双曲平衡点

力学系の研究において、双曲的平衡点または双曲的固定点は、中心多様体を持たない固定点である。双曲点の近くでは、2次元の非散逸系の軌道は双曲線に似ている。これは一般には成り立たない。 ストロガッツは「双曲的というのは不幸な名前だ。『鞍点』を意味するように聞こえるが、それが標準になっている」と指摘している。^[1]双曲点の近傍については、特に次のようないくつかの特性が成り立つ。 ^[2]

• 安定多様体と不安定多様体が存在する。
• シャドウイングが発生し、
• 不変集合上のダイナミクスは記号ダイナミクスで表現できる。
• 自然な尺度は定義できる。
• システムは構造的に安定しています。

がC ¹マップであり、p が不動点である場合、ヤコビ行列が複素単位円上に 固有値を持たないとき、p は双曲不動点であると言われます。${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

唯一の固定点が双曲的なマップの一例は、アーノルドの猫マップです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

固有値は次のように与えられるので

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

リャプノフ指数は次のようになります。

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}}1}$

したがって、それは鞍点です。

が臨界点p を持つC ¹ベクトル場、すなわちF ( p ) = 0 であるとし、J がpにおけるFのヤコビ行列を表すものとします。行列Jに実部がゼロの固有値がない場合、p は双曲型と呼ばれます。双曲型不動点は、双曲型臨界点または基本臨界点とも呼ばれます。^[3]${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

ハートマン・グロブマン定理は、双曲平衡点の近傍における力学系の軌道構造は、線形化された力学系 の軌道構造と位相的に等価であることを述べています。

非線形システムを考える

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-xx^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) は唯一の平衡点である。平衡点における線形化のヤコビ行列は

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

この行列の固有値は です。α ≠ 0のすべての値に対して 、固有値の実部はゼロではありません。したがって、この平衡点は双曲平衡点です。線形化されたシステムは、(0, 0) 付近の非線形システムと同様に動作します。α  = 0 の場合、システムは (0, 0) で非双曲平衡を持ちます 。${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

無限次元システム（たとえば時間遅延を伴うシステム）の場合、「スペクトルの双曲部分」という概念は上記の特性を指します。

• アノソフフロー
• 双曲集合
• 通常双曲不変多様体

• Eugene M. Izhikevich (編)。「平衡」。Scholarpedia。