スペクトモジュール

数学において、シュペヒト加群は、ヴィルヘルム・シュペヒト(1935)が研究した対称群の表現の 1 つです。シュペヒト加群は分割によってインデックス付けされ、特性 0 では、 n の分割のシュペヒト加群は、n点上の対称群の既約表現の完全なセットを形成します。

nの分割λと可換環k を固定します。この分割により、 n個のボックスを持つヤング図が決まります。形状 λ のヤング図表は 、このヤング図のボックスに異なる番号を付ける方法です。 ${\displaystyle 1,\dots ,n}$

タブロイドは、各行のエントリを並べ替えることによって 1 つのラベルがもう 1 つのラベルから得られる場合、2 つのラベルが同等である、ヤングのタブロイドの同値類です。λ の形状の各ヤングのタブロイド T に対して、対応するタブロイドを とします。n 点の対称群は、λ の形状のヤングのタブロイドの集合に作用します。したがって、タブロイドと、タブロイドを基底とする 自由kモジュールVに作用します。${\displaystyle \{T\}}$

λの形をしたヤング図Tが与えられたとき、

${\displaystyle E_{T}=\sum _{\sigma \in Q_{T}}\epsilon (\sigma )\{\sigma (T)\}\in V}$

ここで、Q _{T は}順列のサブグループであり、Tのすべての列を（集合として）保存し 、順列 σ の符号です。分割 λ の Specht モジュールは、 T が形状 λ のすべてのタブローを通過するときに、元 E _Tによって生成されるモジュールです。 ${\displaystyle \epsilon (\sigma )}$

Specht モジュールには、標準の Young タブローT の要素E _Tの基底があります。

Spechtモジュールの構築に関する簡単な入門は、「Specht多面体とSpechtマトロイド」のセクション1にあります。^[1]

スペヒト加群の次元は、形状 の標準ヤング図形の数です。これはフックの長さの公式によって与えられます。 ${\displaystyle V_{\lambda}}$${\displaystyle \lambda}$

特性 0 の体上では、Specht 加群は既約であり、対称群の既約表現の完全な集合を形成します。

分割は、同じ（正の）サイズのp 個の部分を持たない場合、p正則（素数pの場合）と呼ばれます。特性p >0 の体では、Specht 加群は既約です。p正則分割の場合、それらは一意の既約商を持ち、これらの既約商は既約表現の完全なセットを形成します。

• Garnir 関係、Specht モジュールの構造のより詳細な説明。

• アンデルセン、ヘニング・ハール（2001）[1994]、「スペクトモジュール」、数学百科事典、EMSプレス
• James, GD (1978)、「第 4 章: Specht モジュール」、対称群の表現理論、数学講義ノート、第 682 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、p. 13、doi :10.1007/BFb0067712、ISBN 978-3-540-08948-3、MR  0513828
• ジェームズ、ゴードン、カーバー、アダルベルト（1981）、対称群の表現理論、数学とその応用百科事典、第16巻、アディソン・ウェズリー出版社、マサチューセッツ州レディング、ISBN 978-0-201-13515-2、MR  0644144
• Specht, W. (1935)、「Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe」、Mathematische Zeitschrift、39 (1): 696–711、doi :10.1007/BF01201387、ISSN  0025-5874