確率的量子力学

確率力学は、内部のランダムプロセスやさまざまな外力の影響を受ける粒子のダイナミクスを記述するための枠組みです。この枠組みは、これらの確率粒子に関連する拡散方程式の導出を提供します。これは、ある種の保存的（またはユニタリー）拡散に対するシュレーディンガー方程式をコルモゴロフ方程式として導出したことで最もよく知られており、 ^{[1] [2]この目的では}確率量子力学とも呼ばれます。

導出は、量子化規定と組み合わせた作用の極値化に基づくことができる。^[2]この量子化規定は、正準量子化や経路積分定式化と比較することができ、ネルソンの確率的量子化または確率化と呼ばれることが多い。^[3]この理論はシュレーディンガー方程式の導出を可能にするため、量子力学の確率的解釈を生み出した。この解釈は、確率力学の理論を開発する主な動機となった。^[1]

量子力学における最初の比較的首尾一貫した確率論は、ハンガリーの物理学者イムレ・フェニェスによって提唱された。^{[4] [5] [6] [7]} ルイ・ド・ブロイ^{[8]は、粒子をある}パイロット波から別のパイロット波に切り替えるために、量子力学の根底にある確率過程を取り入れる必要があると感じた。^[7]確率力学の理論は、この枠組みの中でシュレーディンガー方程式の導出を独立に発見したエドワード・ネルソンに帰せられる。 ^{[1] [2]この理論は、デイビッドソン、}ゲラ、ルッジェーロ、パヴォンらによっても発展させられた。 ^[7]

確率的解釈は、量子力学の経路積分定式化における経路を確率過程のサンプル経路として解釈する。^[9]量子粒子はこれらの経路の1つに局在すると仮定するが、観測者は粒子がどこに局在するかを確実に予測することはできない。粒子の位置を特定する唯一の方法は、測定を行うことである。観測者は、以前の測定と粒子に作用する力に関する知識に基づいて、そのような測定の結果の確率を予測することしかできない。

この解釈は統計力学^[9]、特にブラウン運動の文脈ではよく知られている。したがって、確率論的解釈によれば、量子力学はブラウン運動に似た方法で解釈されるべきである。^[1]しかし、ブラウン運動の場合、統計的経路積分を定義する確率測度（ウィーナー測度^[10]と呼ばれる）の存在は確立されており、この測度はウィーナー過程^[11]と呼ばれる確率過程によって生成することができる。一方、量子力学的経路積分を定義する確率測度の存在を証明することは困難であり^{[12] [13]}、そのような確率測度が確率過程によって生成できることは保証されていない。確率力学は、量子力学の確率測度を生成するそのような確率過程の構築に関係する枠組みである。

ブラウン運動の場合、ブラウン運動粒子の統計的変動は、粒子と多数の微小粒子との相互作用によって引き起こされることが多いことが知られています。^{[14] [15] [16] [17]この場合、}ウィーナー過程によるブラウン運動の記述は近似としてのみ使用され、背景の個々の粒子のダイナミクスは無視されます。代わりに、これらの背景粒子の影響をその統計的挙動によって記述します。

量子力学の確率論的解釈は、量子粒子の量子ゆらぎの起源については不可知論的である。量子ゆらぎは、背景仮説と呼ばれる新しい確率論的自然法則の結果として導入される。^[2]この仮説は、「神はサイコロを振る」という主張の厳密な実装として解釈できるが、このサイコロゲームがブラウン運動の理論のような隠れた変数理論に置き換えられる可能性を残している。^[18]

この記事の残りの部分では、そのようなプロセスの定義と、このプロセスに関連する拡散方程式の導出について説明します。これは、ブラウン運動と量子力学を特別な制限とする一般的な設定で行われ、それぞれ熱方程式とシュレーディンガー方程式が得られます。導出は、ラグランジアン力学と確率計算のツールに大きく依存しています。

確率力学の公理はネルソンによって定式化された確率的量子化条件にまとめることができる。^[2]この条件に関する非相対論的理論は次のように述べている。^[19]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 量子粒子の軌道は、複素セミマルチンゲールの実射影によって記述される。ここで、は連続有限変化過程であり、は複素マルチンゲールである。${\displaystyle X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]}$${\displaystyle Z(t)=C(t)+M(t)}$${\displaystyle C(t)}$${\displaystyle M(t)}$
• 軌道は確率的に行動を極端化する。${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$
• マルチンゲールは、 独立した増分と有限モーメントを持つ連続プロセスである。さらに、その二次変化は構造関係によって固定される。ここで、は粒子の質量、縮小プランク定数、は無次元定数、はクロネッカーデルタである。^[20]${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \delta ^{ij}}$
• 時間逆転プロセスが存在し、同じ力学法則に従います。

分解と有限変化を持つという事実を用いると、との2次変化は次のように与えられることが わかる。${\displaystyle Z=X+{\rm {i}}\,Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt}$

したがって、レヴィのブラウン運動の特徴付けにより、およびは、有限変化過程 によって記述されるドリフト、 でスケーリングされる拡散定数、および角度 に依存する相関を持つ 2 つの相関ウィーナー過程を記述します。これらの過程は、 に関連付けられ に対応する量子極限で最大相関しますが、に関連付けられ に対応するブラウン運動極限では無相関です。 ${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle C(t)}$${\displaystyle |\alpha |\in [0,\infty )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}}$${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi \in \{0,\pi \}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

この量子化手順を説明するために確率的量子化という用語が導入されたのは1970年代です。^[21]現在、確率的量子化は、1981年にパリシとウーによって開発されたフレームワークを指すことが一般的です。そのため、確率力学で開発された量子化手順は、ネルソンの確率的量子化または確率化と呼ばれることもあります。^[3]

確率過程はほぼ確実に微分不可能であり、過程に沿った速度は明確に定義されていない。しかし、条件付き期待値を使用して定義される速度場が存在する。これらは次のように与えられる。 ${\displaystyle Z(t)}$${\displaystyle {\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}}$

${\displaystyle w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$およびは、過程 に沿ったイトー積分に関連付けることができます。過程 は微分可能ではないため、これらの速度は一般に互いに等しくありません。この事実の物理的な解釈は次のとおりです。任意の時点で粒子は、その速度をから に瞬間的に変更するランダムな力を受けます。2つの速度場は等しくないため、過程 に対する速度の一意の概念はありません。実際、${\displaystyle Z(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle w_{-}}$${\displaystyle w_{+}}$${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}}$

は、過程の速度 の有効な選択肢を表します。これは、 で示される特殊なケースに特に当てはまり、 に沿ったストラトノビッチ積分に関連付けることができます。 ${\displaystyle a\in [0,1]}$${\displaystyle Z(t)}$${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}}$${\displaystyle Z(t)}$

は2次非零変分を持つので、さらに2次の速度場を定義することができる。 ${\displaystyle Z(t)}$

${\displaystyle w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].}$

時間可逆性の公理は、これら 2 つの場に という関係を課します。さらに、2 次変化が固定される構造関係を使用すると、 ということがわかります。したがって、Stratonovich の定式化では、速度の 2 次部分はゼロになります。 ${\displaystyle w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}}$${\displaystyle w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$${\displaystyle w_{2,\circ }=0}$

速度の実数部と虚数部は次のように表される。

${\displaystyle v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.}$

これらの速度場の存在を利用して、速度過程を伊藤積分によって正式に定義することができます。同様に、過程をストラトノビッチ積分によって正式に定義し、2 次速度過程をスティルチェス積分によって正式に定義することができます。構造関係を使用すると、2 次速度過程は によって与えられることがわかります。ただし、過程と は明確に定義されていません。1 次モーメントは存在し によって与えられますが、2 次モーメントは発散します。つまり です。この発散の物理的な解釈は、位置表現では位置は正確にわかっているが、速度には無限の不確実性があるというものです。 ${\displaystyle W_{\pm }(t)}$ ${\displaystyle \int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)}$${\displaystyle W_{\circ }(t)}$${\displaystyle \int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)}$${\displaystyle W_{2}(t)}$ ${\displaystyle \int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)}$${\displaystyle W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}}$${\displaystyle W_{\pm }(t)}$${\displaystyle W_{\circ }(t)}$${\displaystyle \mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)}$${\displaystyle \mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty }$

確率的量子化条件は、確率的軌道が確率的作用を極限化しなければならないことを規定しているが、確率的ラグランジアンを指定していない。このラグランジアンは、標準的な手順を使用して古典的なラグランジアンから得ることができる。ここでは、次の形式の古典的なラグランジアンを考える。 ${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).}$

ここで、は位相空間（接線束）の座標、は上の計量を記述するクロネッカーのデルタ、 は粒子の質量、ベクトルポテンシャル での電荷、 はスカラーポテンシャルです。さらに、アインシュタインの総和規則が仮定されています。 ${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

このラグランジアンの重要な性質はゲージ不変性の原理である。これは、元の作用に全微分項を追加して 新しい作用を定義することで明示的に表すことができる。${\displaystyle {\tilde {S}}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,}$

ここで、およびです。したがって、ダイナミクスは作用への全微分の追加によって影響を受けないため、任意の微分可能関数に対するポテンシャルの上記の再定義の下では、作用はゲージ不変です。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F}$${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F}$${\displaystyle F}$

この古典的ラグランジアンに対応する確率的ラグランジアンを構築するには、このゲージ不変性を尊重する上記のラグランジアンの最小拡張を探す必要がある。^[22]ストラトノビッチ理論の定式化では、これは簡単に実行できる。ストラトノビッチ定式化における微分演算子は次のように与えられるからである。

${\displaystyle \int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

したがって、ストラトノビッチラグランジアンは、古典的な速度を複素速度に置き換えることによって得られ、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle w_{\circ }}$

${\displaystyle L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.}$

伊藤定式化では、全微分が伊藤の補題によって与えられるため、状況はより複雑になります。${\displaystyle \int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

2次微分項の存在により、ゲージ不変性は破れています。しかし、ベクトルポテンシャルの微分をラグランジアンに加えることで、ゲージ不変性を回復することができます。したがって、確率ラグランジアンは、次の形式のラグランジアンで与えられます。

${\displaystyle L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.}$

確率的作用はストラトノビッチラグランジアンを用いて定義することができ、これは発散項を除いて伊藤ラグランジアンによって定義された作用に等しい：^[2]

${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.}$

発散項は計算可能であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

ここで、は極の周りの経路の巻き数を数える巻き数である。^[23]${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle t=0}$

発散項は定数であるため、運動方程式には寄与しない。このため、この項は確率力学の初期の研究では無視されてきた。^[2]しかし、この項を無視すると、確率力学では量子力学における離散スペクトルの出現を説明できなくなる。この問題はヴァルストロムの批判として知られており、^{[24] [25]}発散項を適切に考慮することで解決できる。

確率力学のハミルトン定式化も存在する。^{[22] [26]}これは正準運動量の定義から始まる。

${\displaystyle p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,}$

${\displaystyle p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.}$

ストラトノビッチ定式化におけるハミルトニアンは、1次ルジャンドル変換によって得られる。

${\displaystyle H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.}$

一方、伊藤の定式化では、ハミルトニアンは2次のルジャンドル変換によって得られる。^[27]

${\displaystyle H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.}$

確率的作用は極限化することができ、オイラー・ラグランジュ方程式の確率的バージョンにつながる。ストラトノビッチの定式化では、これらは次のように与えられる。

${\displaystyle \int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

前のセクションで説明したラグランジアンの場合、これはストラトノビッチの意味での次の2次確率微分方程式につながります。

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,}$

ここで、場の強さは で与えられます。この式は、ニュートンの第2法則の確率論的バージョンとして機能します。 ${\displaystyle F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$

伊藤定式化では、確率オイラー・ラグランジュ方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle \int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

これは伊藤の意味で2階の確率微分方程式につながり、ニュートンの第2法則の確率バージョンとして次のように表される。

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.}$

運動方程式は、古典力学のハミルトン・ヤコビ定式化の確率論的一般化によっても得られる。この場合、ハミルトンの主関数を定義することから始める。ラグランジアンの場合、この関数は次のように定義される。 ${\displaystyle L_{+}}$

${\displaystyle S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],}$

ここで、過程は確率オイラー・ラグランジュ方程式に従うと仮定する。同様に、ラグランジアン に対して、ハミルトンの主関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \{X(s):s\in [t,t_{f}]\}}$${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],}$

ここで、過程は確率論的オイラー・ラグランジュ方程式に従うと仮定する。作用の発散部分により、これらの主関数は同値関係に従う。 ${\displaystyle \{X(s):s\in [t_{0},t]\}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

主関数を点に関して変化させることで、ハミルトン・ヤコビ方程式が得られる。これは次のように与えられる。 ${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}}$

これらは古典的な場合と同じように見えることに注意してください。ただし、2番目のハミルトン-ヤコビ方程式のハミルトニアンは、2次のルジャンドル変換を使用して取得されます。さらに、作用の発散部分により、非自明な積分制約の形をとる3番目のハミルトン-ヤコビ方程式があります。

${\displaystyle \oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

与えられたラグランジアンに対して、最初の2つのハミルトン・ヤコビ方程式は

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}}$

これら2つの式を組み合わせると、

${\displaystyle \left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.}$

を使うと、積分条件と初期条件または終了条件に従うこの方程式はについて解くことができます。解は伊藤方程式に代入することができます。 ${\displaystyle w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$${\displaystyle w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)}$${\displaystyle w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)}$${\displaystyle w_{\pm }(x,t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}}$

これは、プロセス について解くことができます。したがって、初期条件( でラベル付けされた未来指向方程式の場合) または終了条件( でラベル付けされた過去指向方程式の場合) が指定されると、粒子の軌道を記述する 一意の確率過程が見つかります。${\displaystyle \{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$${\displaystyle X(t_{0})=x_{0}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle X(t_{f})=x_{f}}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

確率力学の重要な結果は、仮定された確率過程からシュレーディンガー方程式を導出することである。この導出において、ハミルトン・ヤコビ方程式は

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}}$

を組み合わせると、次の式が得られる。

${\displaystyle 2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.}$

次に波動関数を定義する。

${\displaystyle \Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).}$

ハミルトンの主関数は多価関数なので、波動関数は同値関係に従うことがわかる。

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.}$

さらに、波動関数は複素拡散方程式に従う。

${\displaystyle -\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,}$

${\displaystyle \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.}$

したがって、確率力学の公理を解く任意のプロセスに対して、これらの拡散方程式に従う波動関数を構築できます。ハミルトンの主関数の同値関係により、逆のことも言えます。つまり、これらの複雑な拡散方程式の任意の解に対して、確率力学の公理の解である確率過程を構築できます。同様の結果は、ファインマン-カック定理によって確立されています。 ${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

最後に、確率密度を構築することができる。

${\displaystyle \rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,}$

これは、プロセス の遷移確率を表します。より正確には、システムが最終的に状態 になった場合に、状態 になる確率を表します。したがって、 の拡散方程式は、プロセス のコルモゴロフ逆方向方程式として解釈できます。同様に、 は、 時間を逆に進めた場合にシステムが最終的に状態 になった場合に、状態 になる確率を表します。したがって、 の拡散方程式は、過去に向かって進化した場合のプロセスのコルモゴロフ逆方向方程式として解釈できます。時間方向を反転すると、 は、システムが時間的に順方向に進化した場合に、状態 になる確率を表すことがわかります。したがって、 の拡散方程式は、プロセスが未来に向かって進化した場合 のコルモゴロフ順方向方程式としても解釈できます。${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$${\displaystyle \rho _{+}}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle (x_{f},t_{f})}$${\displaystyle \Psi _{+}}$${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$${\displaystyle \rho _{-}}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$${\displaystyle \Psi _{-}}$${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$${\displaystyle \rho _{-}}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$${\displaystyle \Psi _{-}}$${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$

この理論にはさまざまな特別な制限が含まれています。

• の古典的極限。この場合、プロセスと補助プロセスは2 つの分離された決定論的軌道を記述します。${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• のブラウン運動極限。この場合、過程はウィーナー過程（別名ブラウン運動）を表し、上記の結果はファインマン-カック定理によって確立されますが、補助過程は決定論的過程を表します。${\displaystyle \alpha \in (0,\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• の量子極限。この場合、プロセスと補助プロセスは、2 つの正の相関のあるウィーナー過程を表します。${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (0,\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• の時間反転ブラウン運動極限。この場合、過程は決定論的過程を記述し、補助過程はウィーナー過程を記述します。${\displaystyle \alpha \in (-\infty ,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• 時間反転量子極限。この場合、プロセスと補助プロセスは、2 つの負の相関を持つウィーナー過程を表します。${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times (-\infty ,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

初期条件または終了条件（ を意味する）を伴うブラウン運動極限では、過程と は分離されるため、補助過程のダイナミクスは無視でき、 は実ウィーナー過程によって記述されます。 を伴うその他のすべての場合では、過程 は互いに結合されるため、のダイナミクスを導出する際には補助過程を考慮する必要があります。 ${\displaystyle u(x,t_{0})=0}$${\displaystyle u(x,t_{f})=0}$${\displaystyle u(x,t)=0\quad \forall t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

この理論は時間反転操作の下では対称的である。 ${\displaystyle (t,\alpha ,q)\leftrightarrow (-t,-\alpha ,-q)}$

ブラウン運動の極限では理論は最大限に散逸的であるが、量子の極限ではユニタリであり、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y{\Big |}_{\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }=0\,.}$

拡散方程式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \mp \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\pm }={\hat {H}}({\hat {x}},{\hat {p}}^{\pm },t)\,\Psi _{\pm }\,,}$

ここで はハミルトン演算子である。これにより位置および運動量演算子を次のように導入することができる。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {x}}^{i}=x^{i}\qquad {\rm {and}}\qquad {\hat {p}}_{i}^{\pm }=\pm \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\,,}$

ハミルトニアンはおなじみの形になる

${\displaystyle H({\hat {x}},{\hat {p}},t)={\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\,{\Big [}{\hat {p}}_{i}-q\,A_{i}({\hat {x}},t){\Big ]}{\Big [}{\hat {p}}_{j}-q\,A_{j}({\hat {x}},t){\Big ]}+{\mathfrak {U}}({\hat {x}},t)\,.}$

これらの演算子は標準的な交換関係に従う

${\displaystyle [{\hat {x}}^{i},{\hat {p}}_{j}^{\pm }]=\mp \alpha \,\hbar \,\delta _{j}^{i}\,.}$