2次元フロー

流体力学では、2 次元の流れは、あらゆる点の流速が固定された平面に平行である流体の流れの形式です。その固定された平面に対する特定の法線上の任意の点の速度は一定である必要があります。

平面上の2次元の流れを考えると、任意の時点での流れの速度は次のように表すことができます。 ${\displaystyle XY}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.}$

平面上の2次元の流れを考えると、ある時点での流速は次のように表すことができます。 ${\displaystyle r-\theta }$${\displaystyle (r,\theta,z)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}} +v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

平面上の2次元流れの渦度は次のように表される。 ${\displaystyle XY}$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.}$

平面上の2次元流れの渦度は次のように表される。 ${\displaystyle r-\theta }$

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.}$

線状源とは、流体が発生し、線に垂直な平面上を流れ去る線です。垂直平面上の 2 次元の流れを考えると、線状源は点状源として現れます。対称性により、流体は源から放射状に外側に流れるものと想定できます。源の強さは、それが生成する体積流量 によって表すことができます。 ${\displaystyle Q}$

ライン ソースと同様に、ライン シンクは、垂直な平面からその方向に流れる流体を吸収するラインです。垂直な平面上の 2 次元の流れを考えると、点シンクとして表示されます。対称性により、流体はシンクに向かって放射状に内側に流れるものと想定されます。シンクの強度は、吸収する流体の体積流量によって決まります。 ${\displaystyle Q}$

共通点から外側に向いた放射状対称の流れ場をソースフローと呼びます。中心の共通点は、上記の線状ソースです。流体はソースから一定速度で供給されます。流体が外側に流れるにつれて、流れの面積が増加します。その結果、連続の式を満たすために、速度は低下し、流線は広がります。ソースから一定の距離にあるすべての点での速度は同じです。 ${\displaystyle Q}$

流体の速度は次のように表される。

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.}$

流量と流れの速度の関係を導き出すことができます。 源と同軸の単位高さの円筒を考えてみましょう。 源が流体を放出する速度は、流体が円筒の表面から流れ出る速度と等しくなければなりません。

${\displaystyle \int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,}$

${\displaystyle \therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

ソースフローに関連付けられた ストリーム関数は、

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

点源からの定常流は非回転であり、速度ポテンシャルから導くことができる。速度ポテンシャルは次式で与えられる。

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

シンク フローはソース フローの逆です。流線は放射状で、線状のソースに向かって内側に向いています。シンクに近づくにつれて、流れの面積は減少します。連続方程式を満たすために、流線は密集し、ソースに近づくにつれて速度が増加します。ソース フローと同様に、シンクから等距離にあるすべてのポイントでの速度は等しくなります。

シンク周りの流れの速度は次のように表される。

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},}$

${\displaystyle v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

シンクフローに関連する ストリーム関数は、

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

ラインシンク周りの流れは非回転であり、速度ポテンシャルから導くことができます。シンク周りの速度ポテンシャルは次のように表すことができます。

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

渦とは、流体が仮想軸の周りを流れる領域です。非回転渦の場合、あらゆる点における流れは、そこに置かれた小さな粒子が純粋な並進運動をし、回転しないような流れです。この場合、速度は半径に反比例して変化します。速度は、中心が特異点である理由により、 になる傾向があります。速度は数学的に次のように表され ます。${\displaystyle \inf}$${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.}$

流体は軸の周りを流れるため、

${\displaystyle v_{r}=0.}$

非回転渦の流れ関数は次のように表される。

${\displaystyle \psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.}$

速度ポテンシャルは次のように表される。

${\displaystyle \phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .}$

原点を囲む閉曲線、循環（速度場の線積分）およびその他の閉曲線については、${\displaystyle \Gamma =K}$${\displaystyle \Gamma =0}$

ダブレットは、同じ強さのソースとシンクが無限に小さな距離を保った組み合わせとして考えることができます。したがって、流線は同じポイントで始まり、同じポイントで終わることがわかります。距離を保った強さのソースとシンクによって作られたダブレットの強さは、次のように表されます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle ds}$

${\displaystyle \Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.}$

流体の速度は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\シータ },}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle v_{\theta }=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .}$

方程式とプロットは、${\displaystyle ds\rightarrow 0}$

二重項の概念は、電気力学における電気双極子と磁気双極子の概念と非常によく似ています。

• Kothandaraman, CP; Rudramoorthy, R. (2006)、流体力学と機械（第2版）、New Age International、ISBN 978-1906574789

• 2次元のソースとシンク