タルスキの公理

タルスキの公理はユークリッド幾何学の公理系であり、特にユークリッド幾何学のうち恒等一階述語論理で定式化できる部分（つまり初等理論として定式化できる部分）を対象としている。そのため、基礎となる集合論を必要としない。このシステムの唯一の基本オブジェクトは「点」であり、唯一の基本述語は「媒介性」（ある点が他の 2 点間の線分上にあるという事実を表す）と「合同性」（2 点間の距離が他の 2 点間の距離に等しいという事実を表す）である。このシステムには、無数の公理が含まれる。

この公理体系は、1926年に初めて発表されたアルフレッド・タルスキによるものです。^[1]ユークリッド幾何学の他の現代的な公理化には、ヒルベルトの公理（1899年）とバーコフの公理（1932年）があります。

タルスキは、彼の公理系を用いて、ユークリッド幾何学の第一階理論が無矛盾で、完全かつ決定可能であることを示すことができた。つまり、その言語におけるすべての文は、公理から証明可能か反証可能かのいずれかであり、与えられた文が証明可能かどうかを判断するアルゴリズムが存在する。

タルスキはキャリアの初期に幾何学を教え、集合論を研究しました。同僚のスティーブン・ギヴァント (1999) はタルスキの出発点について次のように説明しています。

タルスキはエンリケスから、ペアノの影響を強く受けたイタリアの幾何学者マリオ・ピエリの研究について学んだ。タルスキは、論理構造と公理の複雑さがよりわかりやすいピエリの体系（『点と球面の回想録』）を好んだ。

ジヴァントは、タルスキが「典型的な徹底性をもって」自らのシステムを考案したと述べている。

タルスキの幾何学へのアプローチは、何が違っていたのでしょうか。まず第一に、その公理体系は、それまで存在していたどの公理体系よりもずっと単純でした。実際、タルスキの公理をすべて合わせた長さは、ピエリの 24 の公理のうちの 1 つとほとんど変わりません。タルスキは、定義概念の助けを借りずに、すべての公理を基本概念のみで表現できるほど単純だった、ユークリッド幾何学の最初の体系でした。さらに重要なことは、完全な幾何学とその基本的部分、つまり最初の順序の部分との間に、初めて明確な区別がなされたことです。

ユークリッド幾何学の他の現代的な公理化と同様に、タルスキの公理化は、文と呼ばれる記号列からなる形式体系を採用しており、その構成は形式的な統語規則と、文の許容される操作を決定する証明規則を尊重している。バーコフやヒルベルトなどの他の現代的な公理化とは異なり、タルスキの公理化には点以外の基本的対象がないため、変数や定数は線や角度を参照できない。点が唯一の基本的対象であり、タルスキの体系は一階理論であるため、線を点の集合として定義することさえできない。唯一の基本的関係（述語）は、点間の「媒介性」と「合同性」である。

タルスキの公理化は、ある意味ではタルスキとギヴァント (1999) が明示しているように、ライバルのものよりも短い。ピエリの公理化よりも簡潔なのは、ピエリは基本概念を 2 つしか持たなかったのに対し、タルスキは点、媒介性、合同の 3 つを導入したからである。基本概念と定義概念のこのような節約は、タルスキのシステムがユークリッド幾何学を行うのにあまり便利ではないことを意味している。むしろ、タルスキは、数理論理学のツールを介した分析を容易にすること、すなわち、メタ数学的特性の導出を容易にすることを目的としてシステムを設計した。タルスキのシステムには、すべての文が冠頭標準形の特殊なケースである普遍存在形式で記述できるという珍しい特性がある。この形式では、すべての普遍量指定子が存在量指定子の前に来るため、すべての文を という形式に書き直すことができる。この事実により、タルスキはユークリッド幾何学が決定可能であることを証明できた。つまり、任意の文の真偽を決定できるアルゴリズムが存在するのである。タルスキの公理化も完全である。これはゲーデルの第一不完全性定理と矛盾しない。なぜならタルスキの理論にはロビンソン算術を解釈するために必要な表現力が欠けているからである（Franzén 2005、pp. 25–26）。 ${\displaystyle \forall u\forall v\ldots \exists a\exists b\dots .}$

アルフレッド・タルスキは、 1926年から1983年に亡くなるまでユークリッド幾何学の公理化とメタ数学に断続的に取り組んでおり、タルスキ(1959)は、この分野に対する彼の成熟した関心を予感させるものでした。ユークリッド幾何学に関するタルスキと彼の学生たちの研究は、モノグラフSchwabhäuser、Szmielew、およびTarski(1983)で最高潮に達しました。このモノグラフでは、以下に示す10個の公理と1つの公理図式、関連するメタ数学、およびこの分野のかなりの部分が提示されています。Gupta(1965)は重要な貢献をしており、TarskiとGivant(1999)は歴史について論じています。

これらの公理は、タルスキが1920年代にユークリッド平面幾何学のメタ数学的性質の研究の一環として考案した集合の、より洗練されたバージョンである。この目的を達成するには、その幾何学を一階理論として再定式化する必要がありました。タルスキは、点の宇宙を仮定し、小文字はその宇宙にわたる変数を表すこと でこれを実現しました。等式は、基礎となる論理によって提供されます（一階論理#等式とその公理を参照）。^[2]次に、タルスキは2つの基本関係を仮定しました。

• 媒介性、三項関係。原子文 Bxyz は、点y が点xと点zの「間」にあること、言い換えれば、yが線分 xz上の点であることを示します。(この関係は包括的に解釈されるため、x=yまたはy=zの場合は常にBxyz が自明に真となります)。
• 合同（または「等距離」）、四項関係。原子文 Cwxyzまたは一般にwx ≡ yz は、 wx がyzと合同である、つまり線分wxの長さが線分yzの長さに等しいと解釈できます。

媒介性はユークリッド幾何学のアフィン側面（直線の平行性など）を、合同性はその計量側面（角度や距離など）を捉えます。背景の論理には、 = で表される二項関係である恒等式が含まれます。

以下の公理は、それらが呼び出す関係の種類によってグループ化され、最初に存在量指定子の数で、次に原子文の数でソートされます。公理は普遍閉包として読み取られるべきであり、したがって、任意の自由変数は暗黙的に普遍量化されているとみなされるべきです。

合同性の反射性

${\displaystyle xy\equiv yx\,.}$

合同性の同一性

${\displaystyle xy\equiv zz\rightarrow x=y.}$

合同の推移性

${\displaystyle (xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.}$

合同関係は、形式的には点間の 4 方向の関係ですが、非形式的には 2 つの線分と の間の 2 項関係と考えることもできます。上記の「反射性」公理と「推移性」公理を組み合わせると、次の両方が証明されます。 ${\displaystyle xy\equiv zw}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle zw}$

• この二項関係は実際には同値関係である
  • それは反射的です: 。${\displaystyle xy\equiv xy}$
  • それは対称的です。${\displaystyle xy\equiv zw\rightarrow zw\equiv xy}$
  • それは推移的です。${\displaystyle (xy\equiv zu\land zu\equiv vw)\rightarrow xy\equiv vw}$
• 線分の点を指定する順序は無関係です。
  • ${\displaystyle xy\equiv zw\rightarrow xy\equiv wz}$。
  • ${\displaystyle xy\equiv zw\rightarrow yx\equiv zw}$。
  • ${\displaystyle xy\equiv zw\rightarrow yx\equiv wz}$。

「推移性」公理は、合同性がユークリッドの「共通概念」の最初のものを尊重する点でユークリッド的であると主張します。

「合同性の恒等式」公理は、直感的に言えば、xy が同じ点で始まり、終わる線分と合同である場合、xとy は同じ点であると述べています。これは、二項関係の反射性の概念と密接に関連しています。

中間性のアイデンティティ

${\displaystyle Bxyx\rightarrow x=y.}$

線分上の唯一の点は、その線分自身です。 ${\displaystyle xx}$${\displaystyle x}$

パシュの公理

${\displaystyle (Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).}$

連続性の公理スキーマ

φ( x ) と ψ( y )を、 aまたはbの自由インスタンスを含まない1 階の論理式とします。また、 ψ( y ) 内のxの自由インスタンスやφ( x ) 内のyの自由インスタンスも存在しないものとします。このとき、次のスキーマのすべてのインスタンスは公理です。

${\displaystyle \exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby] が存在します。}$

r を端点aを持つ直線とします。一次式 φ と ψ がrの部分集合XとYを定義し、 Yのすべての点が( aに関して) Xのすべての点の右側にあるとします。すると、 rにはXとY の間にある点b が存在します。これは本質的にはデデキント切断の構築であり、集合上の量化を回避する方法で実行されます。

式 φ( x ) と ψ( y ) にはパラメータ、つまりa、b、x 、 yとは異なる自由変数が含まれる場合があることに注意してください。実際、パラメータを含まない公理スキームの各インスタンスは、他の公理から証明できます。^[3]

低次元

${\displaystyle \exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].}$

3 つの非共線的な点が存在します。この公理がなければ、理論は1 次元の実数直線、単一の点、または空集合 によってモデル化される可能性があります。

上次元

${\displaystyle (xu\equiv xv)\land (yu\equiv yv)\land (zu\equiv zv)\land (u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).}$

2 つの異なる点から等距離にある 3 つの点は直線を形成します。この公理がなければ、理論は3 次元またはより高次元の空間でモデル化できます。

ユークリッドの公理

この公理には、以下の A、B、C とラベル付けされた 3 つのバリエーションがあります。これらは、残りのタルスキの公理を前提とすると互いに同等であり、実際、ユークリッドの平行線公理と同等です。

答：${\displaystyle ((Bxyw\land xy\equiv yw)\land (Bxuv\land xu\equiv uv)\land (Byuz\land yu\equiv uz))\rightarrow yz\equiv vw.}$

与えられた三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分を考えます。その線分の長さは 3 番目の辺の半分になります。これは、任意の三角形の内角の合計が 2 つの直角になることに相当します。

B :${\displaystyle Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy\lor \exists a\,(xa\equiv ya\land xa\equiv za).}$

任意の三角形に対して、そのすべての頂点を含む 円が存在します。

C :${\displaystyle (Bxuv\land Byuz\land x\neq u)\rightarrow \exists a\,\exists b\,(Bxya\land Bxzb\land Bavb).}$

任意の角度とその内部の任意の点vが与えられた場合、 v を含み、角度の両側に端点を持つ 線分が存在します。

それぞれのバリアントには、他のバリアントに比べて利点があります。

• A は存在量指定子を省略します。
• Bは変数と原子文が最も少ない。
• C では、媒介性という 1 つの基本的な概念だけが必要です。このバリエーションは、文献でよく示されているものです。

5セグメント

${\displaystyle {(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.}$

2 つの三角形xuzとx'u'z'から始めます。各三角形の頂点を、頂点の反対側の辺の点に結ぶ線分yuとy'u' を描きます。その結果、5 つの線分で構成される 2 つの三角形が分割されます。1 つの三角形の 4 つの線分がそれぞれ他の三角形の線分と合同である場合、両方の三角形の 5 番目の線分は合同でなければなりません。

これは、 2 つの三角形が合同であることを決定する辺-角-辺の規則に相当します。角uxzとu'x'z'が合同であり (合同な三角形xuzとx'u'z'が存在する)、2 組の接辺が合同 ( xu ≡ x'u'およびxz ≡ x'z' ) である場合、残りの辺のペアも合同 ( uz ≡ u'z' ) です。

セグメント構築

${\displaystyle \exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].}$

任意の点yに対して、任意の線分abと合同な直線を任意の方向（ xによって決定）に描くことができます。

Tarski と Givant (1999: 192-93) によると、上記の公理はどれも根本的に新しいものではありません。最初の 4 つの公理は、2 つの基本関係のいくつかの基本的特性を確立します。たとえば、合同性の反射性と推移性は、合同性が線分上の同値関係であることを確立します。合同性の恒等式と媒介性の恒等式は、これらの関係が区別されない点に適用される場合の自明なケースを規定します。定理xy ≡ zz ↔ x = y ↔ Bxyx は、これらの恒等式公理を拡張します。

媒介性に関する他の多くの性質は定理^[4]として導出可能である。

• 反射性：Bxxy  ;
• 対称性：Bxyz → Bzyx  ;
• 推移性: ( Bxyw ∧ Byzw ) → Bxyz  ;
• 接続性: ( Bxyw ∧ Bxzw ) → ( Bxyz ∨ Bxzy )。

最後の 2 つのプロパティは、線分を構成する点を 完全に順序付けます。

上次元公理と下次元公理を合わせると、これらの公理のどのモデルも次元 2 を持つことが要求されます。つまり、ユークリッド平面を公理化しているということです。これらの公理を適切に変更すると、次元0、1、および 2 より大きい場合のユークリッド幾何学の公理セットが得られます (Tarski および Givant 1999: 公理 8 ⁽¹⁾、8 ⁽ⁿ⁾、9 ⁽⁰⁾、9 ⁽¹⁾、9 ^{(n) )。}ヒルベルトの公理の場合とは異なり、立体幾何学では新しい公理は必要ないことに注意してください。さらに、n次元の下位次元は、 n - 1 次元の上位次元の否定にすぎません。

次元数が 1 より大きい場合、合同性の観点から媒介性を定義できます(Tarski および Givant、1999)。まず、「≤」関係を定義します ( 「線分の長さが線分の長さ以下である」と解釈されます)。 ${\displaystyle ab\leq cd}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle cd}$

${\displaystyle xy\leq zu\leftrightarrow \forall v(zv\equiv uv\rightarrow \exists w(xw\equiv yw\land yw\equiv uv)).}$

2 次元の場合、直感は次のようになります。任意の線分xyについて、 xvの長さの可能な範囲を考えます。ここで、v はxyの垂直二等分線上の任意の点です。 xvの長さに上限はありませんが、 vがxyの中点であるときに下限があることは明らかです。したがって、xyがzu以下の場合、 xvの長さの可能な範囲は、 zwの長さの可能な範囲のスーパーセットになります。ここで、wはzuの垂直二等分線上の任意の点です。

媒介性は、任意の 2 点間の最短距離は直線であるという直感を使用して定義できます。

${\displaystyle Bxyz\leftrightarrow \forall u((ux\leq xy\land uz\leq zy)\rightarrow u=y).}$

連続性の公理スキーマは、直線上の点の順序付けが完全であることを保証します(1 階の定義可能なプロパティに関して)。Tarski が指摘したように、変数が任意の点の集合を参照できるようにすると、この 1 階の公理スキーマはより強力な2 階の連続性の公理に置き換えることができます。結果として得られる 2 階のシステムは、ヒルベルトの公理集合と同等です (Tarski および Givant 1999)。

パシュとユークリッドの公理はよく知られています。線分構成公理は、長さ 1 を任意の空でない線分に割り当てるだけで、測定と直交座標系を可能にします。実際、(Schwabhäuser 1983) では、0 と 1 と呼ばれる線上の 2 つの区別された点を指定することにより、加算、乗算、順序付けを定義し、その線上の点の集合を実閉順序体に変えることができることが示されています。次に、この体から座標を導入して、タルスキの公理のすべてのモデルが、実閉順序体上の 2 次元平面と同型であることを示します。

平行性や直線の交差（直線は直線上の 2 つの異なる点によって表される）、直角、角度の合同、三角形の相似、直線と円の接線（中心点と半径によって表される）といった標準的な幾何学的概念はすべて、タルスキのシステムで定義できます。

wff をTarski のシステムにおける整形式の式(または構文的に正しい一階述語式) とします。Tarski と Givant (1999: 175) は Tarski のシステムが次の式であることを証明しました。

• 一貫性: それとその否定の両方が公理から証明できるような wff は存在しません。
• 完全: すべての wff またはその否定は、公理から証明可能な定理です。
• 決定可能:あらゆる wff について、公理から証明可能か反証可能かを決定する アルゴリズムが存在します。これは Tarski の次の式に従います。
  • 実閉体に対する決定手順。これは量限定子消去法によって発見された（タルスキ・ザイデンベルクの定理）。
  • 上記の表現を実閉体上の2次元平面として認める公理。

この結果、タルスキの体系で一階文として定式化できる（二階、一般）ユークリッド幾何学のあらゆる文は、タルスキの体系で証明できる場合にのみ真となり、この証明可能性はタルスキのアルゴリズムで自動的にチェックできる。これは、たとえばユークリッドの『原論』第 1 巻のすべての定理に当てはまる。このように定式化できないユークリッド幾何学の定理の例は、アルキメデスの性質である。つまり、任意の 2 つの正の長さの線分S ₁とS _{2に対して、} nS _1がS ₂より長くなるような自然数n が存在する。（これは、無限小を含む実閉体が存在するという事実の結果である。^[5]）タルスキの体系で表現できないその他の概念には、定規とコンパスによる構成可能性や、「すべての多角形」などについて述べる文がある。^[6]

グプタ（1965）は、パシュと合同性の反射性を除いて、タルスキの公理が独立であることを証明した。

ユークリッド公理を否定すると双曲幾何学が得られ、完全に排除すると絶対幾何学が得られます。完全な（初等的ではない）ユークリッド幾何学では、第一階の公理化を放棄する必要があります。連続性の公理図式におけるφ( x ) と ψ( y ) をx ∈ Aとy ∈ Bに置き換えます。ここで、AとB は点の集合にわたる普遍量化された変数です。

平面幾何学におけるヒルベルトの公理は16 個あり、これには、推移的合同性とパシュの公理の変形が含まれます。タルスキの公理に関する説明で参照される直観幾何学の概念は、三角形のみです。(ユークリッドの公理のバージョンBとC は、それぞれ「円」と「角度」に言及しています。) ヒルベルトの公理には、「光線」、「角度」、および角度を「含む」三角形の概念も必要です。媒介性と合同性に加えて、ヒルベルトの公理には、点と線を結び付ける「上の」 基本的な2 項関係が必要です。

ヒルベルトは連続性の公理を 2 つ使用しており、それらは2 階論理を必要とします。対照的に、タルスキの連続性の公理スキームは、無限の数の 1 階公理で構成されています。このようなスキームは不可欠です。タルスキ (または同等の) 言語でのユークリッド幾何学は、1 階理論として有限に公理化することはできません。

したがって、ヒルベルトのシステムはかなり強力です。すべてのモデルは実平面に同型です（点と線の標準的な概念を使用）。対照的に、タルスキのシステムには多くの非同型モデルがあります。すべての実閉体Fに対して、平面F ^{2 は}そのようなモデルの1つを提供します（中間性と合同性が明白な方法で定義されます）。^[7]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

平面幾何学におけるヒルベルトの公理の最初の 4 つの公理群は、連続性を除いたタルスキの公理と双方向に解釈可能です。

• ユークリッド幾何学
• ユークリッド空間

• フランツェン、トルケル（2005）、ゲーデルの定理：その使用と乱用に関する不完全なガイド、AKピーターズ、ISBN 1-56881-238-8
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