おおよそのグループ

数学において、近似群とは、正確な量的な意味で「一定の誤差を除いて」部分群のように振舞う群の部分集合である（したがって、近似部分群という用語の方が正確かもしれない）。たとえば、部分集合内の要素の積の集合は、部分集合自体よりもあまり大きくないことが求められる（一方、部分群の場合は、それらが等しいことが求められる）。この概念は 2010 年代に導入されたが、加法組合せ論の古い情報源に遡ることができる。

を群、を とする。2つの部分集合をの全積の集合で表す。空でない部分集合は、次の条件を満たすの近似部分群である: ^[1]${\displaystyle G}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle X,Y\subset G}$${\displaystyle X\cdot Y}$${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$${\displaystyle A\subset G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$

1. それは対称的です。つまり、次の場合です。${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle g^{-1}\in A}$
2. となるような基数のサブセットが存在します。${\displaystyle X\subset G}$${\displaystyle |X|\leq K}$${\displaystyle A\cdot A\subset X\cdot A}$

1 近似部分群は真部分群と同じものであることがすぐに検証されます。もちろん、この定義はが と比較して小さい場合にのみ興味深いものです(特に、任意の部分集合は -近似部分群です)。アプリケーションでは、が固定され、無限大に向かう 場合によく使用されます。${\displaystyle K}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle B\subset G}$${\displaystyle |B|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |A|}$

群ではない近似部分群の例としては、対称区間や、より一般的には整数の等差数列が挙げられます。実際、すべての に対して、部分集合は 2 近似部分群です。つまり、集合はの 2 つの変換との和集合に含まれます。の一般化された等差数列は、の形式の部分集合であり、 -近似部分群です。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$${\displaystyle X+N}$${\displaystyle XN}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$${\displaystyle 2^{d}}$

より一般的な例として、有限生成冪零群の語距離におけるボールが挙げられます。

整数群の近似サブグループは、Imre Z. RuzsaとFreimanによって完全に分類されました。 ^[2]結果は次のように述べられています。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

任意の に対してが存在し、任意の -近似部分群に対して、最大で個の整数によって生成され、少なくとも個の元を含む一般化された等差数列が存在し、となります。${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle c_{K}|A|}$${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$

定数は正確に推定できる。^[3]特に、は の変換に最大で含まれる。これは、 の近似部分群が「ほぼ」一般化された等差数列であることを意味する。 ${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{K}'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ブリューヤール・グリーン・タオの研究（数年前に様々な人々によって始められた努力の集大成）は、この結果を広く一般化したものである。非常に一般的な形で述べると、次のようになる：^[4]

とします。 が存在し、以下が成り立ちます。が の群と-近似部分群であるとします。 が有限かつ冪零であって となる部分群が存在し、 によって生成される部分群は を含み、となります。${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G_{0}/H}$${\displaystyle A^{4}\supset H}$${\displaystyle A^{4}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$

このステートメントは、べき零群の特性 (ランクとステップ) に関する情報も提供します。 ${\displaystyle G_{0}/H}$

が有限行列群である場合、結果はより正確になる。例えば、次のようになる。^[5]${\displaystyle G}$

とします。任意の に対して定数が存在し、任意の有限体、任意の単純部分群、任意の-近似部分群に対して、 、または、または のいずれかがの適切な部分群に含まれます。${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$

この定理は、たとえば に適用されます。ポイントは、定数が体の濃度に依存しないことです。ある意味では、これは有限単純線型群には興味深い近似部分群 (真の部分群を除く) が存在しないことを意味します (それらは「自明」、つまり非常に小さいか、「適切ではない」、つまりグループ全体とほぼ等しいかのいずれかです)。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle q}$

近似群の分類に関するブリューヤール・グリーン・タオの定理は、多項式増加群に関するグロモフの定理の新しい証明を与えるために使用できます。得られた結果は、実質的に冪零な群（多項式増加）と他の群の間に「成長ギャップ」が存在することを証明しているため、実際には少し強力です。つまり、（超多項式）関数が存在し、の倍数で制限される成長関数を持つ任意の群が実質的に冪零であるということです。^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

他の応用としては、有限単純群のケーリーグラフからの拡張グラフの構築や、関連するトピックである超強近似などがある。^{[7] [8]}

• Breuillard, Emmanuel (2012)。「エクスパンダー グラフ、特性 (τ)、近似群」。Bestvina, Mladen、Sageev, Michah、Vogtmann, Karen (編)。幾何群論(PDF)。IAS/Park City 数学シリーズ。第 21 巻。American Math. Soc. pp. 325–378。
• ブルイヤール、エマニュエル。タオ、テレンス。グリーン、ベン (2012)。 「近似群の構造」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。116 : 115–221。arXiv : 1110.5008。土井：10.1007/s10240-012-0043-9。S2CID  119603959。
• グリーン、ベン（2012年5月）。「近似グループとは何か？」（PDF）。AMSの通知。59 （5）。