浸透閾値

パーコレーション閾値は、ランダムシステムにおける長距離接続の形成を説明するパーコレーション理論における数学的概念である。閾値以下では巨大な接続成分は存在しないが、閾値を超えるとシステムサイズ程度の巨大な成分が存在する。工学やコーヒー作りにおいて、パーコレーションは多孔質媒体を通る流体の流れを表すが、数学や物理学の世界では一般にランダムシステムまたはネットワーク（グラフ）の簡略化された格子モデルと、それらの接続の性質を指す。パーコレーション閾値は、占有確率pの臨界値、またはより一般的には、無限の接続性（パーコレーション）が初めて発生するパラメータのグループp ₁、p ₂、...の臨界面である。^[1]

最も一般的なパーコレーション モデルは、正方格子などの規則的な格子を取り、統計的に独立した確率pでサイト (頂点) または結合 (エッジ) をランダムに「占有」してランダム ネットワークにするものです。臨界しきい値p _cでは、大きなクラスターと長距離接続が最初に現れ、これをパーコレーションしきい値と呼びます。ランダム ネットワークを取得する方法に応じて、サイト パーコレーションしきい値と結合パーコレーションしきい値を区別します。より一般的なシステムには、いくつかの確率p ₁、p ₂などがあり、遷移は臨界面または多様体によって特徴付けられます。また、ランダムに配置された重なり合うディスクや球などの連続体システム、または負の空間 (スイス チーズモデル) を考慮することもできます。

閾値を理解するには、占有されたサイトまたは結合に沿って、つまり単一のクラスター内で、ある境界から別の境界への連続的な経路が存在する確率などの量を検討することができます。たとえば、正方形のシステムを検討し、上部の境界から下部の境界への経路が存在する確率P を求めることができます。占有確率pの関数として、 p = 0でのP = 0からp = 1でのP = 1までのシグモイド プロットが見つかります。格子間隔と比較して正方形が大きいほど、遷移は急峻になります。システム サイズが無限大になると、P(p) は閾値p _cでのステップ関数になります。有限の大規模システムの場合、P(p _c )は定数であり、その値はシステムの形状によって異なります。上で説明した正方形のシステムでは、単純な対称性の議論により、どの格子でも P(p _c ) = 1 ⁄ 2 になります。

臨界閾値には他にも特徴があります。例えば、サイズ分布（サイズsのクラスターの数）は、閾値n _s (p _c ) ~ s ^−τで大きなsに対してべき乗法則として減少します。ここで、 τ は次元に依存するパーコレーション臨界指数です。無限システムの場合、臨界閾値は、クラスターのサイズが無限になる 最初のポイント（p が増加するにつれて）に対応します。

これまで説明したシステムでは、サイトまたは結合の占有は完全にランダムであると仮定されています。これは、いわゆるベルヌーイパーコレーションです。連続体システムの場合、ランダムな占有は、ポアソン過程によって配置される点に対応します。さらなるバリエーションには、強磁性体のイジングモデルやポッツモデルに関連するパーコレーションクラスターなどの相関パーコレーションがあり、そこでは結合はフォーチュイン–カステライン法によって配置されます。^[2]ブートストラップまたはk-satパーコレーションでは、サイトや結合が最初に占有され、次にサイトに少なくともk個の隣接がない場合、システムから順次除去されます。まったく異なる普遍性クラスであるパー​​コレーションのもう1つの重要なモデルは、有向パーコレーションです。これは、結合に沿った接続性が流れの方向に依存します。最近注目されている別のバリ​​エーションは爆発的パーコレーションで、そのしきい値はそのページにリストされています。

過去数十年にわたり、さまざまなシステムのパーコレーションしきい値の正確な値と近似値を見つけるために膨大な作業が行われてきました。正確なしきい値は、三角形-三角形変換の下でシステムが同じままであるように、自己双対配列に分割できる特定の 2 次元格子についてのみ知られています。数値手法を使用した研究により、アルゴリズムの多数の改善といくつかの理論的発見がもたらされました。

2 次元における単純な双対性は、すべての完全に三角形に分割された格子 (三角形、ユニオン ジャック、クロス双対、マティーニ双対と麻の葉または 3-12 双対、およびドロネー三角形分割など) のサイトしきい値がすべて1 ⁄ 2であり、自己双対格子 (正方形、マティーニ B) の結合しきい値が1 ⁄ 2であることを意味します。

^{(4,8 2} )のような表記はグリュンバウムとシェパード^[3]に由来し、与えられた頂点の周りを時計回りに進むと、最初に正方形、次に2つの八角形に出会うことを示しています。すべてのサイトが同等である正多角形で構成される11個のアルキメデス格子の他に、異なるクラスのサイトを持つ他の多くのより複雑な格子が研究されてきました。

最後の桁のエラーバーは括弧内の数字で示されます。したがって、0.729724(3) は 0.729724 ± 0.000003 を意味し、0.74042195(80) は 0.74042195 ± 0.00000080 を意味します。エラーバーは、ソースに応じて、純誤差 (統計的および予想される系統的誤差を含む) の 1 標準偏差または 2 標準偏差、または経験的信頼区間を表します。

次数相関のないランダムツリー型 ネットワーク（つまり、サイクルのない接続ネットワーク）の場合、そのようなネットワークは巨大な成分を持つことができ、パーコレーション閾値（伝達確率）は次のように与えられること が示される。

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}={\frac {\langle k\rangle }{\langle k^{2}\rangle -\langle k\rangle }}}$。

ここで、は過剰次数分布に対応する生成関数、はネットワークの平均次数、は次数分布の2次モーメントです。したがって、たとえば、ERネットワークの場合、次数分布はポアソン分布であるため、しきい値は になります。 ${\displaystyle g_{1}(z)}$${\displaystyle {\langle k\rangle }}$${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}$${\displaystyle p_{c}={\langle k\rangle }^{-1}}$

クラスタリングが低いネットワークでは、臨界点は次のようにスケーリングされます。^[4]${\displaystyle 0<C\ll 1}$${\displaystyle (1-C)^{-1}}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.}$

これは、与えられた次数分布に対して、クラスタリングがより大きな浸透閾値につながることを示している。これは主に、リンク数が固定されている場合、クラスタリング構造がグローバル接続を希釈するという代償を払ってネットワークのコアを強化するためである。クラスタリングが高いネットワークの場合、強いクラスタリングによってコア-周辺構造が誘発され、コアと周辺が異なる臨界点で浸透する可能性があり、上記の近似処理は適用できない。^[5]

注: ハニカムの代わりに「六角形」が使用されることもありますが、文脈によっては三角格子が六角形格子と呼ばれることもあります。z =バルク 配位数。

この節では、sq-1,2,3はsquare (NN+2NN+3NN)に対応します。^[39]など。square-2N+3N+4Nに相当します。^[40] sq(1,2,3)。^[41] tri = 三角形、hc = ハニカム。

ここでNN = 最近傍、2NN = 2番目に近い隣接（または次の隣接）、3NN = 3番目に近い隣接（または次の次の隣接）などです。これらは、いくつかの論文ではそれぞれ2N、3N、4Nとも呼ばれます。^[39]

• 重なり合ったり接触したりしている正方形の場合、ここで与えられる (サイト) は、連続体パーコレーションと同様に、占有されているサイトの正味の割合です。2×2 正方形の場合は、しきい値がである正方格子 NN+2NN+3NN+4NN または sq-1,2,3,4 のパーコレーションに相当します。^[52] 3×3 正方形は、z =44 およびである sq-1,2,3,4,5,6,7,8 に対応します。k x k正方形のzの値は(2 k +1) ² -5 です。より大きな重なり合った正方形については、を参照してください。^[52]${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \phi _{c}}$${\displaystyle \phi _{c}}$${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$

ここでは、ボックス内で頂点を均一に移動することで単位間隔の規則的な格子を歪め、サイトが互いにユークリッド距離内にある場合のパーコレーションを考慮します。 ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha )}$${\displaystyle d}$

サイトしきい値は、格子サイトあたりの重なり合うオブジェクトの数です。kは長さ (正味面積) です。重なり合う四角形は、複合体近傍セクションに表示されます。ここで、 zは、いずれかの方向の k-mer に対する配位数で、棒 の場合は です。${\displaystyle z=k^{2}+10k-2}$${\displaystyle 1\times k}$

スティックによって特定のサイトと重複するサイト が存在するため、 カバレッジはスティックごとに計算されます 。${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{2k}}$${\displaystyle 1\times k}$${\displaystyle 2k}$

整列したスティックの場合:${\displaystyle 1\times k}$${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{k}}$

ABパーコレーションでは、aはBサイト中のAサイトの割合であり、反対種のサイト間に結合が描かれます。^[58]これは反パーコレーションとも呼ばれます。 ${\displaystyle p_{\mathrm {site} }}$

有色浸透では、占有されたサイトは等しい確率でいずれかの色に割り当てられ、異なる色の隣接サイト間の結合に沿って接続が行われます。^[59]${\displaystyle n}$

サイト結合パーコレーション。ここで、はサイト占有確率、は結合占有確率であり、経路に沿ったサイトと結合の両方が占有されている場合にのみ接続が確立されます。臨界条件は曲線= 0 になり、いくつかの特定の臨界ペアが以下にリストされています。 ${\displaystyle p_{s}}$${\displaystyle p_{b}}$${\displaystyle f(p_{s},p_{b})}$${\displaystyle (p_{s},p_{b})}$

正方格子:

ハニカム（六角形）格子：

カゴメ格子：

* 異なる格子上の値については、「多くの格子上のサイト結合パーコレーションの調査」を参照してください。^[64]

ハニカム格子上のサイト結合パーコレーションの近似式

ラーベス格子はアルキメデス格子の双対である。図は^[6]均一タイリング も参照。

上位 3 つの格子: #13 #12 #36
下位 3 つの格子: #34 #37 #11

^[3]

上の2つの格子: #35 #30
下の2つの格子: #41 #42

^[3]

上位 4 つの格子: #22 #23 #21 #20
下位 3 つの格子: #16 #17 #15

^[3]

上の2つの格子: #31 #32
下の格子: #33

^[3]

この図は、2 均一格子 #37 に似たものを示していますが、ポリゴンがすべて正多角形ではなく (2 つの正方形の代わりに長方形があり)、ポリゴンのサイズが変更されています。この格子は、各ポリゴンが単位半径の円に内接する等放射状表現になっています。2 均一格子の 2 つの正方形は、等放射状条件を満たすために 1 つの長方形として表す必要があります。格子は黒い縁で示され、デュアル格子は赤い破線で示されます。緑の円は、元の格子とデュアル格子の両方における等放射状制約を示しています。黄色のポリゴンは、格子上の 3 種類のポリゴンを強調表示し、ピンクのポリゴンはデュアル格子上の 2 種類のポリゴンを強調表示します。格子の頂点タイプは( 1 ⁄ 2 )(3 ³ ,4 ² ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4)ですが、二重格子の頂点タイプは( 1 ⁄ 15 )(4 ⁶ )+( 6 ⁄ 15 )(4 ² ,5 ² )+( 2 ⁄ 15 )(5 ³ )+( 6 ⁄ 15 )(5 ² ,4)です。臨界点は、長い結合（格子と二重格子の両方）の占有確率 p = 2 sin (π/18) = 0.347296... であり、これは三角格子上の結合パーコレーション閾値であり、短い結合の占有確率 1 − 2 sin(π/18) = 0.652703... であり、これは六角格子上の結合パーコレーションである。これらの結果は等放射条件^[70]に従う が、ハニカム格子上の特定の星に星-三角形変換を適用することによっても従う。最後に、これは、3 つの異なる方向に 3 つの異なる確率、長い結合に対してp ₁、 p _{2 、}およびp _{3 を持ち、短い結合に対して}1 − p ₁、1 − p ₂、および1 − p _{3 を}持つことに一般化できます。ここで、p ₁、p ₂、およびp _{3 は}、不均質三角格子の臨界面を満たします。

左、中央、右は、マティーニ格子、マティーニ A 格子、マティーニ B 格子です。下は、マティーニ被覆/中間格子、カゴメ型格子の 2×2、1×1 サブネットと同じです (削除済み)。

一般化されたボウタイ格子 (ad) と格子の双対 (eh) の他の例:

2 x 2、3 x 3、4 x 4サブネットカゴメ格子。2×2サブネットは「三角カゴメ」格子とも呼ばれます。^[79]

（詳細な結果とジャミング密度との比較については、ランダムシーケンシャル吸着を参照してください）

閾値は、サイトパーコレーションが最初に起こったとき（完全なジャミング時ではない）にオブジェクトが占有するサイトの割合を示します。より長いk-merについては、文献^{[88]を参照してください。}

ここでは、格子を二量体で覆うことで得られるネットワークを扱い、残りの結合に対する結合パーコレーションを考慮します。離散数学では、この問題は「完全マッチング」または「二量体カバー」問題として知られています。

システムは正方格子上の長さlの通常の（回避しない）ランダムウォークから構成される。^[90]

ディスクの場合、は単位面積あたりのディスクの臨界数に等しく、直径の単位で測定されます。ここで、はオブジェクトの数、はシステムのサイズです。 ${\displaystyle n_{c}=4r^{2}N/L^{2}}$${\displaystyle 2r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$

ディスクの場合、重要な合計ディスク領域に相当します。 ${\displaystyle \eta _{c}=\pi r^{2}N/L^{2}=(\pi /4)n_{c}}$

${\displaystyle 4\eta _{c}}$影響円（半径 2 r）内のディスク中心の数を示します。

${\displaystyle r_{c}=L{\sqrt {\frac {\eta _{c}}{\pi N}}}={\frac {L}{2}}{\sqrt {\frac {n_{c}}{N}}}}$臨界ディスク半径です。

${\displaystyle \eta _{c}=\pi abN/L^{2}}$それぞれ長半径 a と短半径 b の楕円の場合。アスペクト比は です。 ${\displaystyle \epsilon =a/b}$${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$寸法がおよびの長方形の場合。アスペクト比は です。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$${\displaystyle \ell >m}$

${\displaystyle \eta _{c}=\pi xN/(4L^{2}(x-2))}$、 のべき乗分布円板の場合。 ${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$${\displaystyle R\geq 1}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$臨界面積率に等しい。

ディスクについては、Ref. ^[99]でを使用します。ここで は半径 のディスクの密度です。 ${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\pi x/2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}}$単位面積あたりの最大長さの物体の数に等しい 。 ${\displaystyle \ell =2a}$

楕円の場合、${\displaystyle n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}}$

ボイドパーコレーションの場合、臨界ボイド率です。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

楕円の値の詳細については、^{[109] [112]を参照してください。}

長方形の値の詳細については^{[115]を参照。}

楕円と長方形は両方とも超楕円に属し、 です。超楕円のパーコレーション値の詳細については、^{[102]を参照してください。}${\displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$

単分散粒子系の場合、凹面形状のスーパーディスクのパーコレーション閾値は^{[121]に示されているように得られる。}

ディスクのバイナリ分散については、^{[95] [122] [123]を参照。}

*理論上の推定

べき乗相関を仮定する${\displaystyle C(r)\sim |r|^{-\alpha }}$

h はスラブの厚さ、h × ∞ × ∞ です。境界条件 (bc) はスラブの上部と下部の平面を参照します。

充填係数 = すべての格子サイトで接触する球によって満たされた空間の割合（均一な結合長を持つシステムのみ）。原子充填係数とも呼ばれます。

充填率（または臨界充填率） = 充填係数 * p _c（サイト）。

NN = 最近傍、2NN = 次に最近傍、3NN = 次のさらに最近傍、など。

kxkxk 立方体は格子上の占有サイトの立方体であり、辺と角を削除した長さ (2k+1) の立方体の拡張範囲パーコレーションと同等で、z = (2k+1) ³ -12(2k-1)-9 (中心サイトは z にカウントされません) です。

質問：hcp 格子と fcc 格子の結合閾値は、小さな統計誤差の範囲内で一致しています。それらは同一ですか、そうでない場合、どれくらい離れていますか？どちらの閾値の方が大きいと予想されますか？氷格子とダイヤモンド格子についても同様です。^{[189]を参照してください。}

ここでは、立方体内で頂点を均一に移動させることによって単位間隔の規則的な格子を歪ませ、サイトが互いにユークリッド距離内にある場合の浸透を考慮します。 ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha ),(z-\alpha ,z+\alpha )}$${\displaystyle d}$

サイト閾値は、格子サイトあたりの重なり合うオブジェクトの数です。被覆率φ _cは、被覆されるサイトの正味の割合、vは体積（立方体の数）です。重なり合う立方体については、3D 格子の閾値のセクションで説明します。ここで、z はいずれかの方向の k-mer への配位数であり、${\displaystyle z=6k^{2}+18k-4}$

カバレッジは、スティックの場合は 、プラケットの場合は から計算されます。 ${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k}}$${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k^{2}}}$

詰まった球体とポリマー マトリックスを除いて、すべてが重なり合っています。

${\displaystyle \eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}}$は総体積（球の場合）で、N はオブジェクトの数、L はシステムのサイズです。

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$ランダムに配置された重なり合った物体に有効な臨界体積分率です。

ディスクとプレートの場合、これらは有効体積と体積分率です。

ボイド（「スイス・チーズ」モデル）の場合、臨界ボイド率です。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

楕円体と楕円板の周りの空隙浸透に関する詳細な結果については、^{[213]を参照してください。}

楕円体浸透値の詳細については^{[201]を参照。}

球状円筒の場合、H/Dは円筒の高さと直径の比であり、その上に半球が被せられる。追加の値は^{[198]に示されている。}

スーパーボールの場合、mは変形パラメータであり、浸透値は^{[214] [215]}で与えられます。さらに、凹型スーパーボールの閾値も^{[121]で決定されています。}

直方体のような粒子（超楕円体）の場合、mは変形パラメータであり、より多くの浸透値が与えられる。^[200]

ボイドパーコレーションとは、重なり合った物体の周囲の空間におけるパーコレーションを指します。ここで、 は 臨界点におけるボイド（粒子ではない）が占める空間の割合を指し、 と関連しています。 は 、上記の連続体パーコレーションのセクションと同様に定義されます。 ${\displaystyle \phi _{c}}$${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle ^{*}}$ドリリングパーコレーションでは、サイトしきい値は、各方向で削除されていない列の割合を表します。1d ドリリングの場合、(列) (サイト) になります。 ${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}^{3}}$${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$

^†チューブパーコレーションにおいて、結合閾値は、隣接する垂直チューブセグメント間に結合を配置する確率が となるようなパラメータの値を表します。ここで、 は2つの隣接するチューブセグメントの重なり高さです。^[233]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 1-e^{-\mu h_{i}}}$${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

4dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$

5dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$

6dでは、. ${\displaystyle \eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$重なり合う物体に有効な臨界体積分率です。

ボイドモデルの場合、は臨界ボイド率であり、重なり合う物体の総体積である。 ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$${\displaystyle \eta _{c}}$

高次元超立方格子上の閾値については、漸近級数展開がある ^{[236] [244] [247]}

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

ここで、 である。例えば、13次元の結合パーコレーションの場合、測定値との誤差は10 ⁻⁶未満であり、これらの式は高次元のシステムにも有用である。 ${\displaystyle \sigma =2d-1}$

1次元鎖では、異なるサイトと間の結合が確立され、その確率は指数 のべき乗法則に従って減少します。パーコレーションはの臨界値で発生します^{[250] [251]}。数値的に決定されたパーコレーション閾値は次のように与えられます: ^[252]${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle C_{c}<1}$${\displaystyle \sigma <1}$

これらの格子には、2 つのパーコレーションしきい値が存在する可能性があります。下限しきい値は、それを超えると無限クラスターが出現する確率であり、上限しきい値は、それを超えると一意の無限クラスターが存在する確率です。

注: {m,n}はシュレーフリ記号で、各頂点でn個の正多角形が交わる双曲格子を表す。

{P,Q} 上の結合パーコレーションについては、双対性により となります。サイトパーコレーションについては、三角格子の自己整合により となります。 ${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$

配位数付きケーリー木（ベーテ格子）${\displaystyle z:p_{c}=1/(z-1)}$

nn = 最近傍。( d  + 1)次元ハイパーキュービックシステムの場合、ハイパーキューブはd次元にあり、時間方向は2Dの最近傍を指します。

p_b = 債券閾値

p_s = サイト閾値

サイト結合パーコレーションは、接続の確率が異なることと同等です。

P_0 = サイトが接続されていない確率

P_2 = ちょうど 1 つの子孫が上位の頂点に接続されている確率 (2 つが接続されている)

P_3 = 両方の子孫が元の頂点に接続されている確率（3つすべてが接続されている）

数式:

P_0 = (1-p_s) + p_s(1-p_b)^2

P_2 = p_s p_b (1-p_b)

P_3 = p_s p_b^2

P_0 + 2P_2 + P_3 = 1

不均一三角格子結合パーコレーション^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

不均一ハニカム格子結合パーコレーション = カゴメ格子サイトパーコレーション^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

不均質（3,12^2）格子、サイトパーコレーション^{[7] [280]}

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$ または${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

不均質ユニオンジャック格子、確率によるサイトパーコレーション^[281]${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

不均質マティーニ格子、結合パーコレーション^{[73] [282]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

不均一マティーニ格子、サイトパーコレーション。r = 星内のサイト

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

不均質マティーニ A (3–7) 格子、結合パーコレーション。左側 (「A」の上から下): 。右側: 。交差結合: 。 ${\displaystyle r_{2},\ p_{1}}$${\displaystyle r_{1},\ p_{2}}$${\displaystyle \ r_{3}}$

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

不均一マティーニB（3-5）格子、結合パーコレーション

外側を結合三角形で囲んだ不均質マティーニ格子、内側から外側への確率、結合パーコレーション^[282]${\displaystyle y,x,z}$

${\displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

不均質チェッカーボード格子、結合パーコレーション^{[57] [93]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

不均質ボウタイ格子、結合パーコレーション^{[56] [93]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

ここで、は正方形の周りの 4 つの結合であり、は結合と の間の頂点を接続する対角結合です。 ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle p_{4},p_{1}}$${\displaystyle p_{2},p_{3}}$