一貫性のある代数

コヒーレント代数は、通常の行列乗算、シューア積、転置に対して閉じており、単位行列とすべて1の行列の両方を含む複素正方行列の代数です。^[1] ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

の部分空間がの順序付き連接代数であるとは次の場合に言われます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle I,J\in {\mathcal {A}}}$。
• ${\displaystyle M^{T}\in {\mathcal {A}}}$すべてに対して。${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle MN\in {\mathcal {A}}}$そしてすべてのために。${\displaystyle M\circ N\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle M,N\in {\mathcal {A}}}$

首尾一貫した代数は次のように言われます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 内のすべての行列の対角要素が定数である場合、同次です。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 通常の行列乗算に関して可換である場合、可換です。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 内のすべての行列が対称である場合は対称です。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

コヒーレント代数におけるシュア原始行列の集合は と定義されます。 ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M\circ M=M,M\circ N\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ すべての }}N\in {\mathcal {A}}\}} に対して$

双対的に、コヒーレント代数における原始行列の集合は と定義されます。 ${\displaystyle \Lambda ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Lambda ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M^{2}=M,MN\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ すべての }}N\in {\mathcal {A}}\}} に対して$

• 置換行列群の中心化はコヒーレント代数である。つまり、 は置換行列群に対しての位数のコヒーレント代数である。さらに、グラフの自己同型群を表す置換行列群の中心化が同次であるためには、が頂点推移的である必要がある。^[2]${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {W}}:=\{M\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} ):MP=PM{\text{ すべての }}P\in S\}} に対して$${\displaystyle S}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
• 有限集合に対する有限群の対角作用の同じ軌道にある要素のペアを関連付ける行列の集合のスパンは、コヒーレント代数です。つまり、有限集合のすべてに対して有限群が作用する場合、は次のように定義されます。${\displaystyle {\mathcal {W}}:=\operatorname {span} \{A(u,v):u,v\in V\}}$${\displaystyle A(u,v)\in \operatorname {Mat} _{V\times V}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle (A(u,v))_{x,y}:={\begin{cases}1\ {\text{if }}(x,y)=(u^{g},v^{g}){\text{ for some }}g\in G\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$${\displaystyle u,v\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$
• 有限群を置換行列の群として正規表現する範囲は、首尾一貫した代数です。${\displaystyle \mathbb {C} }$

• 順序のあるコヒーレント代数の集合の交差はコヒーレント代数です。${\displaystyle n}$
• コヒーレント代数のテンソル積はコヒーレント代数です。つまり、と がコヒーレント代数である場合です。${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}:=\{M\otimes N:M\in {\mathcal {A}}{\text{ and }}N\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \operatorname {Mat} _{m\times m}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )}$
• 可換コヒーレント代数の対称化は コヒーレント代数です。${\displaystyle {\widehat {\mathcal {A}}}:=\operatorname {span} \{M+M^{T}:M\in {\mathcal {A}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• がコヒーレント代数である場合、すべての に対して、となり、 が同次である場合はとなります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle M^{T}\in \Gamma ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Gamma ({\mathcal {A}}\right))}$${\displaystyle I\in \Gamma ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• 双対的に、 が可換コヒーレント代数（ の位数）である場合、すべての に対して、、および も成り立ちます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E^{T},E^{*}\in \Lambda ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}J\in \Lambda ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Lambda ({\mathcal {A}}\right))}$
• すべての対称コヒーレント代数は可換であり、すべての可換コヒーレント代数は同次です。
• コヒーレント代数が可換であるためには、それが（可換な）連合スキームのボーズ・メスナー代数である必要があります。^[1]
• 連接代数は、シューア積の下で主イデアル環を形成します。さらに、可換連接代数は、通常の行列乗算の下でも主イデアル環を形成します。

• 協会制度
• ボーズ・メスナー代数