渦度方程式

流体力学の 渦度方程式は、流体粒子が流れに沿って移動する際の渦度ωの変化、つまり流体の局所的な回転（ベクトル解析では、流速の回転）を記述します。支配方程式は次のとおりです。

どこ⁠だ/日付⁠は物質微分演算子、 uは流速、 ρは局所流体密度、 pは局所圧力、 τは粘性応力テンソル、 B は外部体積力の合計を表します。右辺の最初のソース項は渦の伸張を表します。

この式は、圧縮性のニュートン流体に集中トルクや線力がない場合に有効です。非圧縮性の流れ（つまり、マッハ数が低い）および等方性流体の場合、保存的体積力により、この式は渦度輸送方程式に簡略化されます。

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$

ここで、ν は動粘性であり、はラプラス演算子です。さらに 2 次元の流れを仮定すると、式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$

• ⁠という用語Dω​/日付⁠左側は渦度ベクトルωの物質微分です。これは、移動する流体粒子の渦度の変化率を表します。この変化は、流れの不安定性に起因する可能性があります ( ⁠∂ω​/∂t ...⁠、非定常項）または流体粒子がある点から別の点に移動する運動によって生じる（ ( u ∙ ∇) ω、対流項）。
• 右側の項( ω ∙ ∇) u は、流速勾配による渦度の伸張または傾斜を表します。ω ∙ ∇はスカラー微分演算子であり、∇ u は9 要素のテンソル量であるため、 ( ω ∙ ∇) u はベクトル量であることに注意してください。
• ω (∇ ∙ u )は、流れの圧縮性による渦度の伸張を表します。これは、連続性に関するナビエ・ストークス方程式から導かれます。つまり、v = ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}}$$1/ρ⁠ は流体要素の比体積です。∇ ∙ u は流れの圧縮性の尺度と考えることができます。この項には負の符号が含まれる場合もあります。
• ⁠という用語1/ρ ²⁠ ∇ ρ × ∇ p は傾圧項です。密度面と圧力面の交差による渦度の変化を説明します。
• ∇ × ( ⁠∇ ∙ τ/ρ⁠）は、粘性効果による渦度の拡散を説明します。
• ∇ × Bの項は、外部の物体力による変化を表します。これらは、重力や電磁力など、流体の 3 次元領域に広がる力です。(表面 (壁の抗力など) や線 (メニスカスの周りの表面張力など)にのみ作用する力とは対照的です。)

• 保存力の場合、∇ × B = 0です。
• 順圧流体の場合、∇ ρ × ∇ p = 0です。これは、 ∇ ρ = 0である一定密度流体（非圧縮性流体を含む）にも当てはまります。これは、順圧項を無視できない非圧縮性流とは異なることに注意してください。
• 非粘性流体の場合、粘性テンソルτはゼロです。

したがって、保存的体積力を持つ非粘性順圧流体の場合、渦度方程式は次のように簡略化される。

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u} }$

あるいは、保存力を持つ非圧縮性、非粘性流体の場合、

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} }$^[1]

その他の事例や簡略化の簡単なレビューについては、^[2]も参照してください。海洋や大気の流れにおける乱流理論の渦度方程式については、^{[3]を参照してください。}

渦度方程式は、角運動量保存のナビエ・ストークス方程式から導くことができます。集中トルクと線力 がない場合、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}}$

ここで、渦度は流速ベクトルの回転として定義されます。運動量方程式の回転をとると、目的の方程式が得られます。次の恒等式は、方程式の導出に役立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}$

は任意のスカラー場です。 ${\displaystyle \phi }$

渦度方程式は、アインシュタインの総和法とレヴィ・チヴィタ記号e _{ijk を}用いたテンソル表記で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}}$

大気科学では、渦度方程式は、慣性系に対する空気の絶対渦度、または地球の自転に対する渦度で表すことができます。絶対バージョンは

${\displaystyle {\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)}$

ここで、ηは渦度の極（z ）成分、 ρは大気の密度、u、v 、 w は風速の成分、∇ _{h は}2次元（つまり水平成分のみ）のdelです。

• 渦度
• 順圧渦度方程式
• 渦巻きストレッチ
• バーガーボルテックス

• Manna, Utpal; Sritharan, S. S. (2007). 「 L ^pおよび Besov 空間における渦度方程式の Lyapunov 関数と局所散逸率」.微分積分方程式. 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi :10.57262/die/1356039440. S2CID  50701138.
• Barbu, V.; Sritharan, S. S. (2000)。「渦度方程式の M 増加量子化」(PDF)。Balakrishnan, A. V. (編)。演算子の半群: 理論と応用。ボストン: Birkhauser。pp. 296–303。
• Krigel, A. M. (1983). 「渦の進化」.地球物理学および天体物理学流体力学. 24 (3): 213–223. Bibcode :1983GApFD..24..213K. doi :10.1080/03091928308209066.