完全に境界のある空間

位相幾何学および関連する数学分野において、完全有界性とは、集合が必ずしも閉集合ではない場合におけるコンパクト性の一般化である。完全有界集合は、任意の固定された「サイズ」（ここで「サイズ」の意味は、周囲空間の構造に依存する）の有限個のサブセットによって覆われることができる。

プレコンパクト（またはプレコンパクト）という用語は、同じ意味で使われることもありますが、プレコンパクトは相対的にコンパクトであるという意味でも使われます。これらの定義は、完備距離空間の部分集合については一致しますが、一般には一致しません。

距離空間${\displaystyle (M,d)}$は、すべての実数に対して が完全有界である場合に限り、完全に有界である。${\displaystyle \varepsilon >0}$半径の開球の有限集合が存在する${\displaystyle \varepsilon }$ 中心がM内にあり、その和集合がMを含む。言い換えれば、距離空間M は、すべての に対して が成り立つ場合に限り、完全に有界である。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$有限カバーが存在し、そのカバーの各要素の半径は最大で${\displaystyle \varepsilon }$これは有限εネットの存在と同等である。^{[ 1 ]} 距離空間は、すべての数列がコーシー部分列を持つ場合に限り、完全に有界である。完備距離空間では、集合がコンパクトであるのは、それが閉じていて完全に有界である場合のみである。^{[ 2 ]}

完全に有界な空間はそれぞれ有界である（有限個の有界集合の和集合が有界であるのと同様）。ユークリッド空間の部分集合（部分空間位相を持つ）については逆が成り立つが、一般にはそうではない。例えば、離散距離を備えた無限集合は有界であるが、完全に有界ではない。^{[ 3 ]}半径のすべての離散球${\displaystyle \varepsilon =1/2}$またはそれ以下は単一要素であり、単一要素の有限個の和集合では無限集合を覆うことはできない。

• 距離空間においては、すべてのコンパクト集合は完全に有界である。
• 完全に有界な集合はすべて有界である。^{[ 5 ] [ 3 ]}
• 実数直線の部分集合、あるいはより一般的には有限次元ユークリッド空間の部分集合は、それが有界である場合に限り、完全に有界である。
• より一般的に言えば、距離空間がハイネ・ボレル性を持つ場合、部分集合が有界であるのは、それが完全に有界である場合に限る。
• ヒルベルト空間、あるいはより一般的にはバナッハ空間における単位球は、空間が有限次元である場合に限り、（ノルム位相において）完全に有界である。
• コンパクト集合上の同程度連続な有界関数は、一様位相においてプレコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理である。
• 距離空間が分離可能であるのは、それが完全に有界な距離空間と同相である場合に限る。 ^{[ 3 ]}
• 完全に有界な部分集合の閉包は、再び完全に有界である。^{[ 6 ]}

全有界性の概念は距離空間と密接に関連しているが、位相群のより高度な代数構造により、いくつかの分離特性を犠牲にすることができる。例えば、距離空間では、集合がコンパクトであるのは、完備かつ全有界である場合に限る。以下の定義の下では、任意の位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフ空間や完備空間である必要はない）についても同じことが成り立つ。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

定義の一般的な論理形式は次のとおりです。部分集合${\displaystyle S}$空間の${\displaystyle X}$は、任意のサイズが与えられた場合に限り、完全に有界である。${\displaystyle E,}$有限被覆が存在する${\displaystyle {\mathcal {O}}}$の${\displaystyle S}$各要素${\displaystyle {\mathcal {O}}}$最大サイズ${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$が完全有界であるのは、それがそれ自身の部分集合として考えられた場合に完全有界である場合に限る。

我々は、どの近隣地域についても、${\displaystyle U\subseteq X}$アイデンティティのサブセット${\displaystyle S\subseteq X}$（左）と呼ばれる${\displaystyle U}$-小さい場合のみ${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$^{[ 6 ]} 部分集合${\displaystyle S}$位相群の${\displaystyle X}$以下のいずれかの同値条件を満たす場合、それは（左）完全に有界である。

1. 定義：どの地域でも${\displaystyle U}$アイデンティティの${\displaystyle 0,}$有限個存在する${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$そのため${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right).}$
2. どの地域でも${\displaystyle U}$の${\displaystyle 0,}$有限部分集合が存在する${\displaystyle F\subseteq X}$そのため${\displaystyle S\subseteq F+U}$（右辺はミンコフスキー和）${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$)
3. どの地域でも${\displaystyle U}$の${\displaystyle 0,}$有限個の部分集合が存在する${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$の${\displaystyle X}$そのため$${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$$そしてそれぞれ${\displaystyle B_{j}}$は${\displaystyle U}$-小さい。^{[ 6 ]}
4. 任意のフィルタサブベースに対して$\displaystyle {\mathcal {B}}}$アイデンティティ要素の近傍フィルタ$\displaystyle {\mathcal {N}}}$（${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X}$）そしてすべての${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$表紙が存在する${\displaystyle S}$有限個の${\displaystyle B}$-小さなサブセット${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
5. ${\displaystyle S}$コーシー境界は、任意の近傍に対して${\displaystyle U}$同一性および可算無限部分集合の${\displaystyle I}$の${\displaystyle S,}$明確な${\displaystyle x,y\in I}$そのため${\displaystyle xy\in U.}$^{[ 6 ]}（もし${\displaystyle S}$が有限であれば、この条件は当然満たされる。
6. 以下の3つの集合のいずれかが、（上記の定義のいずれかを満たして）（左）完全有界である。
   1. 閉鎖​${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$の${\displaystyle S}$で${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
      • この集合がリストに含まれているということは、以下の特徴が成り立つことを意味する。${\displaystyle S}$（左）完全に有界であるのは、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$（左側の）集合は、（上述の定義条件のいずれかに従って）完全に有界である。以下に列挙する他の集合についても同様の特徴付けが成り立つ。
   2. イメージ${\displaystyle S}$正準商の下で${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$これは次のように定義されます${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$（どこ${\displaystyle 0}$（は恒等要素である）。
   3. 合計${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$^{[ 9 ]}

プレコンパクトという用語は通常、ハウスドルフ位相ベクトル空間の文脈で現れます。^{[ 10 ] [ 11 ]} この場合、以下の条件もすべて以下と同等です。${\displaystyle S}$完全に（左側に）制限されている：

7. 完成時に${\displaystyle {\widehat {X}}}$の${\displaystyle X,}$閉鎖${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$の${\displaystyle S}$コンパクトです。^{[ 10 ] [ 12 ]}
8. すべてのウルトラフィルター${\displaystyle S}$これはコーシーフィルターです。

完全に制限された右の定義も同様で、単に積の順序を入れ替えるだけです。

条件4は、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$は完全に有界である（実際にはコンパクトである。上記の「コンパクト集合との比較」の項 を参照）。${\displaystyle X}$例えば、ハウスドルフではない場合、${\displaystyle \{0\}}$は閉じていないコンパクトな完全集合である。^{[ 6 ]}

• コンパクトなスペース
• 局所的にコンパクトな空間
• 非コンパクト性の尺度
• オルソコンパクト空間
• パラコンパクト空間
• 比較的コンパクトな部分空間