アルツェラ・アスコリの定理

アルツェラ・アスコリの定理は、数学解析における基本的な結果であり、閉区間かつ有界区間上で定義された実数値連続関数の族の任意の列が一様収束する部分列を持つかどうかを判定するための必要十分条件を与える。主な条件は、関数族の等連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理、複素解析におけるモンテルの定理、調和解析におけるピーター・ワイルの定理、および積分作用素のコンパクト性に関する様々な結果など、数学における多くの証明の基礎となっている。

等連続性の概念は、19 世紀後半にイタリアの数学者チェーザレ・アルツェラとジュリオ・アスコリによって導入されました。定理の弱い形式は、コンパクト性の十分条件を確立したアスコリ (1883–1884)と、必要条件を確立し、結果を初めて明確に提示したアルツェラ (1895)によって証明されました。定理のさらなる一般化は、コンパクトな距離空間を定義域とする実数値連続関数の集合に対して、フレシェ (1906) によって証明されました( Dunford & Schwartz 1958 、 p . 382)。この定理の現代的な定式化では、定義域はコンパクトなハウスドルフ空間であり、値域は任意の距離空間であるとすることができます。この定理のより一般的な定式化が存在し、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間から一様空間への関数族がコンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件を与えている。ケリー（1991、234ページ）を参照のこと。

声明と最初の結果

定義により、シーケンス $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 区間 $I$ $= [$ $a$ $,$ $b$ $]上の$ 連続関数のは、ある数 $M$ が存在して、

\left|f_{n}(x)\right|\leq M

数列に属するすべての関数 $f n$ $およびすべてのx \in [a, b]$ に対して。（ここで、 $M は$ $n$ および $x$ に依存しない必要があります。）

数列は、すべての $ε$ $> 0$ に対して、 $δ$ $> 0$ が存在し、

\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }

数列内のすべての関数 $f$ $n$ $に対して| x - y | < δ が$ 成り立つ場合。（ここで、 $δ は$ $ε$ に依存するが、 $x$ 、 $y$ 、 $n$ には依存しない。）

この定理の1つのバージョンは、次のように述べることができる。

実数直線の閉区間

[

a

,

b

]

上で定義された実数値連続関数の列

{f n} n \in N

を考える。この列が一様有界かつ一様等連続である場合、一様収束する部分列

{

f

n

k

}

k

\in

N

が存在する。

逆もまた真であり、

{f n}

のすべての部分列が一様収束する部分列を持つならば、

{f n}

は一様有界かつ同程度連続である。

証拠

この証明は基本的に対角線論法に基づいている。最も単純なケースは、閉区間かつ有界区間上の実数値関数である。

$I = [a, b] \subset R$ を閉区間かつ有界区間とする。F が I → R の関数 f の無限集合であり、一様有界かつ同程度連続である場合、F $の$ $要素$ $の$ $列 f$ nが存在し、f _nは $I$ $上$ $で$ 一様収束する。

$I$ 内の有理数の列挙 ${x i} i \in N を$ 固定します。Fは一様に有界であるため、点集合 ${$ $f$ $($ $x$ $1$ $)}$ $f$ $\in$ $F$ は有界であり、したがってボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、 ${$ $f$ $n$ $1$ $($ $x$ $1$ $)}$ が収束するようなF内の異なる関数の列 ${$ $f$ $n$ $1$ $}$ が存在します。点列 ${$ $f$ $n$ $1$ $($ $x$ $2$ $)}について同じ議論を繰り返すと、$ ${$ $f$ $n$ $1$ $}$ の部分列 ${$ $f$ $n$ $2$ $}$ が存在し、 ${$ $f$ $n$ $2$ $($ $x$ $2$ $)}$ が収束します。

帰納法によってこのプロセスは永遠に続けることができ、したがって一連の部分系列が存在する。

\left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots

各 $k$ = 1, 2, 3, ... に対して、部分列 ${f n k} が$ $x 1, ..., x k$ で収束するようにします。次に、 $m$ 番目の項 $f$ $m$ が $m$ 番目の部分列 ${$ $f$ $n$ $m$ $}の$ $m$ 番目の項であるような対角部分列 ${f}$ を作成します。構成により、 $f$ $m は$ $I$ のすべての有理点で収束します。

したがって、任意の $ε > 0$ および $I$ 内の有理数 $x k$ に対して、次の整数 $N$ $=$ $N$ $($ $ε$ $,$ $x$ $k$ $)が存在する。$

|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.

族Fは等連続であるため、この固定された $ε$ と $I$ のすべての $xに対して、$ $x$ を含む開区間 $U$ $x$ が存在し、

|f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}

すべての $f \in F$ および $s, t$ $\in$ $U$ $x を$ 満たすすべての $s$ $,$ $t$ $\in I$ に対して。

区間の集合 $U x$ 、 $x \in I$ は、 $I$ の開被覆を形成します。 $I$ は閉集合で有界であるため、ハイネ・ボレル定理により $I は$ コンパクトであり、この被覆は有限部分被覆 $U$ $1$ $、 ...、$ $U$ $J$ を許容します。整数 $K$ が存在し、各開区間 $U$ $j$ 、 $1 \leq$ $j$ $\leq$ $J$ $は、 1 \leq$ $k$ $\leq$ $K$ を満たす有理数 $x$ $kを含みます。最後に、任意の$ $t$ $\in$ $I$ に対して、 $t$ と $x$ $k が$ 同じ区間 $U$ $j$ に属するような $j$ と $k$ が存在します。この $k$ の選択により、

{\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}

$すべてのn, m > N = max{N (ε, x 1), ..., N (ε, x K)}$ に対して、が成り立つ。したがって、数列 ${f n}は$ 一様コーシーであり、主張どおり連続関数に収束する。これで証明は完了する。

具体的な例

微分可能な関数

定理の仮定は、導関数が一様に有界な微分可能な関数の列 ${f n}$ によって満たされます。実際、導関数の一様有界性は、平均値の定理により、すべての $x$ と $y$ に対して、

\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|,

ここで、 $K$ は数列内の関数の導関数の上限であり、 $n$ に依存しない。したがって、 $ε > 0$ の場合、 $δ = ε / 2 K とすると、数列の等連続性の定義が検証される。これにより、$ 次の系が証明される。

${f n} を$ 区間 $[a, b]$ 上の実数値微分可能関数の均一有界列とし、導関数 ${f n'}が均一有界であるとする。このとき、区間$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上で均一収束する部分列 ${f n k}$ が存在する。

さらに、2 階微分の列も一様に有界であれば、微分も一様に収束し (部分列を除いて)、以下同様です。別の一般化は、連続微分可能な関数にも当てはまります。関数 $f n$ $が導関数f n'$ を持つ連続微分可能であるとします。f n ′ が一様に等連続かつ一様に有界であり $、列 {$ f $n} が点ごとに有界 (または単に 1 点で有界) であるとします。すると、$ ${f n}$ の部分列が一様に連続微分可能な関数に収束します。

対角化の議論は、各階の導関数が一様に有界である無限回微分可能な関数の族が、一様に収束する部分列を持ち、その部分列のすべての導関数もまた一様に収束することを示すためにも使用できる。これは、分布論において特に重要である。

リプシッツ連続関数とヘルダー連続関数

上記の議論は、さらに少し、具体的には

${f n} が$ $[a, b]$ 上の実数値関数の一様有界列であり、各f _nが同じリプシッツ定数 $Kを持つ$ リプシッツ連続である場合:

\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|

すべてのx 、 y \in [a 、 b]

およびすべての

f n

に対して、

[a 、 b]

上で一様に収束する部分列が存在する。

極限関数もリプシッツ定数 $Kの値が同じでリプシッツ連続である。わずかな改良点としては、$

$[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上の関数 $f$ の集合 $F$ は一様に有界であり、固定定数 $Mに対して次数$ $α$ のヘルダー条件( $0 <$ $α$ $\leq 1)$ を満たす。

\left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|xy|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]

C([a, b])

において比較的コンパクトである。特に、ヘルダー空間

C 0, α ([a, b])の単位球は

C([a, b])

においてコンパクトである。

これは、コンパクト距離空間 $X上のスカラー関数が、$ $X$ 上の距離に関してヘルダー条件を満たす場合に、より一般的に成り立つ。

一般化

ユークリッド空間

アルツェラ・アスコリの定理は、より一般的には、関数 $f n$ $がd$ 次元ユークリッド空間 $R d$ に値をとる場合に成り立ち、その証明は非常に簡単です。R 値版のアルツェラ・アスコリの定理を d 回適用して、 $最初$ の $座標$ で一様に収束する部分列を抽出し、次に最初の 2 つの座標で一様に収束する部分列を抽出する、といった具合です。上記の例は、ユークリッド空間に値をとる関数の場合にも容易に一般化できます。

局所的にコンパクトなハウスドルフ空間

有界性と等連続性の定義は、任意の空間Xの設定に一般化できます。C ( X , Y )をXからYへのすべての連続関数の空間とします。Yが距離dを持つ距離空間である場合、部分集合 $F$ $\subset$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ は、すべてのx ∈ Xおよびすべての $ε$ $> 0$ に対して、x が次の条件を満たす近傍U _{x を}持つ場合に等連続であると言われます。

\forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F

集合 $F \subset C (X, R)$ は、すべてのx ∈ Xに対して、

\sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .

この定理の別バージョンは、コンパクトハウスドルフ空間X上の実数値連続関数の空間C ( X ) でも成り立つ( Dunford & Schwartz 1958 、§IV.6.7 ) :

X をコンパクトなハウスドルフ空間とする。このとき、 C ( X )の部分集合Fが一様ノルムによって誘導される位相において相対的にコンパクトであるのは、それが等連続かつ点ごとに有界である場合に限る。

したがって、アルツェラ・アスコリの定理は、コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数の代数の研究における基本的な結果である。

上記の結果には様々な一般化が可能である。例えば、定義域は局所的にコンパクトまたはコンパクトに生成され、関数は最小限の変更で距離空間または（ハウスドルフ）一様空間の値をとることができる（例えば、Kelley & Namioka (1982 、§8)、Kelley (1991 、第7章)を参照）。

X を局所コンパクトハウスドルフ空間、Y を距離空間とする。このとき、F

\subset C (X, Y) が

コンパクト開位相において相対コンパクトであるのは、それが等連続かつ点ごとに相対コンパクトである場合に限る。

ここで、点ごとに相対的にコンパクトとは、各x ∈ Xに対して、集合 $F$ $x$ $= {$ $f$ $($ $x$ $)$ $:$ $f$ $\in$ $F$ $}が$ Yにおいて相対的にコンパクトであることを意味します。

Yが完備である場合、上記の証明は、領域の分離可能性に依存しない方法で一般化できます。たとえば、コンパクトなハウスドルフ空間X では、等連続性を使用して、各 ε = 1/ nに対して、 Xの有限開被覆を抽出します。この被覆では、族内の任意の関数の振動が、被覆内の各開集合上で ε 未満になります。有理数の役割は、このようにして得られた可算個の被覆のそれぞれにおける各開集合から抽出された点の集合によって果たされ、証明の主要部分は上記とまったく同じように進みます。Yの完備性を仮定しない一般版の証明の一部として、同様の議論が使用されます。

非コンパクト空間上の関数

アルツェラ・アスコリの定理は関数に一般化される $X\rightarrow Y$ どこ $X$ コンパクトではない。特に重要なのは、 $X$ は位相ベクトル空間である。の場合、 $X$ 位相空間であり、 $Y$ が一様空間（任意の距離空間や任意の位相群など、距離化可能か否かを問わず）である場合、集合上にコンパクト収束の位相が存在する。 $\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ 関数の $X\rightarrow Y$ ;関数のシーケンス（またはより一般的にはフィルタまたはネット）が収束するのは、それが各コンパクト部分集合上で一様に収束する場合に限る、というように設定されている。 $X$ 。させて ${\mathcal {C}}_{c}(X,Y)$ の部分空間である $\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ 連続関数から構成され、コンパクト収束の位相を備えている場合、アルツェラ・アスコリの定理の一形式は次のようになる。

させて

X

位相空間である、

Y

ハウスドルフ均一空間と

H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)

等連続な連続関数の集合で、

\{h(x):h\in H\}

比較的コンパクト

Y

各

x\in X

。それから

H

比較的コンパクト

{\mathcal {C}}_{c}(X,Y)

。

この定理は、以下の場合には、上記のより専門的な記述を直ちに与える。 $X$ コンパクトで均一な構造 $Y$ は距離によって与えられます。プレコンパクト収束のトポロジーやその他の関連するトポロジーに関して、他にもいくつかのバリエーションがあります。 $\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ また、被覆の集合に制限した場合にのみ連続となる関数にもこの記述を拡張することが可能です。 $X$ コンパクト部分集合による。詳細は、Bourbaki (1998)、第X章、第2節、第5項を参照のこと。

非連続関数

放物型方程式の数値解は通常、時間的に区分的に定数であり、したがって連続ではありません。しかしながら、時間ステップが大きくなるにつれてジャンプは小さくなる傾向があります。 $0$ 古典的なアルツェラ・アスコリの定理を非連続関数に一般化することで、時間的に一様な収束特性を確立することが可能です（例えば、Droniou & Eymard (2016 、付録)を参照）。

で表す $S(X,Y)$ 関数の空間 $X$ に $Y$ 均一な尺度を備えた

d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).

次に、以下の点が挙げられます。

させて

X

コンパクトな距離空間であり、

Y

完備距離空間。

\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

シーケンスである

S(X,Y)

関数が存在する

\omega :X\times X\to [0,\infty ]

そしてシーケンス

\{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )

満足

\lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,

\forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.

また、すべての

t\in X

、

\{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}

比較的コンパクト

Y

。それから

\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

比較的コンパクト

S(X,Y)

、また制限

\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

この空間には

C(X,Y)

。

必要性

アルツェラ・アスコリの定理のほとんどの定式化では、関数族が何らかの位相において（相対的に）コンパクトであるための十分条件が主張されているが、これらの条件は通常、必要条件でもある。例えば、集合Fが、その一様ノルムに関してコンパクトハウスドルフ空間上の実数値連続関数のバナッハ空間C ( X ) においてコンパクトである場合、 C ( X ) 上の一様ノルムにおいて有界であり、特に点ごとに有界である。N ( ε , U )を、開集合U ⊂ X上での振動がεより小さいFのすべての関数の集合とする。

N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.

固定されたx ∈ Xおよびεに対して、集合N ( ε , U ) は、 Uがxのすべての開近傍にわたって変化するにつれて、Fの開被覆を形成します。有限部分被覆を選択すると、等連続性が得られます。

その他の例

$1 <$ $p$ $\leq \inftyを満たす$ $[0, 1]$ 上で $p$ 積分可能なすべての関数 $g$ に対して、 $[0, 1]$ 上で定義された関数 $G$ を次のように関連付ける。

G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.

F を

、

空間

L

p

([0, 1])

の単位球内の関数g

に対応する関数

G

の集合とする。qが p のヘルダー共役であり、1 / p + 1 / q = 1 で定義される場合

、

ヘルダー

の不等式

は

、

F

内

の

すべて

の

関数

が

α

=

1

/

q

および

定数

M

=

1

の

ヘルダー

条件を満たす

こと

を

意味

する

。

したがって、

Fは

C ([0, 1])

においてコンパクトである。これは、対応

g \to G

がバナッハ空間

L

p

([0, 1])

と

C

([0, 1])

の間のコンパクト線形作用素

T

を定義することを意味する。C ([0, 1]) から

L

p

([0, 1])

への単射と合成すると、

Tは L

p

([0, 1])から

L

p

([0, 1])

自身へのコンパクト作用素であることがわかる。p

= 2

の

場合は、ソボレフ空間からの単射が 1 となる単純な例と見なすことができる。

H_{0}^{1}(\Omega )

R

d

の有界開集合

Ω

に対して、

L 2 (Ω)

はコンパクトである。

$T$ がバナッハ空間 $X$ からバナッハ空間 $Y$ へのコンパクト線形作用素である場合、その転置 $T *$ は（連続）双対空間 $Y *$ $からX *$ へのコンパクト作用素となる。これはアルツェラ・アスコリの定理によって確認できる。

実際、 X

の閉単位球

B

の像

T (B)は

Y

のコンパクト部分集合

Kに含まれています。Y

*

の単位球

B

* は

、

Yから

K

に制限することによって、

K

上の有界かつ同程度連続な(線形) 連続関数の集合

F

を定義します。Arzelà – Ascoli により、

B

*

内の任意の数列

{

y

*

n

} に対して、

K

上で一様に収束する部分列が存在し、これは像が

T^{*}(y_{n_{k}}^{*})

その部分列のは

X *

においてコーシーである。

開円盤 $D$ $1$ $=$ $B$ $($ $z$ $0$ $,$ $r$ $)において$ $f$ が正則であり、その絶対値が $M$ で制限されている場合、（例えばコーシーの公式により）その導関数 $f$ $'$ $の絶対値は、より小さな円盤 D 2 = B ( z 0 , r /$ $2 ) において 2 M$ $/$ r $で$ $制限$ $さ$ $れ$ $ます$ $。D$ $1$ $上$ $の$ $正則$ $関数$ $の$ $族$ $が$ $D$ $1$ 上 $で$ $M$ で制限されている場合 $、$ $D$ 2 $へ$ の $制限$ $の$ 族F は D 2 上で同程度連続であることがわかります $。$ $したがって$ $、$ D $2$ $上$ で一様に収束する数列 $を$ 抽出できます。これはモンテルの定理の方向への第一歩です。
させて $C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))$ 均一な尺度を備えている $\textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.$ と仮定する $u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))$ これは、ある偏微分方程式（PDE）の解の列であり、そのPDEは以下の事前評価を保証する。 $x\mapsto u_{n}(x,t)$ すべての $t$ 、 $x\mapsto u_{n}(x,t)$ 全ての人にとって公平である $t$ そして、すべての $(t,t')\in [0,T]\times [0,T]$ そしてすべて $n\in \mathbb {N}$ 、 $\|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ 小さいとき $|t-t'|$ は十分に小さい。すると、フレシェ・コルモゴロフの定理により、次のことが結論付けられる。 $\{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}$ 比較的コンパクト $L^{1}(\mathbb {R} ^{N})$ したがって、アルツェラ・アスコリの定理（の一般化）により、次の結論が得られる。 $\{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 比較的コンパクト $C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).$

参考文献

アルゼラ、チェーザレ(1895)、「Sulle funzioni di linee」、Mem。アッカド。科学。イスト。ボローニャ Cl.科学。 Fis.マット。、5 (5)：55～ 74。
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Ascoli, G. (1883–1884)、「曲線の限界曲線」、Atti della R. Accad.デイリンセイメモリーデッラ Cl.科学。 Fis.マット。ナット。、18 ( 3): 521–586。
ブルバキ、ニコラ（1998）、『一般位相幾何学』第5章～第10章、『数学の基礎』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-540-64563-4MR 1726872 。
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Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016)、「非線形退化放物型方程式に対する数値解法の時間一様収束」、Numer. Math.、132 (4): 721–766、arXiv : 2003.09067、doi : 10.1007/s00211-015-0733-6、S2CID 5287603 。
ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1958)、線形演算子、第1巻、ワイリー・インターサイエンス。
Fréchet、Maurice (1906)、「Sur quelques point du calcul fonctionnel」、Rend。円マット。パレルモ、22 : 1– 74、doi : 10.1007/BF03018603、hdl : 10338.dmlcz/100655、S2CID 123251660 。
数学百科事典におけるアルツェラ＝アスコリの定理
ケリー、JL (1991)、一般トポロジー、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90125-1
Kelley, JL; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
ルディン、ウォルター（1976）、『数学解析の原理』、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054235-8

この記事は、 PlanetMathに掲載されている Ascoli–Arzelà の定理の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。

アルツェラ・アスコリの定理

声明と最初の結果

具体的な例

微分可能な関数

リプシッツ連続関数とヘルダー連続関数

一般化

ユークリッド空間

局所的にコンパクトなハウスドルフ空間

非コンパクト空間上の関数

非連続関数

必要性

その他の例

関連項目

参考文献

関連するトピック

数学解析

閉区

有界

区間