Loading article…
数学、特に群論において、有限群Gのホール部分群とは、その指数と位数が互いに素である部分群のことである。ホール部分群は群論学者フィリップ・ホールによって導入された（1928 年）。
整数nのホール約数(単位約数とも呼ばれる) は、 nの約数dであって、 dとn / dが互いに素であるもの です。ホール約数を見つける最も簡単な方法は、問題の数の素因数分解を書き、その因数の任意の部分集合を取ることです。たとえば、60 のホール約数を見つけるには、その素因数分解は 2 2 × 3 × 5 なので、3、2 2 = 4、および 5の任意の積を取ります。したがって、60 のホール約数は 1、3、4、5、12、15、20、および 60 です。
Gのホール部分群とは、その位数がGの位数のホール因子である部分群のことである。言い換えれば、その位数がその指数と互いに素である部分群のことである。
π が素数の集合である場合、ホールπ部分群とは、位数がπの素数の積であり、指数がπのどの素数でも割り切れない部分群のことである。
ホール（1928）は、Gが有限可解群であり、π が 任意の素数の集合である場合、 Gはホールπ部分群を持ち、任意の 2 つのホールπ部分群は共役であることを証明した。さらに、位数がπの素数の積である任意の部分群は、何らかのホールπ部分群に含まれる。この結果は、シローの定理をホール部分群に一般化したものと考えることができるが、上記の例は、群が可解でない場合には、そのような一般化は誤りであることを示している。
ホール部分群の存在は、有限可解群が正規基本アーベル部分群を持つという事実を利用して、Gの位数に関する帰納法によって証明できます。より正確には、 Gがπ分離群であるため、 π群またはπ′群のいずれかである最小正規部分群Aを固定します。帰納法により、Aを含むGの部分群Hが存在し、 H / AはG / Aのホールπ部分群となります。A が π 群であれば、HはGのホールπ部分群です。一方、Aがπ′群であれば、Schur–Zassenhaus の定理により、 AはHに補群を持ち、H はGのホールπ部分群となります。
任意の素数πの集合に対してHall π部分群を持つ有限群は可解群である。これは、素数pとqに対して位数がp a q bの形である群は可解群であるというバーンサイドの定理の一般化である。なぜなら、シローの定理はすべての Hall 部分群が存在することを示唆しているからである。これは (現時点では) バーンサイドの定理の別の証明を与えるものではない。なぜなら、バーンサイドの定理はこの逆を証明するために用いられるからである。
シロー系とは、すべての素数pに対して S p S q = S q S p が成り立つような、各素数pに対するシローp部分群の集合です。シロー系が存在する 場合、 π内のpに対する群S pによって生成される部分群は、ホールπ部分群となります。ホールの定理のより正確なバージョンでは、可解群は必ずシロー系を持ち、任意の 2 つのシロー系は共役であるとされています。
有限群Gの任意の正規ホール部分群Hは補群を持ちます。つまり、Hと自明に交わり、 HK = GとなるようなGの部分群Kが存在します(したがって、GはHとKの半直積です)。これがシュール・ザッセンハウスの定理です。