ゼルニケ多項式

数学において、ゼルニケ多項式は単位円上で直交する多項式の列である。 1953年のノーベル物理学賞受賞者であり位相差顕微鏡の発明者である光物理学者フリッツ・ゼルニケにちなんで名付けられ、ビーム光学やイメージングなどのさまざまな光学分野で重要な役割を果たしている。 ^{[1] [2]}

ゼルニケ多項式には偶数と奇数がある。偶数ゼルニケ多項式は次のように定義される。

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

（方位角上の偶関数）、そして奇ゼルニケ多項式は次のように定義される。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

(方位角 上の奇関数) ここで、mおよびnは非負の整数で、n ≥ m ≥ 0 (球面ゼルニケ多項式の場合はm = 0)です。 は方位角、ρは半径距離、および は以下に定義される半径多項式です。 ゼルニケ多項式は、-1 から +1 の範囲、つまり に制限されるという特性があります。 半径多項式は次のように定義されます 。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$${\displaystyle R_{n}^{m}}$${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

n − mが偶数の場合は0 、 n − mが奇数の場合は 0 となる。特別な値は

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

放射状の部分の階乗の比を二項式の積として書き直すと、係数が整数であることがわかります。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$。

ガウス超幾何関数を終端として表記すると、再帰性を明らかにしたり、それがヤコビ多項式の特殊なケースであることを証明したり、微分方程式を記述したりする のに役立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

n − mは偶数です。

逆の関係は固定に対して展開され、${\displaystyle \rho ^{j}}$${\displaystyle m\leq j}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle \rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )}$

有理係数^[3]${\displaystyle h_{j,n,m}}$

${\displaystyle h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}$

偶数の場合。 ${\displaystyle j-m=0,2,4,\ldots }$

放射多項式の因子は、範囲 で、偶数の場合はのバーンスタイン基底で展開するか、奇数の場合はの関数を掛けて展開することができます。したがって、放射多項式は、有理係数を持つ有限個のバーンスタイン多項式で表すことができます。 ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

応用には線型代数が含まれることが多く、ゼルニケ多項式と他の因子の積を積分すると行列要素が構築されます。これらの行列の行と列を単一のインデックスで列挙するために、2つのインデックスnとlを単一のインデックスjにマッピングする慣例がNollによって導入されました。^[4]この関連付けの表は次のように始まります（OEISのシーケンスA176988）。 ${\displaystyle Z_{n}^{l}\rightarrow Z_{j}}$${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|l|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&l>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&l<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&l\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

ルールは以下のとおりです。

• 偶数ゼルニケ多項式Z (方位角部分が偶数、ただしは正の数) は、偶数のインデックスj を取得します。${\displaystyle \cos(m\varphi )}$${\displaystyle m=l}$${\displaystyle l}$
• 奇数のZ は（方位角部分が奇数で、 が負の数の場合）、奇数のインデックスjを取得します。${\displaystyle \sin(m\varphi )}$${\displaystyle m=\left\vert l\right\vert }$${\displaystyle l}$
• 与えられたn内で、値が小さいほどjも 小さくなります。${\displaystyle \left\vert l\right\vert }$

OSA ^[5]およびANSI単一インデックスゼルニケ多項式では以下を使用します。

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+l}{2}}}$

フリンジインデックス方式は、市販の光学設計ソフトウェアやフォトリソグラフィーなどの光学試験で使用されている。^{[6] [7]}

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|l|}{2}}\right)^{2}-2|l|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} l}{2}}\right\rfloor }$

ここで、は符号または符号関数です。最初の 20 個のフリンジ番号を以下に示します。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} l}$

ジェームズ・C・ワイアントは「フリンジ」インデックス方式を使用していますが、これは1ではなく0から始まります（1を減算します）。^[8]この方法は、Zygo干渉計の干渉縞解析ソフトウェアやオープンソースソフトウェアDFTFringeなどで一般的に使用されています。

これらはロドリゲスの公式を満たす

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)={\frac {x^{-m}}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right]}$

そしてヤコビ多項式と次のように 関係づけられる。

${\displaystyle Z_{n}^{m}(x)=x^{m}{\frac {P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}\left(2x^{2}-1\right)}{P_{\frac {n-m}{2}}^{(0,m)}(1)}}}$。

放射状部分の直交性は^[9]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

または

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

角度部分の直交性は、基本的な

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

ここで、（ベッセル関数と関連して頻繁に現れるため、ノイマン因子と呼ばれることもある）は、の場合には2 、の場合には1と定義される。角度部分と半径部分の積は、単位円上で積分すると、両方の指数に関してゼルニケ関数の直交性を確立する。 ${\displaystyle \epsilon _{m}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m\neq 0}$

${\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}$

ここで は円座標系のヤコビアンであり、 とは両方とも偶数です。 ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$${\displaystyle n-l}$${\displaystyle n'-l'}$

単位円板上の十分に滑らかな実数値位相場は、周期関数がフーリエ級数で直交表現されるのと同様に、ゼルニケ係数（奇数と偶数）で表現できる。 ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

ここで係数は内積を使って計算できる。単位円上の関数の空間では、内積は次のように定義される。 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

ゼルニケ係数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

あるいは、円形グリッド上の位相関数Gの既知の値を使用して連立方程式を形成することもできます。位相関数は、単位グリッド全体のゼルニケ多項式 (既知の値) と未知係数の重み付き積によって取得されます。したがって、係数は、たとえば行列反転によって線形システムを解くことによっても見つけることができます。順方向および逆方向ゼルニケ変換を計算する高速アルゴリズムは、三角関数の対称性、ゼルニケ多項式の放射状部分と方位角部分の分離可能性、およびそれらの回転対称性を使用します。

三角関数の反射の結果、 x軸 に沿った反射に関する偶奇性は

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$l ≥ 0の場合、

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}$l < 0の場合。

三角関数のπシフトの結果、座標の中心における点反射に関するパリティは

${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

ここで、偶数はゼロでないゼルニケ多項式を得るための唯一のケースなので、と書くこともできます。( nが偶数の場合、 lも偶数です。nが奇数の場合、lも奇数です。) この特性は、角度依存性の観点からゼルニケ多項式を偶数多項式と奇数多項式に分類するために使用されることがあります。(角度依存性がないという特別な特性があるため、 l = 0の別のカテゴリを追加することもできます。) ${\displaystyle (-1)^{l}}$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle n-l}$

• 角度的に偶数なゼルニケ多項式: lが偶数であるゼルニケ多項式で、${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$
• 角度的に奇数のゼルニケ多項式: lが奇数であるゼルニケ多項式で、${\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}$

放射状多項式も、次数nまたはmに応じて偶数または奇数になります。

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

これらの等式は、奇数（偶数）のmにはρの奇数（偶数）乗のみが含まれるため簡単にわかります（以下の例を参照）。 ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

三角関数の周期性により、中心の周りをラジアン の倍数で回転しても不変性が得られます。${\displaystyle 2\pi /l}$

${\displaystyle Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

ゼルニケ多項式は、次数や方位角順序に依存しない次の再帰関係を満たす。^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

の定義から、およびであることが分かる。次の3項再帰関係^[11]により、他のすべてのを計算することができる。 ${\displaystyle R_{n}^{m}}$${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

上記の関係式は、隣接する次数の2つの放射状ゼルニケ多項式から導関数を計算できるため、特に有用である。 ^[11]${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

ガウス超幾何関数の微分方程式は次式と等価である。

${\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).}$

最初のいくつかの放射状多項式は次のとおりです。

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

さまざまなインデックスの最初のいくつかのゼルニケ モードを以下に示します。これらは のように正規化されており、これは と同等です。 ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1}$

これらの関数は、円形のサポート領域、典型的には、有限直径のレンズとミラーのシステムを介して可視および赤外波長で古典的な光学イメージングの瞳面上に定義される基底です。これらの関数の利点は、ラジアル関数の単純さから継承された単純な解析特性と、ラジアル関数と方位角関数の因数分解です。これにより、たとえば、ベッセル関数による2次元フーリエ変換の閉じた形式の表現が可能になります。 ^{[12] [13]}これらの関数の欠点は、特に高いnが関係する場合、単位円板上の節線の不均等な分布であり、これにより周囲付近でリンギング効果が導入され、円形ディスク上で他の直交関数を定義しようとする試みにつながることがよくあります。^{[14] [15] [16]}${\displaystyle \rho \approx 1}$

精密光学製造において、ゼルニケ多項式は干渉分析で観察される高次誤差を特徴付けるために使用されます。シャック・ハルトマンのような波面傾斜センサーでは、測定された傾斜をサンプリングサブアパーチャ全体で平均化されたゼルニケ多項式導関数でフィッティングすることにより、波面のゼルニケ係数を得ることができます。 ^[17]検眼学と眼科学 では、ゼルニケ多項式は、屈折誤差の原因となる、角膜または水晶体の理想的な球面形状からの波面収差を記述するために使用されます。また、ゼルニケ多項式は適応光学でもよく使用され、大気の歪みを特徴付けるために使用できます。明らかな用途としては、IRまたは視覚天文学と衛星画像があります。

ゼルニケ多項式のもう一つの応用は、回折と収差の拡張ナイボア・ゼルニケ理論にあります。

ゼルニケ多項式は、画像モーメントの基底関数として広く使用されています。ゼルニケ多項式は互いに直交しているため、ゼルニケモーメントは、モーメント間の情報の冗長性や重複なしに画像の特性を表すことができます。ゼルニケモーメントは、関心領域（ROI）内のオブジェクトのスケーリングと移動に大きく依存しますが、その大きさはオブジェクトの回転角度とは無関係です。^[18]したがって、ゼルニケモーメントは、オブジェクトの形状特性を記述する画像から特徴を抽出するために使用できます。たとえば、ゼルニケモーメントは、乳房の腫瘤の良性と悪性^[19]や振動ディスクの表面を分類するための形状記述子として使用されます。^[20]ゼルニケモーメントは、単一細胞レベルで骨肉腫癌細胞株の形状を定量化するためにも使用されています。^[21]さらに、ゼルニケモーメントは、アルツハイマー病、軽度認知障害、および健常群のMR画像から識別情報を抽出することにより、アルツハイマー病の早期発見に使用されています。^[22]

この概念は、直交座標の多項式を超球面座標、に変換し、角度変数のヤコビ多項式の積を乗じることで、より高次元のDに翻訳されます。次元では、角度変数は、たとえば球面調和関数です。べき乗の線形結合は、次を満たす 直交基底を定義します。${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$${\displaystyle D=3}$${\displaystyle \rho ^{s}}$${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$。

（ここでのRの定義では係数が吸収されるが、正規化では若干異なる方法で選択されることに注意。これは主に好みの問題であり、係数の整数セットを維持したいのか、直交化が含まれる場合はより厳密な式を好むのかによって決まる。）明示的な表現は^{[3]である。}${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$${\displaystyle D=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

偶数の場合は、そうでない場合は 0 と同じになります。 ${\displaystyle n-l\geq 0}$

• ヤコビ多項式
• ナイボア・ゼルニケ理論
• 擬似ゼルニケ多項式

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• 拡張された Nijboer-Zernike Web サイト
• ゼルニケモーメントを高速に計算するMATLABコード
• ゼルニケ多項式を計算するための Python/NumPy ライブラリ
• 望遠鏡光学におけるゼルニケ収差
• 例: WolframAlpha を使用して Zernike 多項式をプロットする
• Orthopy、直交多項式（ゼルニケ多項式を含む）を計算する Python パッケージ