メトリック署名

数学では、計量テンソル $g$ (または同等に、有限次元ベクトル空間上の実対称双線形形式とみなされる実二次形式)のシグネチャは、基底に関する計量テンソルの実対称行列 $g$ $ab$ の正、負、ゼロの固有値の数 (重複度を考慮して数える) です。あるいは、最大正零部分空間の次元として定義することもできます。シルベスターの慣性の法則により、これらの数は基底の選択に依存しないため、計量を分類するために使用できます。これは、3 つの整数 $($ $v$ $、$ $p$ $、$ $r$ $)$ で表され、v は正の固有値の数、p は負の固有値の数、r は計量テンソルのゼロの固有値の数です。また、 $r$ $= 0$ を意味する $($ $v$ $,$ $p$ $)$ と表記することもでき、あるいは、符号(1 $, 3, 0)$ と $(3, 1, 0)に対してそれぞれ$ $(+, -, -, -)$ または $(-, +, +, +)$ のような固有値の符号の明示的なリストとして表記することもできます。^[¹^]変数名 $v$ と $pの選択は、$ $v$ が時間または仮想次元の数を表し、 $p$ が空間または物理次元の数を表すという相対論的物理学の慣例を反映しています。

符号は、 $v$ と $p$ の両方がゼロでない場合、不定または混合であると言われ、 $r が$ ゼロでない場合、退化していると言われます。リーマン計量は、正定符号 $($ $v$ $, 0)$ を持つ計量です。ローレンツ計量は、符号 $($ $p$ $, 1)$ または $(1,$ $p$ $)$ を持つ計量です。

非退化計量テンソルの符号には、 $($ $v$ $-$ $p$ $)$ と定義される単一の数 $s$ による別の概念があり、 $v$ と $p は$ 上記のとおりで、次元 $n$ $=$ $v$ $+$ $p$ が与えられている場合または暗黙的である場合は上記の定義と同等です。たとえば、 $(+, -, -, -)$ の場合は $s$ $= 1 - 3 = -2 であり$ $、(-, +, +, +)$ の場合はその鏡像 $s'$ $= -$ $s$ $= +2 です$ 。

意味

計量テンソルのシグネチャは、対応する二次形式のシグネチャとして定義されます。^{[ 2 ]}これは、形式を表す任意の行列（つまり、基礎となるベクトル空間の任意の基底）の正、負、ゼロの固有値の数 $（ v 、 p 、 r ）であり、それらの$ 代数的重複度で数えられます。通常、 $r$ $= 0$ が必要であり、これは計量テンソルが非退化でなければならない、つまり、すべてのベクトルに直交する非ゼロベクトルが存在しないことを意味します。

シルベスターの慣性の法則により、数 $(v 、 p 、 r)$ は基底に依存しない。

物件

署名と寸法

スペクトル定理により、実数上の対称な $n \times n$ 行列は常に対角化可能であり、したがって(代数的重複度で数えた) ちょうど $n 個の$ 実固有値を持つ。したがって、 $v$ $+$ $p$ $=$ $n$ $= dim($ $V$ $)$ となる。

シルベスターの慣性の法則：基底の選択の独立性と正規直交基底の存在

シルベスターの慣性の法則によれば、スカラー積（別名実対称双線形形式） $g$ の符号は基底の選択に依存しません。さらに、符号が $($ $v$ $,$ $p$ $,$ $r$ $)$ である任意の計量 $gに対して、$ $a$ $=$ $b$ $= 1, ...,$ $v$ のとき $g$ $ab$ $= +1 、$ $a$ = $b$ $=$ $v$ $+ 1, ...,$ $v$ $+$ $p$ $の$ とき $g$ $ab$ $= -1$ 、それ以外のときは g $ab$ $=$ $0 となるような基底が存在します。したがって、$ $g$ $1$ と $g$ $2$ の符号が等しい場合に限り、等長写像 $($ $V$ $1$ $,$ $g$ $1$ $) \to ($ $V$ $2$ $,$ $g$ $2$ $)$ が存在します。同様に、2 つの合同な行列の符号は等しく、行列を合同性まで分類します。言い換えれば、この符号は対称ランク2反変テンソル空間 $S2V$ $*$ $上$ の一般線形群 $GL($ $V$ $)$ の軌道上で一定であり、各軌道を分類します $。$

指標の幾何学的解釈

数 $v$ (または $p$ ) は、スカラー積 $g$ が正定値 (または負定値) となるベクトル部分空間の最大次元であり、 $r$ はスカラー積 $gの$ 根基の次元、またはスカラー積の対称行列 $g$ $ab$ の零部分空間の次元である。したがって、非退化スカラー積の符号は $($ $v$ $,$ $p$ $, 0)$ であり、 $v$ $+$ $p$ $=$ $n$ である。特殊ケース $($ $v$ $,$ $p$ $, 0)$ の双対性は、相互に鏡像変換することで互いに変換できる 2 つのスカラー固有値に対応する。

例

行列

$n \times n$ 単位行列の符号は $(n, 0, 0)$ です。対角行列の符号は、その主対角線上の正の数、負の数、およびゼロの数です。

以下の行列はどちらも同じ符号 $（1, 1, 0）を持つため、$ シルベスターの慣性の法則により合同です。

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

スカラー積

標準スカラー積は以下のように定義されます。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $n$ 次元のシグネチャ $(v, p, r)$ を持ち、 $v + p = n$ でランク $r = 0$ です。

物理学において、ミンコフスキー空間は時空多様体である。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ $v = 1$ および $p = 3$ の基底を持ち、以下のいずれかの方法で定義されるスカラー積を持つ。 ${\check {g}}$ マトリックス：

{\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

署名がある $(1,3,0)^{-}$ そして、宇宙優位性または宇宙のようなものとして知られている。あるいは、鏡像のシグネチャ $(1,3,0)^{+}$ 仮想優位性または時間的優位性として知られる ${\hat {g}}$ マトリックス。

{\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}

署名を計算する方法

行列の符号を計算する方法はいくつか存在する。

任意の非退化対称 $n \times n$ 行列について、それを対角化する（またはすべての固有値を求める）ことで、正の符号と負の符号の数を数える。
対称行列の場合、特性多項式はすべて実数根を持ち、その符号は場合によってはデカルトの符号法則によって完全に決定される。
ラグランジュのアルゴリズムは直交基底を計算する方法を提供し、それによって、もう一方の対角行列と合同な（つまり、同じ符号を持つ）対角行列を計算することができます。対角行列の符号とは、その対角線上の正、負、およびゼロの要素の数です。
ヤコビの基準によれば、対称行列は、その主小行列式のすべての行列式が正である場合に限り、正定値行列である。

物理学における署名

数学において、リーマン多様体に対して一般的に用いられる慣習は、正定値計量テンソル（対角化後、対角要素がすべて正となるテンソル）を用いることである。

理論物理学では、時空は擬リーマン多様体によってモデル化されます。シグネチャは、特殊相対性理論で定義される意味で、時空に時間的または空間的な特性がいくつあるかを数えます。素粒子物理学で使用される場合、計量は時間的部分空間に固有値を持ち、空間的部分空間にその鏡像となる固有値を持ちます。ミンコフスキー計量の特定の場合、

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

メトリックシグネチャは $(1,3,0)^{+}$ または、その固有値が時間方向に定義されている場合は（+、−、−、−）または $(1,3,0)^{-}$ または、固有値が空間の3方向 $x$ 、 $y$ 、 $zで定義されている場合は (-、+、+、+) となります。（$ 符号の規則が逆になる場合もありますが、ここで示されている規則では $s は$ 直接固有時間を測定します。）

署名の変更

計量がどこでも正則であれば、計量の符号は一定です。しかし、一部の超曲面上で縮退または不連続な計量を許容すると、計量の符号はこれらの曲面で変化する可能性があります。^{[ 3 ]}このような符号が変化する計量は、宇宙論や量子重力に応用できる可能性があります。

注記

↑ローランド、トッド。「行列の署名」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より、エリック・W・ワイススタイン作成。http ://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
↑ Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. The Classical Theory of Fields . Course of Theoretical Physics. Vol. 2 (4th ed.). Butterworth–Heinemann . pp. 245– 246. ISBN 0-7506-2768-9。
↑ Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). "重力とシグネチャの変化". General Relativity and Gravitation . 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

[1] ローランド、トッド。「行列の署名」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より、エリック・W・ワイススタイン作成。http ://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html

[2] Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. The Classical Theory of Fields . Course of Theoretical Physics. Vol. 2 (4th ed.). Butterworth–Heinemann . pp. 245– 246. ISBN 0-7506-2768-9。

[3] Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). "重力とシグネチャの変化". General Relativity and Gravitation . 29 (5): 591– 597. arXiv : gr-qc/9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . doi : 10.1023/A:1018895302693 . S2CID 7617543 .

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意味

物件