−1

ある数に −1 を掛けることは、その数の符号を変えることと同等です。つまり、任意の x に対して( −1 ) ⋅ x = − x が成り立ちます。これは分配法則と、1 が乗法単位元であるという公理を用いて証明できます。

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0。

ここでは、任意の数xに 0 をかけると 0 になるという事実を利用しました。これは、方程式から消去法によって導かれます。

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x。

言い換えると、

x + (−1) ⋅ x = 0、

したがって、(−1) ⋅ xはxの加法逆元であり、すなわち(−1) ⋅ x = − xとなることが示されました。

−1の2乗（つまり−1×−1）は1に等しい。したがって、2つの負の数の積は正になる。この結果を代数的に証明するには、次の式から始める。

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)]。

最初の等式は上記の結果から導かれ、2番目の等式は-1が1の加法逆元であるという定義から導かれる。つまり、1に加えると0になる数である。ここで分配法則を用いると、次のことがわかる。

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1)。

3番目の等式は、1が乗法単位元であるという事実から導かれる。しかし、この最後の等式の両辺に1を加えると、

(−1) ⋅ (−1) = 1。

上記の議論は、整数と実数を一般化した抽象代数の概念である任意の環において成り立つ。^{[ 1 ]： p.48}

−1 の実数平方根は存在しませんが、複素数i はi ² = −1を満たすため、−1 の平方根とみなすことができます。 ^{[ 2 ]}平方が −1 になる他の唯一の複素数は − iです。これは、代数学の基本定理から、ゼロでない複素数にはちょうど 2 つの平方根が存在するためです。基本定理が適用されない四元数の代数では、複素数を含み、方程式x ² = −1は無限に多くの解を持ちます。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ゼロでない実数のべき乗は負の整数にも拡張でき、数を-1乗することは、その数の乗法逆数を取ることと同じ効果を持つ。

x ⁻¹ = 1 / x。​​

この定義は負の整数にも適用され、実数aとbに対して指数法則x ^a x ^b = x ^{( a + b )}が維持されます。

f ⁻¹ ( x )の−1上付き文字はf ( x )の逆関数を表し、( f ( x )) ⁻¹は特に点ごとの逆数を表します。^{[ a ]} fが全単射であり、すべての入力領域x ∈ Xからすべてのy ∈ Yの出力領域を指定する場合、次のようになります。

f ⁻¹ ( f ( x )) = x、およびf ⁻¹ ( f ( y )) = y。

関数f内で値域の部分集合が指定されている場合、その逆関数は、関数によるその部分集合の逆像、つまり逆像を生成します。

負の整数へのべき乗は、 x ⁻¹をxの乗法逆元と定義することで、環の可逆元にさらに拡張できます。この文脈では、これらの元は単位元とみなされます。^{[ 1 ]： p.49}

任意の体F上の多項式領域F [ x ]では、多項式xには逆元がありません。もし逆元q ( x )があったとすれば、 ^{[ 5 ]}が成り立ちます。

x q ( x ) = 1 ⇒ deg ( x ) + deg ( q ( x )) = deg (1)

                ⇒ 1 + deg ( q ( x )) = 0

                ⇒ deg ( q ( x )) = −1

これは不可能であり、したがってF [ x ]は体ではありません。より具体的には、多項式は定数ではないため、 Fの単元ではありません。