巡回部分空間

数学の線型代数と関数解析において、巡回部分空間は、ベクトル空間内のベクトルとベクトル空間の線型変換に関連付けられたベクトル空間の特定の特殊な部分空間です。ベクトル空間V内のベクトルvとVの線型変換Tに関連付けられた巡回部分空間は、 vによって生成されるT巡回部分空間と呼ばれます。巡回部分空間の概念は、線型代数における巡回分解定理の定式化における基本的な要素です。

をベクトル空間の線型変換とし、をのベクトルとします。によって生成されるの -巡回部分空間はと表記され、ベクトルの集合 によって生成されるの部分空間です。 が位相ベクトル空間である場合、が で稠密であれば はの巡回ベクトルと呼ばれます。有限次元空間の特定のケースでは、これは が空間全体であると言うことと同等です。 ^[1]${\displaystyle T:V\rightarrow V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Z(v;T)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Z(v;T)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Z(v;T)}$${\displaystyle V}$

巡回空間には、もう 1 つ同等の定義があります。を体上の位相ベクトル空間の線型変換とし、を のベクトルとします。上の のすべての多項式環に含まれる多項式である の形のベクトル全体の集合は、によって生成される -巡回部分空間です。^[1]${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g(T)v}$${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle v}$

部分空間は、 という意味での不変部分空間です。 ${\displaystyle Z(v;T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle TZ(v;T)\サブセット Z(v;T)}$

1. 任意のベクトル空間と上の任意の線型演算子に対して、零ベクトルによって生成される -巡回部分空間は の零部分空間です。${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$
2. が恒等演算子である場合、すべての-巡回部分空間は 1 次元です。${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
3. ${\displaystyle Z(v;T)}$が 1 次元であるためには、がの特性ベクトル(固有ベクトル) である必要があります。${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$
4. を 2 次元ベクトル空間とし、を の標準順序基底に対する行列によって表される 上の線型演算子とします。とします。このとき です。したがってとなります。したがっては の巡回ベクトルです。${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots }$${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}}$${\displaystyle Z(v;T)=V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$

を体上の次元ベクトル空間の線型変換とし、をの巡回ベクトルとする。このとき、ベクトル ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\} }$

の順序基底を形成する。 の特性多項式を ${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$。

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1} v_{n}\end{整列}}}$

したがって、順序基底 に対して、演算子は行列で表される。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

この行列は多項式の伴行列と呼ばれる。^[1]${\displaystyle p(x)}$

• コンパニオンマトリックス
• クリロフ部分空間

• PlanetMath: 巡回部分空間