

すべてに対して不変で あり、${\displaystyle x,y\in W(\lambda )}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(i(a)x,y)=\phi _{\lambda }(x,ay)}$

すべてについて、。 ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x,y\in W(\lambda )}$

このセクションの残りの部分では、環が 体であると仮定します。不変双線型形式に含まれる情報を使用して、すべての単純な- モジュールを簡単にリストできます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

すべての に対してと を定義します。すると、すべては絶対単純- 加群であり、すべての単純- 加群はこれらのいずれかです。 ${\displaystyle \Lambda _{0}:=\lbrace \lambda \in \Lambda \mid \phi _{\lambda }\neq 0\rbrace }$${\displaystyle L(\lambda ):=W(\lambda )/\operatorname {rad} (\phi _{\lambda })}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda _{0}}$${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

これらの定理は、グラハムとレーラーの原著論文にすでに登場している。^[1]

• 有限個の細胞代数のテンソル積は細胞的である。${\displaystyle R}$
• -代数は、その反対の代数が細胞状である場合に限り、細胞状である。${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\text{op}}}$
• がセル データを持つ細胞的で、が半集合のイデアル(下向きに閉じた部分集合)である場合、(ここで和は を超え、) は の両側 -不変イデアルであり、商はセル データを持つ細胞的です(ここでi は誘導反転を表し、M、C は制限されたマッピングを表します)。${\displaystyle A}$${\displaystyle (\Lambda ,i,M,C)}$${\displaystyle \Phi \subseteq \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A(\Phi ):=\sum RC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle s,t\in M(\lambda )}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/A(\Phi )}$${\displaystyle (\Lambda \setminus \Phi ,i,M,C)}$
• が細胞- 代数であり、が可換環のユニタリ準同型である場合、スカラーの拡大は細胞- 代数です。${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle S\otimes _{R}A}$${\displaystyle S}$
• 有限個の細胞 - 代数の直積は細胞的である。${\displaystyle R}$

が整域である場合、この最後の点の 逆が存在します。${\displaystyle R}$

• が、反転と両側の -不変イデアルへの分解を持つ有限次元 -代数である場合、以下は同値です。${\displaystyle (A,i)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$${\displaystyle i}$

1. ${\displaystyle (A,i)}$細胞です。
2. ${\displaystyle (A_{1},i)}$そして細胞性です。${\displaystyle (A_{2},i)}$

• 特に のすべてのブロックはが細胞状である場合に -不変であるため、直ちに導かれる帰結として、有限次元 -代数が に関して細胞状であるためには、すべてのブロックが-不変であり、 に関して細胞状である必要があります。${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (A,i)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$
• 細胞代数に対するティッツの変形定理: を細胞-代数とします。また、を体へのユニタリ準同型と の商体とします。このとき、次が成り立ちます: が半単純であれば、も半単純です。${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\to k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle kA}$${\displaystyle KA}$

さらに がローカルドメインであると仮定すると、次のことがさらに成立します。 ${\displaystyle R}$

• が に関して細胞的であり、 がとなるべき等性である場合、代数は細胞的です。${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle e\in A}$${\displaystyle i(e)=e}$${\displaystyle eAe}$

が体であり（ただし、その多くは任意の環、整域、局所環、または少なくとも離散評価環に一般化できます）、反転 に関して細胞的であると仮定します。すると、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$

• ${\displaystyle A}$は分割されます、つまり、すべての単純なモジュールは絶対的に既約ではありません。
• 以下は同等である: ^[1]

1. ${\displaystyle A}$は半単純です。
2. ${\displaystyle A}$分割半単純です。
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda :W(\lambda )}$簡単です。
4. ${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda :\phi _{\lambda }}$は非退化です。

• のカルタン行列 は対称かつ正定値です。${\displaystyle C_{A}}$${\displaystyle A}$
• 以下は同等である: ^[7]

1. ${\displaystyle A}$準遺伝性です（つまり、そのモジュール カテゴリは最高重みカテゴリです）。
2. ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}}$。
3. すべてのセルチェーンの長さは同じです。${\displaystyle (A,i)}$
4. のすべての細胞鎖は同じ長さを持ち、 は細胞であるに関して任意の反転です。${\displaystyle (A,j)}$${\displaystyle j:A\to A}$${\displaystyle A}$
5. ${\displaystyle \det(C_{A})=1}$。

• が と森田同値であり、の特性が2 でない場合、も適切な反転に関して細胞的である。特に、が細胞的である（何らかの反転に対して）のは、その基本代数が である場合に限ります。^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$
• すべてのべき等性はと同値である、すなわち である。 ならば、実際すべての同値類には -不変べき等性が含まれる。^[5]${\displaystyle e\in A}$${\displaystyle i(e)}$${\displaystyle Ae\cong Ai(e)}$${\displaystyle \operatorname {char} (R)\neq 2}$${\displaystyle i}$