封筒の下部

数学において、有限個の関数の集合の下限または点ごとの最小値とは、関数の点ごとの最小値、すなわち、各点における値が与えられた集合内の関数の値の最小値となる関数のことです。下限の概念は、その点で値を持つ関数の中から最小値を取ることによって、部分関数にも拡張できます。上限または点ごとの最大値は、対称的に定義されます。無限個の関数の集合の場合、最小値の代わりに下限、最大値の代わりに上限を用いて、同じ概念を定義することができます。 ^{[ 1 ]}

与えられたクラスの連続関数の場合、下包絡線または上包絡線は、同じクラスの部分からなる区分的関数です。グラフの交点数が制限されている単一の実変数関数の場合、下包絡線または上包絡線の複雑さは、 Davenport–Schinzel シーケンスを使用して制限することができ、これらの包絡線は、関数のサブセットの包絡線を計算してからマージする分割統治アルゴリズムによって効率的に計算できます。^{[ 2 ]}

凸関数または準凸関数の場合、上包絡線は再び凸または準凸になります。下包絡線はそうではありませんが、凸性を維持する下包絡線と同様の操作を得るために、下凸包絡線で置き換えることができます。リプシッツ関数の上包絡線と下包絡線は、リプシッツ性を保持します。ただし、下包絡線と上包絡線の操作は、必ずしも連続関数であるという性質を保持するとは限りません。^{[ 3 ]}