アレフ数

数学、特に集合論において、アレフ数とは、整列可能な無限集合の濃度（またはサイズ）を表すために使用される数列である。これらは数学者ゲオルク・カントール^[1]によって導入され、彼がそれらを表すために使用した記号、ヘブライ文字のアレフ（ℵ）にちなんで名付けられました。^{[2] [a]}

自然数の濃度は ℵ ₀（アレフゼロ、アレフゼロ、またはアレフヌルと読みます）であり、整然とした集合の次に大きい濃度はアレフワン ℵ ₁、その次は ℵ _{2などです。このように続けると、以下で説明するように、すべての}順序数αに対して濃度ℵ _αを定義することができます。

この概念と表記法はゲオルク・カントール^[5]によるもので、 彼は基数の概念を定義し、無限集合が異なる基数を持つことができることに気づいた。

アレフ数は、代数学や微積分学でよく見られる無限大(∞) とは異なります。アレフは集合の大きさを測るのに対し、無限大は一般に、実数直線の極限( 「無限大に発散する」または「無制限に増加する」関数またはシーケンスに適用される)、または拡張された実数直線の極点として定義されます。

ℵ ₀（アレフゼロ、アレフゼロ、またはアレフヌル）は、すべての自然数の集合の濃度であり、無限の濃度です。 ωまたはω ₀（ ω はギリシャ文字の小文字オメガ）と呼ばれるすべての有限順序数の集合は、濃度 ℵ ₀を持ちます。 集合が濃度 ℵ _{0を持つのは、それが}可算無限である場合、つまり、その集合と自然数の間に一対一対応がある場合のみです。そのような集合の例は次のとおりです。

• ゼロを含むか含まないかに関係なく、自然数の集合。
• すべての整数の集合、
• 整数の無限部分集合、例えば平方数全体や素数全体など。
• すべての有理数の集合、
• すべての構成可能な数の集合（幾何学的意味で）、
• すべての代数的数の集合、
• すべての計算可能な数の集合、
• すべての計算可能な関数の集合、
• 有限長のバイナリ文字列の集合、および
• 任意の可算無限集合のすべての有限部分集合の集合。

これらの無限順序数ω、ω + 1、ω⋅2、ω ²は可算無限集合に含まれる。^[6]例えば、すべての正の奇数の後にすべての正の偶数が続く （順序数ω⋅2）列は、

{1、3、5、7、9、...; 2、4、6、8、10、...}

正の整数の集合（濃度ℵ ₀）の順序です。

可算選択公理（選択公理の弱いバージョン）が成り立つ場合、ℵ ₀は他のどの無限基数よりも小さく、したがって（唯一の）最小の無限順序数です。

ℵ _{1は、定義により、すべての可算}順序数の集合の濃度です。この集合は ω ₁ (または Ω の場合もあります) と表記されます。集合 ω ₁自体はすべての可算順序数よりも大きい順序数であるため、非可算集合です。したがって、 ℵ _{1 はℵ 0}とは異なります。 ℵ ₁の定義は(選択公理のないツェルメロ–フレンケル集合論 (ZF) では) ℵ ₀と ℵ _{1 の}間には基数が存在しないことを意味します。選択公理を使用すると、基数のクラスが完全に順序付けられていることがさらに証明され、したがって ℵ _{1 は}2 番目に小さい無限基数になります。集合 ω _{1の最も有用な特性の 1 つを示すことができます。ω 1}の任意の可算部分集合は、ω ₁に上限を持ちます(これは、可算数の可算集合の可算数の和集合自体が可算であるという事実から導かれます)。この事実は、ℵ ₀の状況に類似しています。自然数の有限集合には、やはり自然数である最大値があり、有限集合の有限和集合は有限です。

順序数 ω _{1 は}、多少風変わりに聞こえるかもしれませんが、実際には便利な概念です。応用例としては、可算演算に関して「閉じる」ことが挙げられます。たとえば、任意の部分集合の集合によって生成されるσ 代数を明示的に記述しようとします (たとえば、ボレル階層を参照)。これは、代数 (ベクトル空間、群など)における「生成」のほとんどの明示的な記述よりも困難です。なぜなら、これらのケースでは、和、積などの有限演算に関して閉じるだけでよいからです。このプロセスでは、超限帰納法によって、可算順序数ごとに、すべての可能な可算和と補数を「投入」して集合を定義し、そのすべてを ω ₁全体で和をとる必要があります。

実数の集合の濃度（連続体の濃度）は2 ^{ℵ ₀}である。この数がアレフ数階層のどこに当てはまるかはZFC（選択公理を加えたツェルメロ・フランケル集合論）からは決定できないが、ZFCから連続体仮説（CH）が恒等式と同等であることが分かる。

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁ . ^[7]

CH は、その濃度が整数と実数の濃度の間に厳密に収まる集合は存在しないことを述べている。^{[8] CH は}ZFCとは独立である: その公理系の文脈内では証明も反証もできない ( ZFCが矛盾しない)。CH がZFCと矛盾しないことは、1940 年にKurt Gödelによって実証され、その否定はZFCの定理ではないことが示された。CH がZFCと独立であることは、1963 年にPaul Cohenによって実証され、逆に CH 自体はZFCの定理ではないことが(当時は新しい)強制法によって示された。^{[7] [9]}

アレフ・オメガは

ℵ _ω = sup{ ℵ _n  | n  ∈ ω } = sup{ ℵ _n  | n  ∈ {0, 1, 2, ...} }

ここ で最小の無限順序数はωと表記される。つまり、基数_ℵωは

{ ℵ _n  | n  ∈ {0, 1, 2, ...} }。

特に、 ℵ _{ω は}、ツェルメロ-フランケル集合論の範囲内で、すべての実数の集合2 ^{ℵ ₀}の基数と等しくないことが証明できる最初の非可算基数です。任意の自然数n  ≥ 1について、 2 ^{ℵ ₀} = ℵ _nと一貫して仮定でき、さらに、 2 ^{ℵ ₀は任意の基数と少なくとも同じ大きさであると仮定できます。ZFC が 2 ℵ ₀}の値に課す主な制限は、共終性ℵ ₀を持つ特定の特別な基数と等しくできないことです。共終性 ℵ ₀を持つ非可算無限基数κは、その極限（すなわち、その最小上限）がκである基数κ _i  <  κの（可算長）シーケンスκ ₀  ≤ κ ₁  ≤ κ ₂  ≤ ... が存在することを意味します（イーストンの定理を参照）。上記の定義によれば、ℵ _{ω は}より小さい基数の可算長シーケンスの極限です。

任意の順序数 α に対してℵ _{α を}定義するには、任意の基数ρに次に大きい順序付き基数ρ ^{+ を割り当てる}後続基数演算を定義する必要があります(選択公理が成り立つ場合、これが (一意に) 次に大きい基数です)。

アレフ数は次のように定義できます。

ℵ ₀ = ω

ℵ _{α +1} = (ℵ _α ) ⁺

ℵ _λ = ⋃{ ℵ _α  | α  <  λ } λ は無限極限序数、

α番目の無限初期順序数は ω _αと表記されます。その濃度は ℵ _αと表記されます。

非公式には、アレフ関数ℵ: On → Cd は順序数から無限基数への全単射です。正式には、ZFCでは、 ℵ は関数ではなく、関数のようなクラスであり、集合ではありません ( Burali-Forti パラドックスのため)。

任意の 順序数αに対して、

α ≤ ω _α。

多くの場合、 ω _αはαよりも厳密に大きい。例えば、任意の後続順序数に対しては、α  + 1 < ω _{α +1が成り立つ。しかし、}正規関数の不動点補題により、オメガ関数の不動点となる極限順序数もいくつかある。そのような最初のものは、数列の極限である。

ω、ω _ω、ω _{ω ω}、...、

これは ω _{ω ...}と表記されることもあります。

任意の弱アクセス不可能基数はアレフ関数の不動点でもある。^[10]これは ZFC で次のように示すことができる。κ = ℵ _λが弱アクセス不可能基数であるとする。λが後続順序数であれば、ℵ _{λ は}後続基数となり、したがって弱アクセス不可能ではなくなる。λ がκ未満の極限順序数であれば、その共終性(したがって ℵ _λの共終性) はκ未満となり、κ は正則でなくなり、したがって弱アクセス不可能ではなくなる。したがってλ  ≥  κとなり、結果的にλ  =  κとなり、不動点となる。

任意の無限順序数の濃度はアレフ数です。すべてのアレフは、何らかの順序数の濃度です。これらの最小のものは、その最初の順序数です。濃度がアレフである任意の集合は、順序数と同数であるため、順序付け可能です。

各有限集合は整列可能ですが、その濃度としてアレフを持ちません。

ZF では、各無限集合の濃度がアレフ数であるという仮定は、すべての集合の整列性の存在と同等であり、これは選択公理と同等です。選択公理を含む ZFC 集合論は、すべての無限集合の濃度がアレフ数である (つまり、その初期順序数と等しい) ことを意味し、したがってアレフ数の初期順序数は、すべての可能な無限濃度の代表クラスの役割を果たします。

選択公理を使用せずに ZF で濃度を研究する場合、各無限集合が何らかのアレフ数をその濃度として持つことを証明することはもはや不可能です。濃度がアレフ数である集合は、まさに整列可能な無限集合です。スコットのトリックの方法は、ZF の設定で濃度の代表を構成するための代替方法として時々使用されます。たとえば、card( S ) を、 Sと同じ濃度で最小ランクの集合の集合として定義できます。これには、 SとTが同じ濃度を持つ場合にのみ、 card( S ) = card( T )という特性があります。(集合 card( S ) は一般にSと同じ濃度を持ちませんが、そのすべての要素は S と同じ濃度を持ちます。 )

• ベス番号
• ギメル関数
• 通常の枢機卿
• 無限
• 超限数
• 序数

• 「アレフゼロ」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「Aleph-0」。MathWorld。