三項関係

数学において、三項関係または三項関係は、関係内の場所の数が 3 である有限関係です。三項関係は、3 進、 3 項、3 次元、または3 場所と呼ばれることもあります。

2 項関係がペアの集合、つまりいくつかの集合 A と B の直積 A × B のサブセットとして正式に定義されているの と同様に、3項関係は3つの集合A、B、Cの直積A × B × Cのサブセットを形成する 3 項の集合です。

初等幾何学における三元関係の例は、3 つの点の三元関係で表すことができます。3 つの点が同一直線上にある場合、3 元関係は三元関係にあります。もう 1 つの幾何学的な例は、2 つの点と 1 本の線からなる三元関係を考えることで得られます。3 つの点が線を定める (線に接する)場合、3 元関係は三元関係にあります。

2 変数の関数f  : A × B → C は、集合AとBの 2 つの値をそれぞれCの値にマッピングしますが、A × Bのすべてのペア ( a , b ) にCの要素f ( a ,  b ) が関連付けられます。したがって、そのグラフは、 (( a , b ), f ( a , b ))という形式のペアで構成されます。最初の要素自体がペアであるようなペアは、多くの場合、トリプルと同一視されます。これにより、fのグラフは、A 、 B 、およびCの間の 3 項関係となり、すべてのトリプル( a , b、f ( a , b ))で構成され、Aのa 、Bのb、およびCのf ( a , b ) を満たします。

要素が円上に配置されている任意の集合A が与えられたとき、要素a、 b 、 c が互いに異なり、 a から c へ時計回りに進むときに b を通過する場合にのみ R ( a 、b、c )が成立すると規定することにより、A上の三元関係R 、つまりA 3 = A × ^A × Aのサブセットを定義できます。たとえば、A = { 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12 } が時計の文字盤上の時間を表す場合、R (8、 12、 4)は成立しますが、R (12、 8、 4) は成立しません。

算数の通常の合同

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

3 つの整数a、b、mに対して、 m がa − bを割り切る場合に限り成り立つこの関係は、正式には 3 値関係と見なすことができます。ただし、通常は、これはaとb の間の、係数mでインデックス付けされた2 値関係の族とみなされます。各固定されたmに対して、この 2 値関係は、同値関係であるなど、いくつかの自然な特性を持っています。一方、一般に、結合された 3 値関係は、 1 つの関係として研究されることはありません。

型付け関係 Γ ⊢ e : σ は、 e がコンテキスト Γ 内の型σの項であることを示しており、したがってコンテキスト、項、型の間の三項関係です。

集合上の同次関係 A、B、C が与えられたとき、関係ABの合成と包含AB ⊆ Cを使って三項関係( A、B、C )を定義できる。関係の計算では、各関係Aには逆関係A ^Tと補関係Aがある。これらの反転を使って、オーガスタス・ド・モルガンとエルンスト・シュレーダーは( A、B、C )が( C、B ^T、A )と同値であり、また( A ^T、C、B )とも同値であることを示した。三項関係( A、B、C ) から構成されるこれらの形式の相互同値は、シュレーダー規則と呼ばれる。^[1]