ポール・エルリッヒ

ポール・エルリッヒ（1972年生まれ）は、マサチューセッツ州ボストン近郊に住むギタリスト、音楽理論家です。彼は、パハラ音律^{[1] [2]}とその22-ETにおけるデカトニック音階^[3]を初めて定義するなど、規則的な音律の理論の発展に重要な役割を果たしたことで知られています。 彼はイェール大学で物理学の理学士号を取得しています。

彼のハーモニックエントロピーの定義は、エルンスト・テルハルト^[4]の影響を受けたファン・エックのモデルを改良したもので、ウィリアム・セサレス^[5]などの音楽理論家から注目を集めている。これは、不協和音の要素の1つを、2つ以上の音高のセットによって誘発される仮想ピッチ（「失われた基音」）の不確実性の尺度としてモデル化するものである。これは、音高を単一の倍音列に当てはめるのがどれほど簡単か難しいかを測定する。たとえば、ほとんどのリスナーは、ハーモニックセブンスコードをコードよりもはるかに協和的であると評価する。どちらも、転回形の下では音符間の間隔のセットがまったく同じであるが、最初のものは単一の倍音列（基音ではなく倍音）に当てはめやすい。倍音列では、ハーモニックセブンスコード の整数は、その逆数 よりもはるかに小さい。この理論でモデル化されていない不協和音の要素には、臨界帯域の粗さや音調のコンテキストが含まれます (たとえば、12-ETのように、増二度は短三度と同じサイズに調整できるにもかかわらず、増二度は短三度よりも不協和音が大きくなります)。 ${\displaystyle {4:5:6:7}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4:5:6:7}}}$${\displaystyle {4:5:6:7}}$${\displaystyle {105:120:140:168}}$

ファレイ図の 番目の反復では、番目の要素と次に高い要素 の間の中線は次のようになります。${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{j}=a_{j}/b_{j}}$

${\displaystyle {\frac {a_{j}+a_{j+1}}{b_{j}+b_{j+1}}}}$^[あ]

要素と次に低い要素の間の中線が減算されます。

${\displaystyle {\frac {a_{j-1}+a_{j}}{b_{j-1}+b_{j}}}}$

ここから、調和エントロピーを計算するプロセスは次のようになります:
(a) 上部の正規 (ガウス) ベル曲線と側面の中線によって定義される領域を計算します
(b) 領域の合計を正規化して 1 に加算し、それぞれが確率を表すようにします
(c) その確率セットのエントロピーを計算します
調和エントロピー モデルの詳細な説明については、外部リンクを参照してください。

• 「ポール・エルリッヒによる音楽理論」、Lumma.org。
• 「中道：純正律と平均律の間」、DKeenan.com。
• 「Xenharmonic Wiki のハーモニックエントロピー」、en.xen.wiki