初期トポロジー

初期トポロジー${\displaystyle X}$ 関数は、次の特性によって特徴づけられる。${\displaystyle g}$ある宇宙から${\displaystyle Z}$に${\displaystyle X}$連続であるのは、${\displaystyle f_{i}\circ g}$各${\displaystyle i\in I.}$^{[ 5 ]}

見た目は非常に似ているものの、これは普遍的な性質ではないことに注意してください。以下に、カテゴリー的な説明を示します。

フィルター​$\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$一点に収束する${\displaystyle x\in X}$プリフィルターが${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$収束して${\displaystyle f_{i}(x)}$すべての${\displaystyle i\in I.}$^{[ 5 ]}

積位相の普遍性により、連続写像の任意の族は${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$一意の連続マップを決定する $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

この地図は評価マップ

地図のファミリー${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$と言われている別々のポイント${\displaystyle X}$すべての場合${\displaystyle x\neq y}$で${\displaystyle X}$いくつか存在する${\displaystyle i}$そのため${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$家族${\displaystyle \{f_{i}\}}$関連付けられた評価マップが${\displaystyle f}$単射である。

評価マップ${\displaystyle f}$位相埋め込みとなるのは、${\displaystyle X}$初期トポロジーはマップによって決定される${\displaystyle \{f_{i}\}}$そしてこの地図のファミリーは、${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle X}$初期トポロジーは${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$そしてもしすべての${\displaystyle Y_{i}}$ハウスドルフなら、${\displaystyle X}$これらの写像が上の点を分離する場合に限り、はハウスドルフ空間である。${\displaystyle X.}$^{[ 4 ]}

もし${\displaystyle X}$初期トポロジーは${\displaystyle I}$-インデックス付きマッピングのファミリー${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$そして、すべての${\displaystyle i\in I,}$トポロジー${\displaystyle Y_{i}}$は、何らかの要因によって誘導される初期トポロジーです。${\displaystyle J_{i}}$-インデックス付きマッピングのファミリー${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$（として${\displaystyle j}$範囲は${\displaystyle J_{i}}$)、次に初期トポロジー${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$は、${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$-インデックス付きマッピングのファミリー${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$として${\displaystyle i}$範囲は${\displaystyle I}$そして${\displaystyle j}$範囲は${\displaystyle J_{i}.}$^{[ 6 ]} この事実から導かれるいくつかの重要な帰結を以下に示す。

特に、${\displaystyle S\subseteq X}$すると、部分空間トポロジーは${\displaystyle S}$から継承する${\displaystyle X}$包含マップによって誘導される初期トポロジーに等しい${\displaystyle S\to X}$（定義される）${\displaystyle s\mapsto s}$したがって、${\displaystyle X}$初期トポロジーは${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$すると、部分空間トポロジーは${\displaystyle S}$から継承する${\displaystyle X}$は、に誘導される初期トポロジーに等しい。${\displaystyle S}$制限により${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$の${\displaystyle f_{i}}$に${\displaystyle S.}$^{[ 5 ]}

製品のトポロジーは$\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$は、正準射影によって誘導される初期トポロジーに等しい。${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$として${\displaystyle i}$範囲は${\displaystyle I.}$^{[ 5 ]} その結果、初期トポロジーは${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$は、上の積トポロジーの逆像に等しい。$\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$評価マップによる${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$^{[ 5 ]} さらに、地図が${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$別々のポイント${\displaystyle X}$すると、評価マップは部分空間への同相写像となる。${\displaystyle f(X)}$製品空間の${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$^{[ 5 ]}

スペース${\displaystyle X}$トポロジーが装備されている場合、トポロジーが${\displaystyle X}$は、ある写像族によって誘導される初期トポロジーである。${\displaystyle X.}$このセクションでは、十分条件（ただし必要条件ではない）を示します。

地図のファミリー${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$閉集合から点を分離する${\displaystyle X}$すべての閉集合について${\displaystyle A}$で${\displaystyle X}$そしてすべて${\displaystyle x\not \in A,}$いくつか存在する${\displaystyle i}$そのため $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {cl} }$はクロージャ演算子を表します。

定理．連続写像の族${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$シリンダーが閉じた集合を集合する場合に限り、点を閉集合から分離します。${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$のために${\displaystyle V}$開く${\displaystyle Y_{i},}$トポロジーのベースを形成する${\displaystyle X.}$

したがって、${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$点と閉集合を分離する空間${\displaystyle X}$マップによって誘導される初期トポロジーを持つ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$逆もまた成り立たない。なぜなら、一般的に円筒集合は初期トポロジーのサブベース（ベースではない）を形成するに過ぎないからである。

スペース${\displaystyle X}$T ₀空間である場合、任意のマップのコレクション${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$閉集合から点を分離する${\displaystyle X}$また、点を分離する必要もあります。この場合、評価マップは埋め込みになります。

もし${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$は均一な構造のファミリーです${\displaystyle X}$インデックス${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$すると、最小上限均一構造${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$は最も粗い均一な構造である${\displaystyle X}$それはそれぞれよりも細かい${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$このユニフォームは常に存在し、フィルターと等しい。${\displaystyle X\times X}$フィルタサブベースによって生成された${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$^{[ 7 ]} もし${\displaystyle \tau _{i}}$トポロジーは${\displaystyle X}$均一な構造によって誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$次にトポロジー${\displaystyle X}$最小上限均一構造に関連付けられているのは、最小上限トポロジーに等しい。${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$^{[ 7 ]}

さて、${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$これはマップのファミリーであり、すべての${\displaystyle i\in I,}$させて${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$均一な構造である${\displaystyle Y_{i}.}$次に、${\displaystyle Y_{i}}$マッピングによって${\displaystyle f_{i}}$最も粗く均一な構造が特徴${\displaystyle {\mathcal {U}}}$の上${\displaystyle X}$すべてを作る${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$一様に連続している。^{[ 7 ]}これは、一様構造の最小上限に等しい。${\displaystyle I}$-インデックス付き均一構造ファミリー${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$（のために${\displaystyle i\in I}$) ^{[ 7 ]} 上のトポロジー${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は最も粗いトポロジーです${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$連続的である。^{[ 7 ]} 初期の均一構造${\displaystyle {\mathcal {U}}}$また、それは最も粗い均一構造に等しく、恒等写像${\displaystyle \operatorname {id}$ :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)} は一様連続である。 ^{[ 7 ]}

ハウスドルフ性: 上のトポロジー${\displaystyle X}$初期の均一な構造によって誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ハウスドルフであるのは、${\displaystyle x,y\in X}$異なる（${\displaystyle x\neq y}$) ならば、${\displaystyle i\in I}$そして数人の取り巻き${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$の${\displaystyle Y_{i}}$そのため${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$^{[ 7 ]} さらに、すべてのインデックスについて${\displaystyle i\in I,}$トポロジー${\displaystyle Y_{i}}$誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ハウスドルフは、その位相が${\displaystyle X}$初期の均一な構造によって誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ハウスドルフであるのは、写像が次の場合に限る。${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$別々のポイント${\displaystyle X}$^{[ 7 ]} (または同等に、評価マップ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$（単射である）

一様連続性：もし${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は、マッピングによって誘導される初期の均一構造です。${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$次に関数${\displaystyle g}$ある均一な空間から${\displaystyle Z}$の中へ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$一様連続であるのは、${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$各${\displaystyle i\in I.}$^{[ 7 ]}

コーシーフィルター：フィルター${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$はコーシーフィルターです${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$かつその場合に限り${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$はコーシー前フィルターです${\displaystyle Y_{i}}$すべての${\displaystyle i\in I.}$^{[ 7 ]}

初期均一構造の推移性：上記の「初期トポロジーの推移性」の記述において、「トポロジー」という語を「均一構造」に置き換えた場合、結果として得られる記述も真になります。