撤回（トポロジー）

数学の一分野である位相幾何学において、後退とは位相空間から部分空間への連続的な写像であり、その部分空間内のすべての点の位置が保存されます。^[1]この部分空間は元の空間の後退と呼ばれます。変形後退は、空間を部分空間に 連続的に縮小するという考え方を捉えた写像です。

絶対近傍リトラクト( ANR ) は、特に行儀の良いタイプの位相空間です。たとえば、すべての位相多様体は ANR です。すべての ANR は、非常に単純な位相空間であるCW 複体のホモトピー型を持ちます。

Xを位相空間とし、AをXの部分空間とする。すると連続写像

${\displaystyle r\colon X\to A}$

rのAへの制限がA上の恒等写像である場合、つまりA内のすべてのaに対してであるとき、 は撤回である。同様に、 ${\textstyle r(a)=a}$

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

包含の場合、撤回は連続写像rであり、

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},}$

つまり、rと包含の合成はAの恒等写像です。定義により、後退はX を Aに 写像することに注意してください。そのような後退が存在する場合、部分空間AはXの後退と呼ばれます。たとえば、空でない空間は明らかな方法で点に後退します (任意の定数写像は後退を生成します)。X がハウスドルフである場合、AはXの閉じた部分集合でなければなりません。

が撤回である場合、合成 ι∘ rはXからXへの冪等連続写像です。逆に、任意の冪等連続写像が与えられた場合、余域を制限することでsの像への撤回が得られます。 ${\textstyle r:X\to A}$${\textstyle s:X\to X,}$

連続マップ

${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\to X}$

は、空間Xから部分空間Aへの変形後退であり、X内の任意のxとA内の任意のaに対して、

${\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.}$

言い換えれば、変形撤回は撤回とX上の恒等写像との間のホモトピーです。部分空間A はXの変形撤回と呼ばれます。変形撤回はホモトピー同値性の特殊なケースです。

リトラクトは必ずしも変形リトラクトである必要はありません。たとえば、空間Xの変形リトラクトとして単一の点を持つことは、 Xがパス接続されている(そして実際にはXが収縮可能である)ことを意味します。

注:変形引き戻しの同等の定義は次のとおりです。連続写像が変形引き戻しであるとは、それが引き戻しであり、その包含との合成がX上の恒等写像にホモトピーである場合です。この定式化では、変形引き戻しは、 X上の恒等写像とそれ自体の間にホモトピーを伴います。 ${\textstyle r:X\to A}$

変形収縮の定義に、次の要件を追加すると、

${\displaystyle F(a,t)=a}$

すべてのt が[0, 1] の範囲にあり、a がA の範囲にある場合、F は強い変形後退と呼ばれます。言い換えると、強い変形後退は、ホモトピー全体にわたってAの点を固定したままにします。(ハッチャーなどの一部の著者は、これを変形後退の定義としています。)

例えば、n球は 強い変形収縮であり、強い変形収縮として、マップを選択することができます。 ${\textstyle S^{n}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\バックスラッシュ \{0\};}$

${\displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.}$

強い変形リトラクトであるという条件は、変形リトラクトであるという条件よりも厳密に強いことに注意する。たとえば、X を、 n が正の整数である点と原点を結ぶ閉じた線分と、原点を と結ぶ閉じた線分からなる の部分空間とする。X が上のユークリッド位相から継承した部分空間位相を持つとする。次に、A を、原点を と結ぶ線分からなるXの部分空間とする。すると、AはXの変形リトラクトだが、 Xの強い変形リトラクトではない。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (1/n,1)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,1)}$

位相空間の写像f : A → Xは、任意の空間への写像に対してホモトピー拡大性質を持つとき、 (ヒューレヴィッツ)コファイブレーションである。これはホモトピー理論の中心的概念の1つである。コファイブレーションfは常に単射であり、実際その像への同相写像である。 ^[3] Xがハウスドルフ(またはコンパクトに生成された弱いハウスドルフ空間)の場合、コファイブレーションfの像はXにおいて閉じている。

すべての閉じた包含関係のうち、コファイブレーションは次のように特徴付けられる。空間Xへの閉じた部分空間Aの包含は、 AがXの近傍変形後退である場合に限り、コファイブレーションである。つまり、の連続写像とホモトピーが存在し、に対して、に対して、に対して となる。^[4]${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]}$${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$${\textstyle H(x,0)=x}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle H(a,t)=a}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle t\in [0,1],}$${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$${\displaystyle u(x)<1}$

たとえば、CW 複合体にサブ複合体を含めることは共繊維化です。

• XのリトラクトA (リトラクト) の基本的な特性の 1 つは、すべての連続マップに少なくとも 1 つの拡張、つまり が存在することです。${\textstyle r:X\to A}$${\textstyle f:A\rightarrow Y}$${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$${\textstyle g=f\circ r}$
• 部分空間が空間の後退である場合、包含は基本群間の注入を誘発します。
• 変形後退はホモトピー同値性の特別なケースです。実際、2 つの空間がホモトピー同値性を持つのは、その両方が単一のより大きな空間の変形後退に同相である場合のみです。
• 変形によって点に収縮する位相空間は収縮可能であり、その逆もまた同様である。しかし、強く変形すると点に収縮しない収縮可能な空間も存在する。^[5]

n次元球の境界、つまり ( n −1) 球は、球の引き込みではありません。(Brouwer の不動点定理 § ホモロジーまたはコホモロジーを使用した証明を参照してください。 )

位相空間の閉部分集合は、が を含むの開部分集合のリトラクトである場合、の近傍リトラクトと呼ばれます。 ${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$

を同相写像と閉部分集合への通過に関して閉じた位相空間のクラスとします。Borsuk ( 1931 年以降) に倣って、クラス の空間は絶対リトラクトと呼ばれ、が に含まれる場合と書かれ、が 内の空間の閉部分集合である 場合はいつでも はのリトラクトです。空間 はクラス の絶対近傍リトラクトと呼ばれ、が に含まれる場合と書かれ、 が 内の空間の閉部分集合である場合はいつでもの近傍リトラクトです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \演算子名 {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$${\textstyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle X}$${\textstyle Y}$

この定義では、正規空間などのさまざまなクラスが考慮されていますが、距離化可能な空間のクラスが最も満足のいく理論を与えることがわかっています。そのため、この記事では、ARとANRという表記を単独で使用して、およびを意味します。^[6]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$

距離化可能な空間は、それが縮約可能かつANRである場合に限り、ARである。^[7] Dugundjiによれば、すべての局所凸距離化可能な位相ベクトル空間は ARである。より一般的には、そのようなベクトル空間のすべての空でない凸部分集合はARである。 ^[8]たとえば、任意のノルムベクトル空間（完全または非完全）はARである。より具体的には、ユークリッド空間、単位立方体、ヒルベルト立方体はARである。 ${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle I^{n},}$ ${\textstyle I^{\omega }}$

ANR は、「行儀のよい」位相空間の注目すべきクラスを形成します。その特性には次のようなものがあります。

• ANR のすべてのオープン サブセットは ANR です。
• ハンナーによれば、ANR による開被覆を持つ距離化可能空間はANR である。^[9] (つまり、ANR であることは距離化可能空間の局所的性質である。) 従って、あらゆる位相多様体は ANR である。例えば、球面は ANR だが AR ではない (収縮可能ではないため)。無限次元では、ハンナーの定理は、あらゆるヒルベルト立方体多様体、および (かなり異なり、例えば局所コンパクトではない)ヒルベルト多様体とバナッハ多様体が ANR であることを意味する。${\textstyle S^{n}}$
• すべての局所有限CW複体はANRである。^[10]任意のCW複体は距離化可能である必要はないが、すべてのCW複体はANRのホモトピー型を持つ（定義により距離化可能である）。^[11]
• 任意のANR X は、 内の点の任意の開近傍に対して、に含まれるの開近傍が存在し、その包含が定数写像にホモトピックであるという意味において、局所的に収縮可能である。有限次元距離化可能空間は、この意味で局所的に収縮可能である場合に限り、ANRである。^[12]たとえば、カントール集合は、 に局所的に連結されていないため、ANRではない実数直線のコンパクトな部分集合である。${\textstyle U}$${\textstyle x}$${\textstyle X}$${\textstyle V}$${\textstyle x}$${\textstyle U}$${\textstyle V\hookrightarrow U}$
• 反例: Borsuk は、ANR であるが厳密に局所縮退可能ではないのコンパクト部分集合を発見した。 ^[13] (空間が厳密に局所縮退可能であるとは、各点のすべての開近傍に の縮退可能な開近傍が含まれる場合である。) Borsuk はまた、局所縮退可能 (上記の定義) だが ANR ではないヒルベルト立方体のコンパクト部分集合を発見した。^[14]${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle U}$${\textstyle x}$${\textstyle x}$
• ホワイトヘッドとミルナーによれば、すべての ANR は CW 複体のホモトピー型を持ちます。[15] さらに、局所的にコンパクトな ANR は局所的に有限な CW 複体のホモトピー型を持ちます。^また、ウェストによれば、コンパクトな ANR は有限な CW 複体のホモトピー型を持ちます。^[16]この意味で、ANR は任意の位相空間のホモトピー理論的病理をすべて回避します。たとえば、ホワイトヘッドの定理はANR に対して成り立ちます。ホモトピー群に同型を誘導する ANR のマップ(すべての基点の選択に対して) はホモトピー同値です。ANR には位相多様体、ヒルベルト立方体多様体、バナッハ多様体などが含まれるため、これらの結果は広いクラスの空間に適用されます。
• 多くの写像空間はANRである。特に、YをANRである閉部分空間Aを持つANRとし、Xを閉部分空間Bを持つ任意のコンパクト距離化可能空間とする。すると、対の写像の空間（写像空間上にコンパクト開位相を持つ）はANRである。^[17]例えば、任意のCW複体のループ空間はCW複体のホモトピー型を持つことになる。${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$
• Cautyによれば、距離化可能空間がANRとなるのは、のすべての開集合がCW複体のホモトピー型を持つ場合のみである。^[18]${\textstyle X}$${\textstyle X}$
• Cauty によれば、AR ではない計量線型空間(つまり、 並進不変計量を持つ位相ベクトル空間) が存在する。 は可分かつF 空間(つまり、完全な計量線型空間)であると考えられる。 ^[19] (上記の Dugundji の定理により、は局所的に凸になることはできない。)は収縮可能であり AR ではないため、ANR でもない。上記の Cauty の定理により、 にはCW 複体とホモトピー同値ではない開集合がある。したがって、厳密に局所的に収縮可能であるが CW 複体とホモトピー同値ではない計量化可能空間が存在する。厳密に局所的に収縮可能なコンパクトな (または局所的にコンパクトな) 計量化可能空間が必ず ANR であるかどうかはわかっていない。${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle U}$${\textstyle U}$

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