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幾何学において、パシュの公理は平面幾何学における命題であり、ユークリッドが暗黙のうちに用いたが、ユークリッドが与えた公理からは導出できないものである。 [1]その本質的な役割は1882年にモーリッツ・パシュによって発見された。[2]
声明
この公理は次のように述べている。[3]
パッシュの公理 — A、B、C を直線上にない 3 つの点とし、a を平面 ABC 上で A 、 B 、 C のいずれの点とも交わらない直線とします。直線 aが線分ABの点を通過する場合、線分ACの点または線分BCの点も通過します。
線分ACとBCの両方が線分aと交差しないという事実は、 P.ベルネイズによって書かれた補足I,1で証明されています。[4]
この公理のより現代的なバージョンは次のようになります。[5]
パッシュの公理のより現代的なバージョン — 平面において、直線が三角形の 1 つの辺と内部的 に交差する場合、その直線が三角形の頂点を通らない限り、その直線は正確に他の 1 つの辺と内部的に交差し、3 番目の辺と外部的に交差します。
(3 番目の辺が直線に平行な場合は、「無限遠での交差」を外部としてカウントします。) この公理のより非公式なバージョンがよく見られます。
パッシュの公理のより非公式なバージョン — 三角形のどの頂点も通らない線が三角形の 1 つの辺と交わる場合、その線は三角形の別の辺と交わります。
歴史
パッシュは1882年にこの公理を発表し[2]、ユークリッドの公理が不完全であることを示した。この公理は、平面幾何学に順序の概念を導入するパッシュのアプローチの一部であった。
同値性
初等幾何学の他の扱いでは、異なる公理セットを使用して、パシュの公理は定理として証明できます。[6]平面分離公理を公理の1つとしてとらえると、それは平面分離公理の結果です。ヒルベルトはユークリッド幾何学の公理的扱いでパシュの公理を使用しています。[7]ヒルベルトの体系の残りの公理を考えると、パシュの公理は平面分離公理と論理的に同等であることが示されます。[8]
ヒルベルトによるパシュの公理の使用
デイヴィッド・ヒルベルトは、ユークリッド幾何学の公理的基礎を提供する著書「幾何学の基礎」の中で、パッシュの公理を使用している。版によって、II.4 または II.5 の番号が付けられている。[7]彼の発言は上記の通りである。
ヒルベルトの扱いでは、この公理は順序の公理に関するセクションに登場し、順序の平面公理と呼ばれています。彼はこの公理を三角形の辺（線分ではなく線として考える）の観点から表現していないため、直線aと三角形ABCの辺との内部交差と外部交差について話す必要はありません。
注意点
パシュの公理は、直線上の 4 点の順序に関する記述であるパシュの定理とは異なります。ただし、文献ではパシュの公理がパシュの定理として言及されている例が多くあります。その顕著な例は Greenberg (1974、p. 67) です。
パッシュの公理は射影幾何学におけるヴェブレン＝ヤングの公理[9]と混同してはならない。ヴェブレン＝ヤングの公理は次のように表現される。
射影幾何学におけるヴェブレン＝ヤングの公理 — 直線が三角形の 2 辺と交差する場合、3 辺目とも交差します。
ヴェブレン＝ヤング公理の記述には、内部交差と外部交差については何も触れられていません。これは、線が交わるという発生特性のみに関係しています。射影幾何学では、媒介の概念（内部と外部を定義するために必要）は有効ではなく、すべての線が交わります（したがって、平行線の問題は発生しません）。
注記
- ^ しかし、これはユークリッドが当然視していた平面分離のより弱い公理から導かれる。これはパムブッチアン2024に示されている。
- ^ ab Pasch 1912、p. 21より
- ^これは、ヒルベルトの 『幾何学の基礎』第 10 版のウンガー訳から引用したもので、II.4 と番号が付けられています。
- ^ Hilbert 1999、p. 200、Unger訳。
- ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、p. 7
- ^ ワイリー・ジュニア 1964年、100ページ
- ^ ヒルベルトの『幾何学の基礎』 (下記のタウンゼント訳を参照)の公理 II.5 は、L. ウンガー訳第 10 版の公認英語訳(これも Open Court 出版)では II.4 と番号が付けられています。これらの翻訳にはいくつかの違いがあります。
- ^ これにはヒルベルトの公理I.1,2,3とII.1,2,3のみが必要です。証明はFaber（1983、pp.116-117）に記載されています。
- ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、p. 6
参考文献
- Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998)、射影幾何学：基礎から応用まで、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-48364-3、MR 1629468
- フェイバー、リチャード L. (1983)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 978-0-8247-1748-3
- グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（1974年）、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：発展と歴史（第1版）、サンフランシスコ：WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0454-6
- グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（2007年）、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：発展と歴史（第4版）、サンフランシスコ：WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-9948-1
- デイヴィッド・ヒルベルト(1903)、Grundlagen der Geometrie (ドイツ語)、ライプツィヒ: BG Teubner
- ヒルベルト、デイヴィッド (1950) [1902]、幾何学の基礎(PDF)、タウンゼント、EJ 訳、イリノイ州ラサール: オープン コート パブリッシング
- ヒルベルト、デイヴィッド（1999）[1971]、幾何学の基礎、アンガー、レオ訳（第2版）、イリノイ州ラサール：オープンコート出版、ISBN 978-0-87548-164-7
- モイーズ、エドウィン（1990）、高度な立場から見た初等幾何学（第3版）、アディソン・ウェズリー、マサチューセッツ州リーディング、p. 74、ISBN 978-0-201-50867-3
- パンブッチアン、ビクター (2011)、「順序付き幾何学の公理: I. 順序付き接続空間」、Expositiones Mathematicae (29): 24–66、doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
- パムブッチアン、ビクター（2024）「なぜユークリッドはパシュ公理を必要としなかったのか？」、Journal of Geometry（115）、doi：10.1007/s00022-024-00712-x
- Pasch、Moritz (1912) [初版 1882]、Vorlesungen uber neuere Geometrie (ドイツ語) (第 2 版)、ライプツィヒ: BG Teubner
- ワイリー・ジュニア、クラレンス・レイモンド（1964年）、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-070-72191-3
- ワイリー・ジュニア、CR (2009) [1964]、「幾何学の基礎」、ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47214-0
外部リンク
- ワイスタイン、エリック・W.「パシュの公理」。マスワールド。